2014圆锥曲线压轴题终极训练

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1、2014圆锥曲线压轴题终极训练一填空题（共3小题）1已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形（）求椭圆 C的方程；（）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1k2 最大时，求直线l的方程2如图，在ABC中，已知A（3，0），B（3，0），CDAB于D，ABC的垂心为H且（）求点H的轨迹方程；（）设P（1，0），Q（1，0），那么能否成等差数列？请说明理由；（）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定点？并说明理由3如图，已知直线与抛物线和圆都相切

2、，F是C1的焦点（1）求m与a的值；（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，证明：点M在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求NPQ的面积S的取值范围二解答题（共27小题）4用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）5（2013四川）已知椭圆C：（

3、ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程6（2014深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b0），抛物线C：y2=2px（p0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在实数，使得k1+k2=k3？若存在，试求出的值；若不

4、存在，请说明理由7（2014上饶一模）如图，椭圆C1：（ab0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M求证：直线MP经过一定点；试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请说明理由8（2014德州一模）已知点A、B分别是椭圆=1（ab0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，

5、SABC=动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点（）求椭圆的方程；（）若椭圆上存在点P，满足（O为坐标原点），求的取值范围；（）在（）的条件下，当取何值时，MNO的面积最大，并求出这个最大值9（2014崇明县一模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，ANx轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求OBD面积的最大值10（2013烟台二模）已知椭圆M：+=1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶点分别为A，B经过

6、点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值11（2013徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q（1）求直线OP的方程；（2）求的值；（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2求S1S2的最大值12（2013温州二模）如图直线l：y=kx+1

7、与椭圆C1：交于A，C两点，AC在x轴两侧，B，D是圆C2：x2+y2=16上的两点且A与BC与D的横坐标相同纵坐标同号（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算|AB|CD|的取值范围；（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由13（2013松江区一模）对于双曲线C：，定义C1：，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B（1）当ab时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程；（2）若双曲线C的方程为x2y2=1，过点且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两点，求ON1N2的面积（O为坐标

8、原点）（3）若双曲线C的方程为，弦PQx轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程14（2012咸阳三模）已知抛物线x2=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点（1）求的值；（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否在定直线上，证明你的结论15（2012武昌区模拟）已知椭圆的离心率为，点M（2，3），N（2，3）为C上两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）（I）求四边形MANB面积的最大值；（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值若是，求出这个

9、定值；若不是，说明理由16（2012泰州二模）已知椭圆（ab0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围17（2012台州一模）已知抛物线C1：x2=2py（p0）上纵坐标为p的点到其焦点的距离为3（）求抛物线C1的方程；（）过点P（0，2）的直线交抛物线C1于A，B两点，设抛物线C1在点A，B处的切线交于点M，（）求点M的轨迹C2的方程；（）若点Q为（）中曲线C2上的动点，当直线AQ，BQ，PQ的斜率

10、kAQ，kBQ，kPQ均存在时，试判断是否为常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由18（2012韶关二模）在直角坐标系xOy中，动点P与定点F（1，0）的距离和它到定直线x=2的距离之比是，设动点P的轨迹为C1，Q是动圆（1r2）上一点（1）求动点P的轨迹C1的方程，并说明轨迹是什么图形；（2）设曲线C1上的三点与点F的距离成等差数列，若线段AC的垂直平分线与x轴的交点为T，求直线BT的斜率k；（3）若直线PQ与C1和动圆C2均只有一个公共点，求P、Q两点的距离|PQ|的最大值19（2012泉州模拟）已知椭圆C的方程为：，其焦点在x轴上，离心率e=（1）求该椭圆的标准方程；（2）设动点P

11、（x0，y0）满足，其中M，N是椭圆C上的点，直线OM与ON的斜率之积为，求证：x02+2y02为定值（3）在（2）的条件下，问：是否存在两个定点A，B，使得|PA|+|PB|为定值？若存在，给出证明；若不存在，请说明理由20（2012南京二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：+=1（ab0）的离心率为，以原点为圆心，椭圆C的短半轴长为半径的圆与直线xy+2=0相切（1）求椭圆C的方程；（2）已知点P（0，1），Q（0，2）设M，N是椭圆C上关于y轴对称的不同两点，直线PM与QN相交于点T，求证：点T在椭圆C上21（2012闵行区三模）已知椭圆T：+=1（ab0）的左、右焦点依次为F1

