MATLAB求差分方程模型

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1、用Matlab求解差分方程问题,一阶线性常系数差分方程 高阶线性常系数差分方程 线性常系数差分方程组,一阶线性常系数差分方程,Florida沙丘鹤属于濒危物种，它在较好自然环境下，年均增长率仅为1.94%，而在中等和较差环境下年均增长率分别为 -3.24% 和 -3.82%，如果在某自然保护区内开始有100只鹤，建立描述其数量变化规律的模，并作数值计算。,模型建立: 记第k年沙丘鹤的数量为Xk,年均增长率为r， 则第k+1年鹤的数量为 Xk+1 (1+r)Xk , k=0,1,2 得 Xn (1+r)n X0 已知X0=100, 在较好，中等和较差的自然环境下r=0.0194 , -0.032

2、4 和 -0.0382 我们利用Matlab编程，递推20年后观察沙丘鹤的数量变化情况,Matlab实现 Xn (1+r)n X0,1. 在指令窗口输入： X0=100; r=0.0194; n=20; Xn=(1+r)n*X0 执行后得到： Xn =146.8563,2. 建立M脚本文件 在M文件编辑器中输入： X0=100; r=0.0194; n=20; Xn=(1+r)n*X0 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh1.m保存以后选择Debug:run菜单，则会在指令窗口输出： Xn =146.8563,3.建立M函数文件 格式： function 输出变量函数名称（输入变量） 例如：输

3、入 function Xn=sqh(n,r) X0=100; Xn=(1+r)n*X0; end 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh2.m保存以后在指令窗口调用sqh2函数,输入： Xnsqh2(20,0.0194) 输出同上。,function Xn=sqh(n,r,X0) Xn=(1+r)n*X0; end 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh3.m 保存以后在指令窗口调用sqh3函数,输入： Xnsqh3(20,0.0194,100) 输出同上。,Matlab实现 Xk+1 (1+r)Xk,function x=sqh(n,r) x(1)=100; for k=1:n x(k+1)=(

4、1+r)*x(k); end 单击工具栏中的保存按钮，文件名sqh4.m保存以后在指令窗口调用sqh4函数,输入： xnsqh4(20,0.0194) 输出同上。,xn = Columns 1 through 6 100.0000 101.9400 103.9176 105.9336 107.9888 110.0837 Columns 7 through 12 112.2194 114.3964 116.6157 118.8780 121.1843 123.5353 Columns 13 through 18 125.9318 128.3749 130.8654 133.4042 135.99

5、22 138.6305 Columns 19 through 21 141.3199 144.0615 146.8563,利用plot 绘图观察数量变化趋势,k=0:20； y1= sqh4(20,0.0194); plot(k,y1) 得到Figure1 在Edit菜单下Copy Figure，可以将图粘贴到Word文档。,在同一坐标系下画图 k=0:20; %一个行向量 y1= sqh4(20, 0.0194); y2= sqh4(20, -0.0324); y3= sqh4(20, -0.0382); plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,r),人工孵化是挽救濒危物种的措施之一，如

6、果每年孵化a只鹤放入保护区，观察在自然条件下沙丘鹤的数量如何变化 Xk+1=（1+r）Xk +a,在M文件中输入： function X=rgsqh(n,r,a) X(1)=100; for k=1:n X(k+1)=（1r)*X(k)+a; end,设在中等自然条件下每年孵化5只鹤放入保护区. k=0:20; %一个行向量 y=rgsqh(20,-0.0324,5); plot(k,y),每年放养多少只会保证物种数量的稳定？,令Xk=Xk+1 得a=rX0 当X0100，r=0.0324时， a=3.24 当a=3， a=4时，如图,高阶线性常系数差分方程一年生植物的繁殖,一年生植物春季发芽

7、，夏天开花，秋季产种，没有腐烂，风干，被人为掠取的那些种子可以活过冬天，其中一部分能在第2年春季发芽，然后开花，产种，其中的另一部分虽未能发芽，但如又能活过一个冬天，则其中一部分可在第三年春季发芽，然后开花，产种，如此继续，一年生植物只能活1年，而近似的认为，种子最多可以活过两个冬天，试建立数学模型研究这种植物数量变化的规律，及它能一直繁殖下去的条件。,记一棵植物春季产种的平均数为c,种子能活过一个冬天的(1岁种子)比例为b,活过一个冬天没有发芽又活过一个冬天的（2岁种子）比例仍为b,1岁种子发芽率a1，2岁种子发芽率a2。 设c,a1,a2固定,b是变量,考察能一直繁殖的条件 记第k年植物数

8、量为Xk,显然Xk与Xk-1,Xk-2有关，由Xk-1决定的部分是 a1bcXk-1,由Xk-2决定的部分是 a2b(1-a1)bcXk-2 Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,实际上，就是Xk= pXk-1 + qXk-2 我们需要知道x0,a1,a2,c, 考察b不同时，种子繁殖的情况。在这里假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20 这样可以用matlab计算了,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,Xk= a1bcXk-1 + a2b(1-a1)bcXk-2,function x=zwfz(x0,n

