北大清华历年暑期学堂综合营数学试题汇总.pdf

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1、北 大 清 华 历 年 暑 期 学 堂 （ 综 合 营 ） 数 学 试 题 汇 总 目 录 北 京 大 学 2 0 1 9 年北京大学综合营数学试题及答案 1 2 0 1 8 年北京大学综合营数学试题及答案 4 2 0 1 7 年北京大学综合营数学试题及答案 9 2 0 1 6 年北京大学综合营数学试题及答案 1 3 2 0 1 5 年北京大学综合营数学试题及答案 1 6 2 0 1 4 年北京大学综合营数学试题及答案 1 9 清 华 大 学 2 0 1 9 年清华大学综合营数学试题及答案 2 2 2 0 1 7 年清华大学综合营数学试题及答案 2 6 2 0 1 6 年清华大学综合营数学试题

2、及答案 3 4 2 0 1 5 年清华大学综合营数学试题及答案 4 1 试 题 来 源 于 网 络 ， 由 清 北 学 堂 收 集 整 理 和 编 辑 ， 供 参 考 学 习 使 用 ！第 1 页 共 5 0 页 2 0 1 9 年 北 京 大 学 综 合 营 数 学 试 题 及 答 案第 2 页 共 5 0 页第 3 页 共 5 0 页第 4 页 共 5 0 页 2 0 1 8 年 北 京 大 学 综 合 营 数 学 试 题 （ 试 题 和 答 案 来 源 于 公 众 号 “ 竞 赛 与 自 招 ” ）第 5 页 共 5 0 页 2 0 1 8 年 北 京 大 学 综 合 营 数 学 试 题

3、 解 析第 6 页 共 5 0 页第 7 页 共 5 0 页第 8 页 共 5 0 页第 9 页 共 5 0 页 2 0 1 7 年 北 京 大 学 综 合 营 数 学 试 题 及 解 析第 1 0 页 共 5 0 页第 1 1 页 共 5 0 页第 1 2 页 共 5 0 页第 1 3 页 共 5 0 页 2 0 1 6 年 北 京 大 学 综 合 营 数 学 试 题 及 解 析 文科生做前 5 题，理科生做后 5 题，每题 20分 1设关于 x 的方程 sin 2 x+cosx+a=0 在实数范围内有解，求实数 a的取值范围 2设 a,b,c 均为正数且 a,b,c 成等差数列，判断 1

4、b c ， 1 c a ， 1 a b 是否成等差数列，并说明理由 3设 a,b,c 为实数，证明：对任意实数 x 都有(xa) 2 +(xb) 2 c 当且仅当(ab) 2 2c 4已知复数 z 1 ,z 2 满足 z 1 与 z 1 +z 2 有相同的模且 1 2 (1 ) z z a i ，其中 a为非零实数，求 2 1 z z 的 值 5一条直线与双曲线交于 A,B 两点，与此双曲线的渐近线交于 C,D 两点，证明：线段 AC 与 BD 的长度相等 6设,均为锐角，满足 sin 2 +sin 2 =sin(+)，求+的值 7已知ABC的面积为 1，D,E 分别是边 AB,AC上的点，F

5、 为线段 DE 上的一点，设 AD:AB=x, AE:AC=y, DF:DE=z 且 y+zx=1求BDF的面积的最大值并求出此时 x,y,z的 值第 1 4 页 共 5 0 页 2016 年北大全国优秀中学生暑期学堂 数学试题参考答案 1题中方程有解即 a=sin 2 xcosx有解，从而有 2 2 1 5 5 cos cos 1 cos ,1 2 4 4 a x x x 2由题意知 ba=cb= (ca)/2，所以 1 1 2 + 1 ( ) 2 c b b a c a c a c b b a b a b c a b c a c a 从而得 1 b c ， 1 c a ， 1 a b 是等

