数学建模板材成本控制问题

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1、板材成本控制问题摘要排样下料问题在很多工业领域中都有广泛应用，解决好排样问题，可以提高材料的利用率，板材下料成本控制问题是经典的优化问题，本文解决的是在板材面积和长宽比以及用材面积给定的情况下，根据不同的用材规格要求，确定最大的用材数y与的关系。在充分理解题意的基础上，本文通过建立非线性规划模型，利用LINGO软件求解，选出最优下料方案。问题一中有一种下料方案，建立非线性规划模型并利用LINGO软件求解得出，当=1、n=25时，最大用材数y=25问题二中有三种下料方案，第一种方案将圆形看做正方形排样，最优结果同问题一；第二种方案用材在板材上横向排样，排样会出现三种情况；第三种方案用材在板材上纵

2、向排样，同样会出现三种情况；每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与的关系，再利用LINGGO软件求解。问题三中因为矩形用材长宽比为2:1比较特殊，两块矩形用材拼一块儿课形成正方形，所以只有两种下料方案，第一种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果会有两种情况；第二种方案用材在板材上纵向排样，此种排样结果同样会有两种情况。每种情况都可以建立非线性规划模型确定最大用材数y与的关系，再利用LINGGO软件求解。问题四排样方案同问题三，问题四中矩形用材的长宽比在1到2之间最优排样方案会比问题三多，由于求解过程繁琐只对问题三中的两种方案加以求解。关键词： 非线性规划 分向排样 奇偶排列 图表

3、分析目录一问题重述1二符号说明1三问题分析2 问题一 问题二 问题三 问题四四模型假设6五模型建立与求解6六模型评价20参考文献20一问题重述板材下料成本控制问题是经典的优化问题。考虑一块面积为A，长宽比为的板材。现在需要切割成面积为B的用材。，不妨假设为整数。请根据下列需求，建立实际问题的数学建模，确定最大的用材数与的关系。问题一：用材为正方形，确定最大的用材数与的关系。 问题二：用材为圆形，确定最大的用材数与的关系。并给出可能的不同下料方式。问题三：用材为矩形，长宽比为2，确定最大的用材数与的关系。并给出可能的不同下料方式。问题四：用材为矩形，长宽比为，确定最大的用材数与的关系。并给出可能

4、的不同下料方式。二符号说明A：板材面积B：用材面积: 板材长宽之比y: 最大的用材数m：用材为矩形时的长宽比n:板材面积与用材面积之比R：用材为圆形时圆的半径:表示向下取整数三问题分析由上述描述可知，对于不同的用材规格会有不同的方案，在满足条件（n为正整数）的情况下，对于不同的用材需求给出如下分析：问题一：用材为正方形，。有一种下料方案如图1所示 图1问题二：用材为圆形，。有三种下料方案，如下图所示：方案一：圆的排列方式相当于正方形的排列方式 图2方案二：用材在板材上横向排样，此种排列方式会有三种情况，即1.奇偶行切割的个数相等，2.奇数行比偶数行多一个且最后一行是奇数行，3.奇数行比偶数行多

5、一个且最后一行是偶数行。当奇数行切割后的余料宽度大于圆的半径R，则奇偶行切割的圆的个数相等；当奇数行切割后的余料宽度小于圆的半径R，则奇数行切割的圆的个数比偶数行多一个。具体排样如下图所示 图3 图4 图5方案三：用材在板材上纵向排样，此种排列方式会有三种情况，即1.奇偶行切割的个数相等，2.奇数行比偶数行多一个且最后一行是奇数行，3.奇数行比偶数行多一个且最后一行是偶数行。当奇数行切割后的余料宽度大于圆的半径R，则奇偶行切割的圆的个数相等；当奇数行切割后的余料宽度小于圆的半径R，则奇数行切割的圆的个数比偶数行多一个。具体排样如下图所示 图6图7 图8问题三： 用材为矩形，长宽比为2，。有两种

6、下料方案，切割方式如下图所示所示，方案一：在板材上切割横向排列的所需矩形时会出现两种情况。当板材最大限度切割出横向排列的矩形后，如果每排余料宽度小于用材宽度时无论所需矩形如何摆放都无法利用余料再进行切割；如果每排余料宽度大于用材宽度且小于用材长度时，余料还可以切出纵向摆放的矩形。切割方式如图6、图7所示 图9图10方案二：在板材上纵向切割所需矩形时同样会出现两种情况。当板材最大限度切割出纵向排列的矩形后，如果余料宽度小于所需矩形宽度，则无法利用余料切割出所需矩形；如果余料宽度大于所需矩形宽度且小于所需矩形长度，则还可以在余料上切割出横向排列的矩形。切割方式如图8、图9 所示 图11 图12问题

7、四：用材为矩形，长宽比为，。切割方案同问题三四模型假设1.假设不考虑切割问题中切割造成的切边损失2.假设切割过程无人工误差3.假设切割出的用材均为合格品五模型建立与求解1.用材为正方形，时最大的用材数与的关系为：目标函数的建立： （1-11）约束条件的建立：（1-21）板材的宽度与用材边长约束条件板材的长度与用材边长约束条件用材数量的约束条件用材大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y16161818202020202425l11221.251.2351.2351.0871.512用材为圆形，最大的用材数与的关系，会有两种方案（1）第一种方案：