12、，F2，点M（0，2）是椭圆的一个顶点，=0（1）求椭圆T的方程；（2）设G是点F1关于点F2的对称点，在椭圆T上是否存在两点P、Q，使=+，若存在，求出这两点，若不存在，请说明理由；（3）设经过点F2的直线交椭圆T于R、S两点，线段RS的垂直平分线与y轴相交于一点T（0，y0），求y0的取值范围22（2012洛阳一模）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为，且经过点M（2，1），直线AB平行于OM，且交椭圆于A，B两点（1）求椭圆的方程；（2）求直线AB在y轴上截距的取值范围；（3）记直线MA，MB斜率分别为k1，k2试问k1+k2是否为定值？若是，求出k1+k2的值，否则，说明

13、理由23（2012泸州一模）已知椭圆的长轴长是焦距的2倍，右准线方程为x=4（）求椭圆C的方程；（）已知点D坐标为（4，0），椭圆C上动点Q关于x轴的对称点为点P，直线PD交椭圆C于点R（异于点P），求证：直线QR过定点24（2012泸州二模）已知双曲线方程，椭圆方程，A、D分别是双曲线和椭圆的右准线与x轴的交点，B、C分别为双曲线和椭圆的右顶点，O为坐标原点，且|OA|，|OB|，|OC|，|OD|成等比数列（）求椭圆的方程；（）若E是椭圆长轴的左端点，动点M满足MCCE，连接EM，交椭圆于点P，在x轴上有异于点E的定点Q，使得以MP为直径的圆恒过直线CP、MQ的交点，求点Q的坐标25（20

14、12黄浦区一模）已知两点A（1，0）、B（1，0），点P（x，y）是直角坐标平面上的动点，若将点P的横坐标保持不变、纵坐标扩大到倍后得到点Q（x，）满足（1）求动点P所在曲线C的轨迹方程；（2）过点B作斜率为的直线l交曲线C于M、N两点，且满足，又点H关于原点O的对称点为点G，试问四点M、G、N、H是否共圆，若共圆，求出圆心坐标和半径；若不共圆，请说明理由26（2012葫芦岛模拟）如图，椭圆C：+=1（ab0）的左右顶点为A1，A2，左右焦点为F1，F2，其中F1，F2是A1A2的三等分点，A是椭圆上任意一点，且|AF1|+|AF2|=6（1）求椭圆C的方程；（2）设直线AF1与椭圆交于另一点

15、B，与y轴交于一点C，记m=，n=，若点A在第一象限，求m+n的取值范围27（2012贵州模拟）椭圆C：的左、右焦点分别为F1（1，0）、F2（1，0），O是坐标原点，C的右顶点和上顶点分别为A、B，且AOB的面积为（）求椭圆C的方程；（）过点P（4，0）作与x轴不重合的直线l与C交于相异两点M、N，交y轴于Q点，证明为定值，并求这个定值28（2012崇明县二模）已知曲线C上动点P（x，y）到定点F1（，0）与定直线l1：x=的距离之比为常数（1）求曲线C的轨迹方程；（2）若过点Q（1，）引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程；（3）以曲线C的左顶点T为圆心作圆T：（x+2）2

16、+y2=r2（r0），设圆T与曲线C交于点M与点N，求的最小值，并求此时圆T的方程29（2012成都模拟）已知m1，直线l：xmy=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点（I）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（II）当直线l与椭圆C相离、相交时，求m的取值范围；（III）设直线l与椭圆C交于A、B两点，AF1F2，BF1F2的重心分别为G、H若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围30（2012长宁区二模）设抛物线C：y2=2px（p0）的焦点为F，过F且垂直于x轴的直线与抛物线交于P1，P2两点，已知|P1P2|=8（1）求抛物线C的方程；（2）设m0

17、，过点M（m，0）作方向向量为的直线与抛物线C相交于A，B两点，求使AFB为钝角时实数m的取值范围；（3）对给定的定点M（3，0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？若存在，请求出这条直线；若不存在，请说明理由对M（m，0）（m0），过M作直线与抛物线C相交于A，B两点，问是否存在一条垂直于x轴的直线与以线段AB为直径的圆始终相切？（只要求写出结论，不需用证明）2014年3月杜老师的高中数学组卷参考答案与试题解析一填空题（共3小题）1已知椭圆C：+=1（ab0）的左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形（）求椭圆 C的方程