6、差数列 3对题中不等式整理得 2x 2 2(a+b)x+(a 2 +b 2 c)0, 此不等式恒成立当且仅当对应判别式 =4(a+b) 2 8(a 2 +b 2 c)=42c(ab) 2 0, 等价于 2c(ab) 2 ，命题得证 4由题意知： 2 2 1 1 1 1 2 1 2 1 2 ( )( ) z z z z z z z z z ， 化简得 2 2 2 1 1 2 0 z z z z z z 因为 1 2 (1 ) z z a i ，所以 1 2 (1 ) z z a i ，代入上面的式子得 2 2 -2 z z a 于是有 2 2 2 1 1 2 2 1 (1 ) z z z a i

7、 z z z a i 5以双曲线的中心为原点，以实轴所在直线为 x 轴建立直角坐标系，则双曲线与它的渐近 线方程可以表示为 2 2 2 2 x y a b 其中=1 时为双曲线，=0 时为渐近线 设 A(x 1 ,y 1 ),B(x 2 ,y 2 ),C(x 3 ,y 3 ),D(x 4 ,y 4 )，则有第 1 5 页 共 5 0 页 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x y a b x y a b 两式相减得 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 ( )( ) ( )( ) 0 x x x x y y y y a b 同样有 3 4 3 4 3 4 3 4 2 2

8、( )( ) ( )( ) 0 x x x x y y y y a b 因为 A,B,C,D 四点共线， 当此直线斜率不存在或者斜率为零时， 由双曲线的对称性得 AC=BD； 当此直线的斜率 k 存在且不为零时，有 2 3 4 1 2 2 1 2 3 4 y y y y b x x x x a k 即 AB 的中点与 CD 的中点在过原点的同一条直线上，所以它们重合，从而有 AC=BD 事实上，此结论可以直接由双曲线的“垂径定理”得到 6显然当+=/2 时，等式成立； 由已知条件知 sin 2 +sin 2 =sincos+cossin , 整理得 sin(sincos)=sin(cossin

9、). 若+/2，则有 sincos与 cossin同号 若它们同为正，则有 sincos=sin(/2),cos=sin(/2)sin, 从而有 /2, /2, 无解； 若它们同为负，用类似的方式也可以推导出矛盾 综上，+=/2 7如图，连结 BE： 由三角形的面积公式 S= 1 2 absinC可以得到第 1 6 页 共 5 0 页 S ADE =xyS ABC =xy, S BCE =(1y)S ABC =1y, 所以有 S BDE =1xy(1y)=y(1x). 从而有 3 1 8 (1 ) ( ) 3 27 B D F B D E z y x S z S z y x 当 y=z=1x时

10、，即 x=1/3,y=z=2/3时等号成立，此时BDF的面积有最大值 8/27第 1 7 页 共 5 0 页第 1 8 页 共 5 0 页第 1 9 页 共 5 0 页 2 0 1 4 年 北 京 大 学 全 国 优 秀 中 学 生 体 验 营 数 学 试 卷 说 明 文 科 考 生 做 前 5 题 ， 理 科 考 生 做 后 5 题 ， 每 题 2 0 分 ， 共 1 0 0 分 第 2 0 页 共 5 0 页 2 0 1 4 年 北 京 大 学 全 国 优 秀 中 学 生 体 验 营 数 学 试 卷 参 考 答 案第 2 1 页 共 5 0 页第 2 2 页 共 5 0 页 2 0 1 9

11、 年 清 华 大 学 综 合 营 数 学 试 题 及 解 析第 2 3 页 共 5 0 页第 2 4 页 共 5 0 页第 2 5 页 共 5 0 页第 2 6 页 共 5 0 页第 2 7 页 共 5 0 页第 2 8 页 共 5 0 页 清华大学 2017 年暑期学校数学测试真题和答案 1. 已 知 2 2 1 ax f x = + b, g x = f x x c ， 其 中 a ， b ， c 为 已 知 参 数 ， 且 a 0 ， c 0 。 则 以 下 判 断 中 正 确 的 有_ 。 f ( x ) 关 于 点(0 ， b) 成 中 心 对 称 ； f ( x ) 可 能 在(0

