高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算空间向量求二面角的方法素材北师大版选修2-1
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高中数学第二章空间向量与立体几何2.5夹角的计算空间向量求二面角的方法素材北师大版选修2-1空间向量求二面角的方法方法一:先作出二面角的平面角,再利用向量的内积公式求解:设AOB是二面角的一个平面角,则向量与所成的角就是所求的二面角的大小例1正四面体ABCD中,求相邻两个面所成的二面角解析:如图1,取BC边的中点,连结AE、DE,则AEBC,DEBC,所以AED就是正四面体的两个相邻面ABC与DBC所成二面角的平面角,且BC平面ADE,BCAD,设正四面体棱长为1又在ABC与BCD中,可求得,故正四面体的两个相邻面所成的二面角大小为方法二:利用法向量求解:设是平面的法向量,是平面的法向量若两个平面的二面角如图2所示的示意图,则与之间的夹角就是欲求的二面角;若两个平面的二面角如图3所示的示意图,设与之间的夹角为则两个平面的二面角为例2如图4,ABC是以B为直角的直角三角形,SA平面ABC,SA=BC=2,AB=4,D、N分别是BC、AB的中点求二面角S-ND-A的余弦值解析:平面ABC的法向量是,设平面SND的法向量为SA平面ABC,SABC,SAAB, 又ABBC,由。又,。又,。记为所求二面角,则。4
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