18、；（）过点Q（1，0）的直线 l与椭圆C 相交于A，B两点点P（4，3），记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，当k1k2 最大时，求直线l的方程考点：椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的关系2806549专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）根据题意，结合正方形的性质可得b=c且=2，由此算出a=2，即可得到椭圆C的方程；（II）当直线l的斜率等于0时，结合椭圆的方程算出k1k2=；直线l的斜率不等于0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），直线l方程为x=my+1，由直线l方程与椭圆方程消去x得到关于y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到y1+y2=，y1y2=由此利用直线

19、的斜率公式和直线l方程化简k1k2的式子，再根据基本不等式加以计算，可得k1k2=+1，当且仅当m=1时，等号成立因此当m=1时k1k2的最大值为1，可得此时的直线l的方程解答：解：（I）椭圆C方程为：+=1（ab0），由左、右焦点和短轴的两个端点构成边长为2的正方形，可得b=c且=2，解得b=c=，a=2椭圆 C的方程为； （II）直线l的斜率等于0时，A、B分别为左右顶点，k1k2=；直线l的斜率不等于0时，设直线l的方程为x=my+1，A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x，整理得（m2+2）y2+2my3=0y1+y2=，y1y2=x1=my1+1，x2=my2+1，k1k2=+令

20、t=4m+1，则=，k1k2=+=1，当且仅当t=5即m=1时，等号成立综合，可得k1k2的最大值为1，此时的直线l方程为x=y+1，即xy1=0点评：本题给出椭圆满足的条件，求椭圆的方程并研究直线斜率之积的最大值问题着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线的基本量与基本形式、用基本不等式求最值和直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题2如图，在ABC中，已知A（3，0），B（3，0），CDAB于D，ABC的垂心为H且（）求点H的轨迹方程；（）设P（1，0），Q（1，0），那么能否成等差数列？请说明理由；（）设直线AH，BH与直线l：x=9分别交于M，N点，请问以MN为直径的圆是否经过定

21、点？并说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题；轨迹方程2806549专题：综合题分析：（）设点C（x，y），由题意得H（x，y），则，由于ACBH，于是，又y=0时共线，不合题意故点C的轨迹方程为（y0）由此能得到得到点H的轨迹方程为（）设，则，由此能得到不能构成等差数列（）设M（9，m），N（9，n），则A（3，0），B（3，0），于是，由A，H，M三点共线得由B，H，N三点共线得，又，以MN为直径的圆的方程为，由此能得以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）解答：解：（）设点C（x，y），由题意得H（x，y），则，由于ACBH，于是，又y=0时共线，不合题意故点C的轨迹方程为（y0）设点

22、H（x，y），C（x0，y0），则（y00），由得到点H的轨迹方程为（4分）（）设，则，故=，所以不能构成等差数列（9分）（）设M（9，m），N（9，n），则A（3，0），B（3，0），于是由A，H，M三点共线得，；由B，H，N三点共线得，又，以MN为直径的圆的方程为解得（舍）或故以MN为直径的圆必过椭圆外定点（17，0）（15分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合运用，解题时要认真审题，仔细解答，注意挖掘题设中的隐含条件3如图，已知直线与抛物线和圆都相切，F是C1的焦点（1）求m与a的值；（2）设A是C1上的一动点，以A为切点作抛物线C1的切线，直线交y轴于点B，以FA，FB为邻边作平行四边

23、形FAMB，证明：点M在一条定直线上；（3）在（2）的条件下，记点M所在的定直线为l2，直线l2与y轴交点为N，连接MF交抛物线C1于P，Q两点，求NPQ的面积S的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系2806549专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用圆心到直线的距离等于半径求出m，再利用导函数与切线的关系求出a的值即可；（2）先求出以A为切点的切线l的方程以及点A，B的表达式，再利用以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，结合向量运算即可求出点M所在的定直线；（3）设直线MF的方程代入抛物线方程，结合根与系数的关系及三角形面积公式得出面积的表达式，从而可求NPQ的面积S的取值范围解答

24、：（1）解：由已知，圆C2：x2+（y+1）2=5的圆心为C2（0，1），半径为由题设圆心到直线l1：y=2x+m的距离d=，解得m=6（m=4舍去）设l1与抛物线的相切点为A0（x0，y0），又y=2ax，2ax0=2x0=，y0=，代入直线方程得：，m=6，；（2）证明：由（1）知抛物线C1方程为y=，焦点 F（0，）设 A（x1，），由（1）知以A为切点的切线l的方程为令x=0，得切线l交y轴的B点坐标为（0，）=（），=（0，）以FA，FB为邻边作平行四边形FAMB，=（x1，3）F是定点，点M在定直线上；（3）解：直线MF：y=kx+，代入y=得x1+x2=6k，x1x2=9SNPQ