12、 ，+) 上 单 调 递 增 ； f ( x ) 有 界 ； g ( x )=0 的 解 可 能 为1 ，2 【 解 答 】 函 数 f ( x ) 的 定 义 域 为 R ， 且 2 f x + f - x b ， 于 是 函 数 f ( x ) 关 于(0 ，b) 中 心 对 称 ， 命 题 正 确 。 当 x 0 时 ， 有 a f x b c x x ， 于 是 函 数 f ( x ) 在 x c 两 侧 的 单 调 性 必 然 不 同 ， 命 题 错 误 。 由 于 , 0 , 0 b x a f x b x c x x ， 于 是 f ( x ) 的 值 域 为 | | 2 , |

13、 | 2 b a c b a c ， 进 而 f ( x ) 为 有 界 函 数 ， 命 题 正 确 。 方 程 0 g x 即 1 f x ， 它 的 解 集 关 于 原 点 对 称 ， 于 是 b=0 ， 若 g ( x )=0 的 解 为 x =1 ， 2 ， 则 关 于 x 的 方 程 2 0 x ax c 的 解 集 为 1 ， 2 或 -1 ， -2 ， 从 而 2 2 3 3 , 2 2 x x f x = f x = x x 和 满 足 要 求 ， 命 题 正 确 。 772 和 f(x)=x+2 满 足 要 求 ， 命 题 正 确 ， 如 图 2. 已 知 无 穷 数 列 n

14、 a 满 足 1 1 n n + n a a = a ， 则 1 a 的 取 值 范 围 是_ 。 【 解 答 】 情 形 一 1 a =0 ， 则 n a =0(nN*) ， 符 合 题 意 。 情 形 二 1 a 0 ， 则 n a 0(nN*) ， 根 据 题 意 ， 1 1 1 ( 1) n n n n a a ，第 2 9 页 共 5 0 页 于 是 1 1 1 1 n n a a ， 因 此 1 1 1 1 n a n a ， 于 是 ， * 1 1 , a k N k 。 综 上 所 述 ， 1 a 的 取 值 范 围 是 * 1 | , N R x x k x k ， 3. 已

15、 知 2 2 2 1 f x = x x a ， 若 存 在 0 x ， 使 得 0 0 , 2 | 0 x x x f x ， 则 a 的 取 值 范 围 是_ 。 【 解 答 】 根 据 题 意 ， 关 于 x 的 方 程 2 2 2 1=0 x x a 的 两 根 之 差 的 绝 对 值 不 小 于 2 ， 也 即 2 2 2 4( 1) 2 a ， 解 得 a 的 取 值 范 围 是-1 ，1 【 解 答 】-1 ，1 4. 黑 板 上 写 有 1 ，2 ， ，2017 这 2017 个 数 ， 每 次 操 作 任 意 擦 去 其 中 的 某 三 数 a ， b ， c ， 写 上 a

16、 + b + c 除 以 11 的 余 数 ， 则 黑 板 上 最 后 剩 下 一 个 数 的 所 有 可 能 为_ 。 【 解 答 】 由 于 1+2+2017 模 11 的 余 数 为 10 ， 于 是 黑 板 上 最 后 剩 下 的 一 个 数 模 11 的 余 数 必 然 为 10 ， 必 然 在 集 合 11 10 | 0 182 m m 中 ， 容 易 构 造 最 后 一 个 数 为 10 ， 21 ， 32 ， ， 2012 中 的 任 意 一 个 数 的 例 子 5. 已 知 双 曲 线 2 2 2 2 1 x y a b ， 2 F 为 其 右 焦 点 ， O 为 坐 标 原