9、,b) c=10;a1=0.5;a2=0.25; p=a1*b*c;q=a2*b*(1-a1)*b*c; x(1)=x0; x(2)=p*x(1); for k=3:n x(k)=p*x(k-1)+q*x(k-2); end,假设 X0=100,a1=0.5,a2=0.25,c=10,b=0.180.20,简化为 Xk= pXk-1 + qXk-2, k=0:20; y1=zwfz(100,21,0.18); y2=zwfz(100,21,0.19); y3=zwfz(100,21,0.20); plot(k,y1,k,y2,:,k,y3,r),结果分析：XkpXk-1 + qXk-20 (1

10、) x1+px0=0 (2),对高阶差分方程可以寻求形如 的解。代入(1)式得 称为差分方程的特征方程。差分方程的特征根： 方程(1)的解可以表为 C1,C2 由初始条件x0,x1确定。,本例中，用待定系数的方法可以求出 b=0.18时,c1=95.64, c2=4.36 ， 这样 实际上， 植物能一直繁殖下去的条件是b0.191,插入的数的大小，其必须满足一个递减趋势，增长值为负,线性常系数差分方程组,汽车租赁公司的运营 一家汽车租赁公司在3个相邻的城市运营，为方便顾客起见公司承诺，在一个城市租赁的汽车可以在任意一个城市归还。根据经验估计和市场调查，一个租赁期内在A市租赁的汽车在A,B,C市

11、归还的比例分别为0.6,0.3,0.1;在B市租赁的汽车归还比例0.2,0.7,0.1;C市租赁的归还比例分别为0.1,0.3,0.6。若公司开业时将600辆汽车平均分配到3个城市，建立运营过程中汽车数量在3个城市间转移的模型，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,0.6,0.3,A B C A B C A B C,假设在 每个租 赁期开 始能把 汽车都 租出去， 并都在 租赁期 末归还,0.1,0.7,0.2,0.1,0.6,0.3,0.1,模型及其求解,记第k个租赁期末公司在ABC市的汽车数量分别为x1(k),x2(k),x3(k)（也是第k+1个租赁期开始各个城市租出去的汽车数量），很容易写

12、出第k+1个租赁期末公司在ABC市的汽车数量为(k=0,1,2,3),用矩阵表示 观察n年以后的3个城市的汽车数量变化情况 1. 直接在命令窗口（commond window）作, A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6; n=10; for k=1:n x(:,1)=200,200,200; x(:,k+1)=A*x(:,k); end x(:,k+1),输出： ans = 179.9324 299.9895 120.0781,2. 建立M文件 function x=qczl(n) A=0.6,0.2,0.1;0.3,0.7,0.3;0.1,0.1,0.6

13、; x(:,1)=200,200,200; for k=1:n x(:,k+1)=A*x(:,k); end,作图观察5年以后数量的变化趋势：在指令窗口输入 y1=qczl(5); k=0:5; plot(k,y1),练习： 若最初600辆汽车平均分配在三个城市，作图观察30年以后数量的变化趋势 若最开始600辆汽车都在A市，变化时间充分长以后，各城市汽车数量的变化情况如何？,可以看到时间充分长以后3个城市汽车数量趋于180，300，120 若最开始600辆汽车都在A市，可以看到变化时间充分长以后，各城市汽车数量趋于稳定，与初始值无关,利用线性规划知识；找到凸集，因为所谓的最优解，一般都在凸集

14、,按年龄分组的种群增长,野生或饲养的动物因繁殖而增加，因自然死亡和人为屠杀而减少，不同年龄动物的繁殖率，死亡率有较大差别，因此在研究某一种群数量的变化时，需要考虑年龄分组的种群增长。 将种群按年龄等间隔的分成若干个年龄组，时间也离散化为时段，给定各年龄组种群的繁殖率和死亡率，建立按年龄分组的种群增长模型，预测未来各年龄组的种群数量，并讨论时间充分长以后的变化趋势。,模型及其求解,设种群按年龄等间隔的分成n个年龄组，记i=1,2,，n,时段记作k=0,1,2,且年龄组区间与时段长度相等(若5岁为一个年龄组，则5年为一个时段)。以雌性个体为研究对象. 记在时段k第i年龄组的数量为Xi(k);第i年

15、龄组的繁殖率为bi，表示每个个体在一个时段内繁殖的数量；第i年龄组死亡率为Si，表示一个时段内死亡数与总数的比，Ei=1-Si是存活率。,注意：第k时段的第i年龄组活过来的数量，是第k+1时段第i+1年龄组的数量 Xi+1(k+1)=EiXi(k) i=1，2,n-1,k=0,1, 各年龄组在第k时段繁殖的数量和是第k+1时段的第1年龄组的数量 X1(k+1)= k=0,1, 记在时段k种群各年龄组的数量为 X(k)=X1(k),X2(k),Xn(k) 得 X(k+1)=LX(k),k=0,1,设一种群分成5个年龄组， 繁殖率b1=0,b2=0.2,b3=1.8,b4=0.8,b5=0.2 存

16、活率s1=0.5,s2=0.8,s3=0.8,s4=0.1 各年龄组现有数量都是100只， 用matlab计算X(k) 提示：L矩阵的输入 b=0,0.2,1.8,0.8,0.2; E=diag(0.5,0.8,0.8,0.1); L=b;E,zeros(4,1);, b=0,0.2,1.8,0.8,0.2; E=diag(0.5,0.8,0.8,0.1); L=b;E,zeros(4,1); %分块矩阵 n=30; for k=1:n x(:,1)=100,100,100,100,100; x(:,k+1)=A*x(:,k); end 得到：ans = 434.1877 211.4436 164.6266 128.9265 12.5635,