25、=|NF|x1x2|=9k0，SNPQ9，NPQ的面积S的取值范围（9，+）点评：本题综合考查圆与椭圆知识，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题二解答题（共27小题）4用总长44.8m的钢条制做一个底面是等腰三角形的直三棱柱容器的框架，如果所制做容器的底面的腰长比底边长的一半长1m，那么底面的底边，腰及容器的高为多少时容器的容积最大？（参考数据2.662=7.0756，3.342=11.1556）考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；函数模型的选择与应用2806549专题：计算题分析：设出底面边长为2x，用x表示出三棱柱的底面的腰长，三棱柱的高，从而

26、得到三棱柱的体积与x的函数关系是解决本题的关键，可以利用导数为工具确定出最大容积时候的x的值，实现该问题的解答解答：解：设容器底面等腰三角形的底边长为2xm，则腰长为（x+1）m，高为，设容器的容积为Vm3，底面等腰三角形底边上的高为=，令V=0，得x22.66x1.02=0，（x3）（x+0.34）=0，由x0，解得x=3当0x3时V0；3x5.1时，V0，因此，当x=3时，V有最大值答：容器的底面等腰三角形的底边长为6m，腰长为4m，容器的高为5.6m时容器的体积最大点评：本题考查函数的模型思想和意识，考查设未知数表示函数关系的思想，注意实际问题函数的定义域，依据给出的函数表达式利用导数为

27、工具确定所给函数的最值，考查学生的导数工具意识5（2013四川）已知椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点（I）求椭圆C的离心率：（II）设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，点Q是线段MN上的点，且，求点Q的轨迹方程考点：曲线与方程；轨迹方程；椭圆的简单性质2806549专题：压轴题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）由题设条件结合椭圆的性质直接求出a，c的值，即可得到椭圆的离心率；（II）由题设过点A（0，2）的直线l与椭圆C交于M，N两点，可设出直线的方程与椭圆的方程联立，由于两曲线交于两点，故判断式大于0且可

28、利用根与系数的关系建立M，N两点的坐标与直线的斜率k的等量关系，然后再设出点Q的坐标，用两点M，N的坐标表示出，再综合计算即可求得点Q的轨迹方程解答：解：（I）椭圆C：（ab0）的两个焦点分别为F1（1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点c=1，2a=PF1+PF2=2，即a=椭圆的离心率e=4分（II）由（I）知，椭圆C的方程为，设点Q的坐标为（x，y）（1）当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于（0，1）、（0，1）两点，此时点Q的坐标为（0，2）（2）当直线l与x轴不垂直时，可设其方程为y=kx+2，因为M，N在直线l上，可设点M，N的坐标分别为（x1，kx1+2），（x2，kx2+

29、2），则，又|AQ|2=（1+k2）x2，即=将y=kx+2代入中，得（2k2+1）x2+8kx+6=0由=（8k）224（2k2+1）0，得k2由知x1+x2=，x1x2=，代入中化简得x2=因为点Q在直线y=kx+2上，所以k=，代入中并化简得10（y2）23x2=18由及k2可知0x2，即x（，0）（0，）由题意，Q（x，y）在椭圆C内，所以1y1，又由10（y2）23x2=18得（y2）2，）且1y1，则y（，2）所以，点Q的轨迹方程为10（y2）23x2=18，其中x（，），y（，2）13分点评：本题主要考查直线、椭圆、曲线与方程等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查数形结

30、合、转化化归、分类与整合等数学思想，并考查思维的严谨性本题是圆锥曲线中的常见题型，所考查的解题方式较为典型，本题运算量较大易因为运算失误造成丢分6（2014深圳一模）如图，直线l：y=x+b（b0），抛物线C：y2=2px（p0），已知点P（2，2）在抛物线C上，且抛物线C上的点到直线l的距离的最小值为（1）求直线l及抛物线C的方程；（2）过点Q（2，1）的任一直线（不经过点P）与抛物线C交于A、B两点，直线AB与直线l相交于点M，记直线PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3问：是否存在实数，使得k1+k2=k3？若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的