17、 点 ， 若 左 支 上 存 在 一 点 P 使 得 2 F P 中 点 M 满 足 1 | | 8 O M = c ， 则 双 曲 线 的 离 心 率 e 的 取 值 范 围 是_ 。 【 解 答 】 设 1 F 为 双 曲 线 的 左 焦 点 ， 则 根 据 中 位 线 定 理 ， 1 1 |PF | 2|OM|= 4 c 于 是 1 0 4 c c a 解 得 3 1 4 c a 第 3 0 页 共 5 0 页 因 此 双 曲 线 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是 3 1, 4 ， 6. 曲 线 C ： 2 2 2 2 ( 1) ( 1) 3 x y x y ， 以 下 判 断 中

18、 正 确 的 有_ 。 曲 线 C 过 点(0 ，0) ； 曲 线 C 上 的 点 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是-2 ，2 曲 线 C 关 于 x 轴 对 称 ； P 为 曲 线 C 上 的 动 点 ，A ，B 的 坐 标 为(0 ，1) 和(0 ，-1) ， 则PAB 的 面 积 的 最 大 值 为 3 2 【 解 答 】 记 2 2 2 2 , ( 1) ( 1) f x y x y x y 。 由 于 f(0 ，0)=13 ， 于 是 点(0 ，0) 不 在 曲 线 C 上 ， 命 题 错 误 ； 根 据 题 意 ， 2 2 2 2 2 2 2 3 ( 1) ( 1) ( 1)

19、 ( 1) | 1| x y x y y y y ， 于 是 2 2 y ， 等 号 当 x = 0 时 取 得 ， 结 合 连 续 性 可 知 曲 线 C 上 的 点 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是-2 ，2 ， 命 题 正 确 ； 由 于 f x y = f x - y ， ， ， 于 是 C 关 于 x 轴 对 称 ， 命 题 正 确 ； 根 据 ， 点 P 位 于(0 ，2) 时 ，PAB 的 边 AB 上 的 高 取 得 最 大 值 为 2 ， 此 时PAB 面 积 取 得 最 大 值 为 2 ， 命 题 错 误 。 7. 已 知 空 间 一 球 ， S C 为 其 直 径

20、且 |SC|=4 ， A ， B 为 球 上 两 点 ， 满 足 |AB|= 3 ， 且 ASC=BSC=30 ， 则 四 面 体 S-ABC 的 体 积 为_ 。 【 解 答 】 由 于 SC 为 球 的 直 径 ， 于 是SAC=SBC=90 于 是SAC 与SBC 全 等 ， 进 而 S A = S B ， C A = C B 设 A B 的 中 点 为 M ， 则 SMAB ，CMAB 推 出 AB 平 面 SMC ， 所 以 ABSC 。 在SAC 中 作 AHSC 于 点 H ， 连 结 BH ， 则 SC 平 面 ABH 。 因 此 1 1 3 3 4 3 3 3 4 S - A

21、 B C V = A B H SC 8. 已 知 一 个 四 棱 锥 的 三 视 图 如 下 ， 该 四 棱 锥 的 四 个 侧 面 中 ， 则 直 角 三 角 形 的 个 数 为_ 。第 3 1 页 共 5 0 页 【 解 答 】 3 如 图 ， 直 角 三 角 形 有PAD ，PDC ，PAB 9. 已 知 整 数 a ， b ， c 为 三 角 形 的 三 边 长 ， 其 中 a b c ， 且 b=10 ， 则 符 合 条 件 的( a ， b ， c) 的 个 数 为_ 。 【 解 答 】55 根 据 题 意 a 10 c a+10 ， 于 是 符 合 条 件 的( a ， b ，

22、c) 的 个 数 为 10 1 55 a a 。 10. 在 一 个 4 4 的 表 格 中 填 入 8 个 1 ， 使 得 任 意 每 行 以 及 每 列 都 有 2 个 1 ， 则 不 同 的 填 法 数 为_ 。 【 解 答 】 把 每 行 的 填 法 记 为 第 一 类 ：A ：1100 ， A ：0011 第 二 类 ：B ：1010 ， B ：0101 第 三 类 ：C ：1001 ， C ：0110 情 形 一 ：4 行 的 填 法 均 为 间 一 类 ， 则 必 然 为 XXXX ， 有 2 4 3 18 C 种 填 法 。 情 形 二 ：4 行 的 填 法 为 两 类 ， 则