8、当将圆形看成正方形排样时，最大的用材数与的关系式为：目标函数的建立：（2-11）约束条件的建立：（2-21）用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y12121212151616181818l1.3961.2351.2351.2351.59211221.833 表1（2）第二种方案：用材在板材上横向排样，当奇数行第一个圆与板材相切，其余圆顺次排样，偶数行第一个圆圆心距板材一边为2R并与奇数行相邻圆相切时，会有三种情况，即1.奇数行与偶数行排样数量相等，2.奇数行比偶数行

9、排样数量多一个且最后一行为偶数行，3. 奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行三种情况第一种情况：奇数行与偶数行排样数量相等目标函数的建立：（2-21）约束条件的建立：（2-22）板材余料宽度与用材半径大小的约束条件板材的长度与用材大小约束条件板材的宽度与用材大小约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y12121212121612161616l1.2731.1981.4321.6751.2891.2281.4471.3841.3261.273 表2第二种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行目

10、标函数的建立：（2-31）用材大小的约束条件用材数量的约束条件约束条件的建立：（2-32）偶数行的约束条件板材余料宽度与用材半径大小的约束条件板材的长度与用材大小约束条件板材的宽度与用材大小约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y9101014141414181818l21111.1071.2351.2351.3841.3351.286 表3第三种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行 目标函数的建立：（2-41）用材大小的约束条件用材数量的约束条件约束条件的建立：（2-42）奇数行的约束条件板材余料宽度与用材半径大小的约束条件板材的长

11、度与用材大小约束条件板材的宽度与用材大小约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y11111414141414171717l1.2761.2351.7811.9991.6161.8201.806222 表4（3）第三种方案：用材在板材上纵向排样，当奇数行第一个圆与板材相切，其余圆顺次排样，偶数行第一个圆圆心距板材一边为2R并与奇数行相邻圆相切时，会有三种情况，即1.奇数行与偶数行排样数量相等，2.奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行，3. 奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行三种情况第一种情况：奇数行与偶数行排样数量相等目标函数的建

12、立：（2-51）约束条件的建立：（2-52）板材余料宽度与用材半径大小的约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y10121212151515151818l21111.2691.2081.2351.1291.5071.447 表5第二种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为偶数行目标函数的建立：（2-61）用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件约束条件的建立：（2-62）k为正整数，偶数行的约束条件板

13、材余料宽度与用材半径大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y10101212121515171717l1.3961.3581.411.3351.31.7231.6931.1031.0571.015 表6第三种情况：奇数行比偶数行排样数量多一个且最后一行为奇数行目标函数的建立：（2-71）用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材的宽度与用材大小约束条件板材的长度与用材大小约束条件约束条件的建立：（2-72）k为正整数，奇数行的约束条件板材余料宽度与用材半径大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y1

14、381313131818181818l1.0301.4931.5711.6581.4861.7221.6441.1271.0711.456 表73 用材为矩形，长宽比为2，,时最大的用材数与的关系会有两种方案，第一种方案是矩形用材在板材上为横向排样，第二种方案是矩形用材在板材上纵向排样，每种方案又会分两种情况（1）方案一：矩形用材在板材上横向排样第一种情况：矩形用材在板材上横向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度目标函数的建立：（3-11）约束条件的建立：用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件（3-21）余料宽度与用材大小的约束条件模型求

15、解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y14141717172121222224l1.5311.4761.3611.3751.2251.1671.1131.8001.6871 表8第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度目标函数的建立：（3-21）约束条件的建立：（3-22）板材余料与用材大小约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y16161818202020202425l22111.61.6011.6071.761

16、1.3332 表9（2）方案二：矩形用材在板材上纵向排样第一种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度目标函数的建立：（3-31）约束条件的建立：（3-32）板材余料与用材大小约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y15151717202020222225l1.2801.3601.4401.5201.61.681.761.841.6882 表10第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度目标函数的建立：（3-41）约束条

17、件的建立：（3-42）板材余料与用材大小约束条件用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y16161818182121212424l221111.1671.1141.2351.3331.389 表114用材为矩形，长宽比为，,最大的用材数与的关系会有两种方案, 第一种方案是矩形用材在板材上为横向排样，第二种方案是矩形用材在板材上纵向排样，每种方案又会分两种情况（1）方案一：矩形用材在板材上横向排样第一种情况：矩形用材在板材上横向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度目标

18、函数的建立：（3-51）约束条件的建立：（3-52）用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y15151718202121232324l1.2341.6101.2161.2271.251.1671.1771.9171.8051.234m1.2341.0951.7001.615121.9261.3331.2041.234 表12第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度目标函数的建立：（3-61）约束条件的建立：（3-62）用材大小

19、的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y16161818202020202425l1.2341.234211.61.2151.3471.7611.8751.234m1.2341.234122.01.4821.85321.251.234 表13（2）方案二：矩形用材在板材上纵向排样第一种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度大于用材的宽度小于用材的长度目标函数的建立：（3-71）约束条件的建立：（3-72）用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与