31、一般式方程；抛物线的标准方程2806549专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用点P（2，2）在抛物线C上，可求抛物线方程，求出与直线l平行且与抛物线C相切的直线l方程，利用两直线l、l间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，可得直线l的方程；（2）直线AB的方程为y1=k（x2），与抛物线联立，消去x，利用韦达定理、斜率公式，求出k1+k2，再由得，yM=，求出k3，即可得出结论解答：解：（1）点P（2，2）在抛物线C上，p=1，y2=2x （2分）设与直线l平行且与抛物线C相切的直线l方程为y=x+m，代入抛物线方程可得x2+（2m2）x+m2=0，=（2m2）24

32、m2=48m=0，得m=，则直线l方程为y=x+两直线l、l间的距离即为抛物线C上的点到直线l的最短距离，有，解得b=2或b=1（舍去）直线l的方程为y=x+2，抛物线C的方程为y2=2x （6分）（2）由题意可设AB的斜率为k，则直线AB的方程为y1=k（x2），与抛物线联立，消去x得ky22y4k+2=0，设点A、B的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2=，y1y2=，k1=，k2=，（9分）（10分）由得，yM=，k3=，（13分）k1+k2=2k3因此，存在实数，使得k1+k2=k3成立，且=2（14分）点评：本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线

33、的位置关系，切线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想7（2014上饶一模）如图，椭圆C1：（ab0）和圆C2：x2+y2=b2，已知圆C2将椭圆C1的长轴三等分，椭圆C1右焦点到右准线的距离为，椭圆C1的下顶点为E，过坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线l与圆C2相交于点A、B（1）求椭圆C1的方程；（2）若直线EA、EB分别与椭圆C1相交于另一个交点为点P、M求证：直线MP经过一定点；试问：是否存在以（m，0）为圆心，为半径的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交？若存在，请求出所有m的值；若不存在，请

34、说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程2806549专题：圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，可得；又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，可得，及a2=b2+c2即可得出；（2）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx1，与椭圆的方程联立可得点P的坐标，同理可得点M的坐标，进而得到直线PM的方程，可得直线PM过定点由直线PE的方程与圆的方程联立可得点A的坐标，进而得到直线AB的方程假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则圆心到二直线的距离都小于半径

35、即（i），（ii）得出m的取值范围存在即可解答：解：（1）由圆C2将椭圆C1的长轴三等分，则a=3b，又椭圆C1右焦点到右准线的距离为，b=1，则a=3，椭圆方程为（2）由题意知直线PE，ME的斜率存在且不为0，设直线PE的斜率为k，则PE：y=kx1，由得或，用去代k，得，PM：，即，直线PM经过定点由得或，则直线AB：，设，则tR，直线PM：，直线AB：y=5tx，假设存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM和直线AB都与圆G相交，则（i），（ii）由（i）得对tR恒成立，则，由（ii）得，对tR恒成立，当时，不合题意；当时，得，即，存在圆心为（m，0），半径为的圆G，使得直线PM

36、和直线AB都与圆G相交，所有m的取值集合为点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到交点的坐标、直线与圆相交问题转化为圆心到直线距离小于半径、点到直线的距离公式、恒成立问题的等价转化等基础知识与搅拌机能力、考查了推理能力、计算能力，属于难题8（2014德州一模）已知点A、B分别是椭圆=1（ab0）长轴的左、右端点，点C是椭圆短轴的一个端点，且离心率e=，SABC=动直线，l：y=kx+m与椭圆于M、N两点（）求椭圆的方程；（）若椭圆上存在点P，满足（O为坐标原点），求的取值范围；（）在（）的条件下，当取何值时，MNO的面积最大，并求出这个最大值考点：直线与圆锥

37、曲线的综合问题；椭圆的标准方程2806549专题：向量与圆锥曲线分析：（）由离心率及三角形的面积联立方程组，求出几何量，即可求椭圆的方程；（）直线方程代入椭圆方程，分类讨论，确定P的坐标，利用P在椭圆上，即可求的取值范围；（）求出|MN|，点O到直线MN的距离，利用面积公式，结合基本不等式，即可求MNO面积解答：解：（）由题意，椭圆的方程为；（）y=kx+m代入椭圆方程整理可得（1+2k2）x2+4kmx+2m22=0设点M、N的坐标分别为M（x1，y1）、N（x2，y2）、P（x0，y0），则x1+x2=，x1x2=y1+y2=k（x1+x2）+2m=（1）当m=0时，点M、N关于原点对称，

38、则=0（2）当m0时，点M、N不关于原点对称，则0，（x1，y1）+（x2，y2）=（x0，y0），x1+x2=x0，y1+y2=y0，x0=，y0=P在椭圆上，化简，得4m2（1+2k2）=2（1+2k2）21+2k20，有4m2=2（1+2k2）又=16k2m24（1+2k2）（2m22）=8（1+2k2m2），由0，得1+2k2m2将、两式，m0，24，22且0综合（1）、（2）两种情况，得实数的取值范围是22；（）由题意，|MN|=，点O到直线MN的距离d=SMNO=由得，代入上式并化简可得SMNO=2SMNO当且仅当2=42，即时，等号成立当时，MNO的面积最大，最大值为点评：本题主

39、要考查待定系数法求圆锥曲线的方程，要注意椭圆的三个参数的关系为：a2=b2+c2；求解直线与椭圆的位置关系问题，通常是联立方程组，利用韦达定理求解9（2014崇明县一模）已知圆C1的圆心在坐标原点O，且恰好与直线l1：相切（1）求圆的标准方程；（2）设点A为圆上一动点，ANx轴于N，若动点Q满足：，（其中m为非零常数），试求动点Q的轨迹方程C2；（3）在（2）的结论下，当时，得到曲线C，与l1垂直的直线l与曲线C交于B、D两点，求OBD面积的最大值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；向量在几何中的应用；直线与圆的位置关系2806549专题：综合题；压轴题分析：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距

40、离为d，则由此能求出圆的方程（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），ANx轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1m）（x0，0），所以，由此能求出动点Q的轨迹方程（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=x+b设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2），联立方程，得7x28bx+4b212=0由此能求出OBD面积的最大值解答：解：（1）设圆的半径为r，圆心到直线l1距离为d，则，2分圆C1的方程为x2+y2=4，2分（2）设动点Q（x，y），A（x0，y0），ANx轴于N，N（x0，0）由题意，（x，y）=m（x0，y0）+（1m）（x0，0），所以，

41、2分即：，将代入x2+y2=4，得，3分（3）时，曲线C方程为，设直线l的方程为y=x+b设直线l与椭圆交点B（x1，y1），D（x2，y2）联立方程得7x28bx+4b212=0，1分因为=48（7b2）0，解得b27，且，2分点O到直线l的距离，=，2分（当且仅当b2=7b2即时取到最大值），1分OBD面积的最大值为1分点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查三角形面积的最大值的求法，具体涉及到圆的简单性质、椭圆的性质和应用、直线和圆锥曲线的位置关系的应用解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化10（2013烟台二模）已知椭圆M：+=1（a0）的一个焦点为F（1，0），左右顶

42、点分别为A，B经过点F的直线l与椭圆M交于C，D两点（）求椭圆方程；（）当直线l的倾斜角为45时，求线段CD的长；（）记ABD与ABC的面积分别为S1和S2，求|S1S2|的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程2806549专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）由焦点F坐标可求c值，根据a，b，c的平方关系可求得a值；（）写出直线方程，与椭圆方程联立消掉y得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及弦长公式即可求得|CD|；（）当直线l不存在斜率时可得，|S1S2|=0；当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）（k0），与椭圆方程联立消y可得x的方程，根据韦达定理

43、可用k表示x1+x2，x1x2，|S1S2|可转化为关于x1，x2的式子，进而变为关于k的表达式，再用基本不等式即可求得其最大值；解答：解：（I）因为F（1，0）为椭圆的焦点，所以c=1，又b2=3，所以a2=4，所以椭圆方程为=1；（）因为直线的倾斜角为45，所以直线的斜率为1，所以直线方程为y=x+1，和椭圆方程联立得到，消掉y，得到7x2+8x8=0，所以=288，x1+x2=，x1x2=，所以|CD|=|x1x2|=；（）当直线l无斜率时，直线方程为x=1，此时D（1，），C（1，），ABD，ABC面积相等，|S1S2|=0，当直线l斜率存在（显然k0）时，设直线方程为y=k（x+1）

44、（k0），设C（x1，y1），D（x2，y2），和椭圆方程联立得到，消掉y得（3+4k2）x2+8k2x+4k212=0，显然0，方程有根，且x1+x2=，x1x2=，此时|S1S2|=2|y1|y2|=2|y1+y2|=2|k（x2+1）+k（x1+1）|=2|k（x2+x1）+2k|=，（k=时等号成立）所以|S1S2|的最大值为点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及椭圆的标准方程的求解，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，难度较大11（2013徐州三模）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆E：的离心率，A1，A2分别是椭圆E的左、右两个顶点，圆A2的半径为a，过点A1作圆A