20、用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16171819202122232425y16161718202021232325m111.251.50621.0191.5531.21.1991l11.0631.8151.7751.61.28921.3041.2511 表14第二种情况：矩形用材在板材上纵向排样，余料宽度小于用材宽度目标函数的建立：（3-81）约束条件的建立：（3-82）用材大小的约束条件用材数量的约束条件板材长度与用材长度约束条件板材宽度与用材宽度约束条件余料宽度与用材大小的约束条件模型求解：利用LINGO求解得：n16

21、171819202122232425y16161818202121212425m21221.1551.6291.49221.1291l21表15111.0821.4321.4921.2781.3291六 模型评价优点：用lingo求解较为简单，用表格列出数据，直观，明了。缺点：综合所有方案后，有的n无法取到最优解参考文献1北方交通大学材料系.二位下料问题的研究J.北方交通大学学报，1988,2.2王娟，温阳俊.二维实用下料问题的数学模型较优解J.数学的实践与认识，2006,36（7）.3宋晓霞.圆形件优化排样系统研究与开发D.桂林：广西师范大学，2005.4宋晓霞，李勇.一种求解圆形下料问题的

22、快速算法J.微计算机信息，2006,22（5-1）.5阎春平，刘飞，刘希刚.基于Internet的二维优化下料方法与其实现技术J.重庆大学学报，2001,24（5）.附录问题一：用材为正方形时!当板材为正方形时;max=floor(sqrt(n/l)*floor(sqrt(n*l);gin(n);!整型变量;n=16;!16=n=25,且n为正整数，读者可以自行选择数值输入;bnd(1,l,2);!当板材为圆形时;!（1）圆形对齐时;max=floor(sqrt(n*pi/(4*l)*floor(sqrt(n*l*pi/4);gin(n);!整型变量;n=16;!16=n=1;sqrt(n*l

23、*pi/4)=1;!（2）/1.矩形板材横向放置，圆形不对齐，且奇数行个数=偶数行个数;max=(floor(sqrt(n*pi/(3*l)-2/sqrt(3)+1)*floor(sqrt(n*l*pi/4);gin(n);!整型变量;n=16;!16=n=1;sqrt(n*l*pi/4)=1;sqrt(n*l*pi)-floor(sqrt(n*l*pi/4)*2)=1;sqrt(n*l*pi)-floor(sqrt(n*l*pi/4)*2)=1;floor(sqrt(n*pi/(3*l)-2/sqrt(3)+1=2*k+1;n=16;!16=n=1;sqrt(n*l*pi/4)=1;sqrt

24、(n*l*pi)-floor(sqrt(n*l*pi/4)*2)=0;sqrt(n*l*pi)-floor(sqrt(n*l*pi/4)*2)1;!（3)矩形板材纵向放置，圆形不对齐，且奇数行个数等于偶数行个数;max=floor(sqrt(n*pi/(4*l)*(floor(sqrt(n*l*pi/3)-2/sqrt(3)+1);gin(n);!整型变量;n=16;!16=n=1;sqrt(n*l*pi/4)=1;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=1;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=1;n=16;!16=n=1

25、;sqrt(n*l*pi/4)=1;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=0;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=1;n=17;!16=n=1;sqrt(n*l*pi/4)=1;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=0;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=1;n=16;!16=n=1;sqrt(n*l*pi/4)=1;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*pi/(4*l)*2=0;sqrt(n*pi/l)-floor(sqrt(n*p

26、i/(4*l)*2=sqrt(2);sqrt(n/l)=sqrt(1/2);sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/2)*sqrt(2)=sqrt(1/2);sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/2)*sqrt(2)sqrt(2);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt(2);sqrt(n/l)=sqrt(1/2);sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/2)*sqrt(2)=0;sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/2)*sqrt(2)sqrt(1/2);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt

27、(1/2);sqrt(n/l)=sqrt(2);sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(2*l)*sqrt(2)=sqrt(1/2);sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(2*l)*sqrt(2)sqrt(2);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt(1/2);sqrt(n/l)=sqrt(2);sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(2*l)*sqrt(2)=0;sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(2*l)*sqrt(2)sqrt(1/2);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt(m);sqrt(n

28、/l)=sqrt(1/m);sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/m)*sqrt(m)=sqrt(1/m);sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/m)*sqrt(m)sqrt(m);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt(m);sqrt(n/l)=sqrt(1/m);sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/m)*sqrt(m)=0;sqrt(n*l)-floor(sqrt(n*l/m)*sqrt(m)sqrt(1/m);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt(1/m);sqrt(n/l)=sqrt(m);sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(m*l)*sqrt(m)=sqrt(1/m);sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(m*l)*sqrt(m)sqrt(m);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=sqrt(1/m);sqrt(n/l)=sqrt(m);sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(m*l)*sqrt(m)=0;sqrt(n/l)-floor(sqrt(n/(m*l)*sqrt(m)sqrt(1/m);bnd(1,l,2);gin(n);n=16;!16=n=25,且n为正整数，读者可以自行选择数值输入;bnd(1,m,2);