45、2的切线，切点为P，在x轴的上方交椭圆E于点Q（1）求直线OP的方程；（2）求的值；（3）设a为常数，过点O作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于点B、C，分别交圆A点M、N，记三角形OBC和三角形OMN的面积分别为S1，S2求S1S2的最大值考点：直线与圆锥曲线的关系；直线的一般式方程2806549专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）连结A2P，则A2PA1P，且A2P=a，根据已知条件可判断OPA2为正三角形，从而可得OP斜率、直线OP方程；（2）由（1）可得直线A2P的方程和A1P的方程，联立两方程可得P点横坐标，由离心率可化简椭圆方程，联立A1P的方程与椭圆方程可得Q点横坐

46、标，而=，把各点横坐标代入上式即可求得比值；（3）设OM的方程为y=kx（k0），代入椭圆方程可得B点坐标，由两点间距离公式可得OB，用代替上面的k可得OC，同理可得OM，ON，根据三角形面积公式可表示出S1S2，变形后用基本不等式可其最大值；解答：解：（1）连结A2P，则A2PA1P，且A2P=a，又A1A2=2a，所以A1A2P=60又A2P=A2O，所以OPA2为正三角形，所以POA2=60，所以直线OP的方程为（2）由（1）知，直线A2P的方程为，A1P的方程为，联立解得因为，即，所以，故椭圆E的方程为由解得，所以= （3）不妨设OM的方程为y=kx（k0），联立方程组解得，所以；用代

47、替上面的k，得同理可得，所以因为，当且仅当k=1时等号成立，所以S1S2的最大值为点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关系、直线方程及圆的方程，考查学生的运算能力，考查学生综合运用知识分析问题解决问题的能力，能力要求较高12（2013温州二模）如图直线l：y=kx+1与椭圆C1：交于A，C两点，AC在x轴两侧，B，D是圆C2：x2+y2=16上的两点且A与BC与D的横坐标相同纵坐标同号（I）求证：点B纵坐标是点A纵坐标的2倍，并计算|AB|CD|的取值范围；（II）试问直线BD是否经过一个定点？若是，求出定点的坐标：若不是，说明理由考点：直线与圆锥曲线的关系；两点间的距离公式2806549专题：

48、综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（I）设A（x1，y1），B（x1，y2），分别代入椭圆、圆的方程可得，消掉x1得，由y1，y2同号得y2=2y1，设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，联立直线与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由A、C在x轴的两侧，得y1y30，代入韦达定理可求得k2范围，而|AB|CD|=|y1|y3|=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|，再由韦达定理及k2范围即可求得答案；（II）由斜率公式求出直线BD的斜率，由点斜式写出直线BD方程，再由点A在直线l上可得直线BD方程，从而求得其所过定点解答：（I）证明：设A（x1，y1），B（x1，y

49、2），根据题意得：，y1，y2同号，y2=2y1，设C（x3，y3），D（x3，y4），同理可得y4=2y3，|AB|=|y1|，|CD|=|y3|，由（4k2+1）x2+8kx12=0，0恒成立，则，A、C在x轴的两侧，y1y30，（kx1+1）（kx3+1）=k2x1x3+k（x1+x3）+1=0，|AB|CD|=|y1|y3|=|y1+y3|=|k（x1+x3）+2|=（0，）；（II）解：直线BD的斜率=2k，直线BD的方程为y=2k（xx1）+2y1=2kx2（kx1y1），y1=kx1+1，直线BD的方程为y=2kx+2，直线BD过定点（0，2）点评：本题考查直线与圆锥曲线的位置关

50、系、两点间的距离公式，考查学生分析解决问题的能力，本题中多次用到韦达定理，应熟练掌握13（2013松江区一模）对于双曲线C：，定义C1：，为其伴随曲线，记双曲线C的左、右顶点为A、B（1）当ab时，记双曲线C的半焦距为c，其伴随椭圆C1的半焦距为c1，若c=2c1，求双曲线C的渐近线方程；（2）若双曲线C的方程为x2y2=1，过点且与C的伴随曲线相切的直线l交曲线C于N1、N2两点，求ON1N2的面积（O为坐标原点）（3）若双曲线C的方程为，弦PQx轴，记直线PA与直线QB的交点为M，求动点M的轨迹方程考点：直线与圆锥曲线的关系；三角形的面积公式；双曲线的标准方程2806549专题：圆锥曲线的

51、定义、性质与方程分析：（1）利用双曲线的a、b、c的关系及椭圆的a、b、c1的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出；（2）根据直线与圆相切的性质即可求出切线的斜率，利用两点间的距离公式即可求出弦长|N1N2|，进而即可求出面积；（3）设出点P、Q的坐标，利用点斜式得出直线PA、QB的方程，联立即可得出交点M的坐标，反解出点P的坐标，利用代点法即可求出轨迹解答：解：（1），由c=2c1，得，即a2+b2=4（a2b2）可得 ，C的渐近线方程为（2）双曲线C的伴随曲线的方程为x2+y2=1，设直线l的方程为，由l与圆相切知即 3k2=1+k2解得，当时，设N1、N2的坐标分别为N1（x1，y1）、N

52、2（x2，y2）由得，即，x1x2=5|x1x2|=，；由对称性知，当时，也有（3）设P（x0，y0），则Q（x0，y0），又A（2，0）、B（2，0），直线PA的方程为直线QB的方程为由得P（x0，y0）在双曲线上，因此动点M的轨迹是焦点在x轴上的椭圆，其方程为点评：熟练掌握圆锥曲线的定义与性质及直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式及弦长公式、点到直线的距离公式是解题的关键14（2012咸阳三模）已知抛物线x2=4y，过点A（0，a）（其中a为正常数）任意作一条直线l交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点（1）求的值；（2）过M，N分别作抛物线C的切线l1，l2，试探求l1与l2的交点是否

53、在定直线上，证明你的结论考点：直线与圆锥曲线的综合问题；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角2806549专题：综合题分析：（1）设直线l方程与抛物线方程联立，利用韦达定理及向量的数量积公式，即可求的值；（2）求导数，可得切线方程，联立方程，即可得到l1与l2的交点在定直线y=a上解答：解：（1）设直线l方程为y=kx+b，M（x1，y1），N（x2，y2）由消去y得x24kx4a=0，所以x1+x2=4k，x1x2=4a=4ak2+4ak2+a=a故（6分）（2）求导数，可得，设l1方程为，整理得同理得l2方程为（9分）联立方程x2（1）x1（2）得，故l1与l2的交点在定直线y=a上（13分

54、）点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理，考查抛物线的切线，解题的关键是联立方程，确定切线的方程，属于中档题15（2012武昌区模拟）已知椭圆的离心率为，点M（2，3），N（2，3）为C上两点，斜率为的直线l与椭圆C交于点A，B（A，B在直线MN两侧）（I）求四边形MANB面积的最大值；（II）设直线AM，BM的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值若是，求出这个定值；若不是，说明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题2806549专题：计算题；综合题；压轴题分析：（1）设根据离心率椭圆的方程，把M点代入即可求得c，则椭圆的方程可得设直线l的方程，A（x1，y1），B（x2，x2

55、），直线与椭圆方程联立消去y，根据韦达定理表示出x1+x2和x1x2进而代入四边形形面积表达式中，根据m确定四边形的面积最大值（2）设直线MA、MB的方程，进而与椭圆方程联立分别求出A，B的横坐标，进而求得两点的坐标的表达式，表示出直线AB的斜率，根据斜率为整理可得k1+k2=0解答：解：（I），设椭圆，代入M（2，3），得c=2，所以椭圆C的方程为设直线l的方程为（mR），A（x1，y1），B（x2，x2）游，得x2+mx+m212=0则x1+x2=m，x1x2=m212又=显然当m=0时，SMANB=（II）设直线MA、MB的方程分别为y=k1（x2）+3（5）y=k2（x2）+3（k1，

56、2R）将（5）代入（4）得：（16k12+12）x2+（96k164k12）x+64k12192k148=0则，同理：化简得：k12=k22k1k2k1=k2即k1+k2=0为定值点评：本题主要考查了直线与椭圆的关系解题的关键是充分发挥判别式和韦达定理在解题中的作用16（2012泰州二模）已知椭圆（ab0）的右焦点为F1（2，0），离心率为e（1）若e=，求椭圆的方程；（2）设A，B为椭圆上关于原点对称的两点，AF1的中点为M，BF1的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上证明点A在定圆上；设直线AB的斜率为k，若k，求e的取值范围考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程2806549专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用离心率的计算公式及b2=a2c2即可得出椭圆的标准方程；（2）利用的结论，设出直线AB的方程与椭圆的方程联立即可得出关于a、b与k的关系式，再利用斜率与a、b的关系及其不等式的性质即可得出解答：解：（1）由=，c=2，得a=，b=2故所求椭圆方程为（2）设A（x1，y1），则B（x1，y1），故，由题意，得化简，得，点A在以原点为