23、 必 然 为 XXYY ， 有 4 4 3A 72 种 填 法 ； 情 形 三 ：4 行 的 填 法 为 三 类 ， 则 必 然 有 某 列 中 有 3( 或 以 上) 个 1 或 者 1( 或 以 下) 个 1 ， 不 可 能 因 此 不 同 的 填 法 总 数 为 90第 3 2 页 共 5 0 页 11. 已 知ABC 的 三 边 长 分 别 为 a ， b ， c ， 面 积 为 S ， 且 2 2 2 3 ( c ) S 1 12 a b c ， ， 求 3b-a 的 最 大 值_ 。 【 解 答 】 根 据 余 弦 定 理 3 1 2 cos sin 12 2 ab C ab C

24、于 是 6 C ， 根 据 正 弦 定 理 ， sin sin 3 3 sin sin B A b a c c C C 2 3 sin 2sin 5 2 3 sin 2sin 6 3 sin cos 2 B A B B B B 等 号 当 2 , 3 6 B A 时 取 得 ， 因 此 求 最 大 值 为 2. 12. 投 掷 一 枚 均 匀 的 硬 币 ， 若 出 现 两 次 正 面 朝 上 的 情 况 即 停 止 投 掷 ， 问 总 投 掷 次 数 的 数 学 期 望_ 。 【 解 答 】 设 所 求 数 学 期 望 为 x ， 考 虑 前 两 次 投 出 的 结 果 可 得 1 1 1

25、(1 ) 2 2 0 2 4 4 x x x ， 解 得 6 x 。 13. 已 知 曲 线 2 2 2 2 1 2 C : y 5 C : y 1 4 x x ， ， 试 证 明 ： 对 1 C 上 的 任 意 直 径 AB ， 均 存 在 1 C 上 的 动 点 P ， 使 得 P A , P B 均 与 2 C 相 切_ 。 【 解 答 】 欲 证 命 题 即 过 为 曲 线 1 C 上 任 意 一 点 作 2 C 的 两 条 切 线 ， 这 两 条 切 线 互 相 垂 直 。 设 过 点 0 0 P x y ， 的 椭 圆 的 切 线 为 0 0 0 A x x B y y 其 中 2

26、 2 0 0 5 x y ， 则 根 据 直 线 与 椭 圆 位 置 关 系 的 等 效 判 别 式 ， 有 2 2 2 0 0 4A B A By 0 x ，第 3 3 页 共 5 0 页 即 2 2 2 2 0 0 0 0 (4 )A (1 y )B 2ABy 0 x x ， 于 是 根 据 韦 达 定 理 以 及 2 2 0 0 (4 ) (1 y ) 0 x 可 得 两 条 切 线 互 相 垂 直 ， 命 题 得 证 。 14. 已 知 O 为 坐 标 原 点 ， 0 1 A O OA OA ( ) n n n n x y ，且 ， ， 其 中 , Z | | 3 n n n n x

27、y x y 且 。 (1) 求 3 OA 的 最 大 值 ； (2) 求 2017 OA 的 最 小 值 。 【 解 答 】(1) 根 据 题 意 ， 2 2 | ( ) | | | | | 3 n n n n n n x y x y x y ， 于 是 等 号 当 1 1 2 2 3 3 ( ) ( ) ( ) (3 0) x y x y x y ， ， ， ， 时 取 得 ， 因 此 所 求 最 大 值 为 9 。 (2) 注 意 到 2017 2017 2017 1 1 OA , k k k k x y 而 2017 2017 2017 2017 1 1 1 1 | | | | 1(mo

28、d 2) k k k k k k k k x y x y 于 是 2017 OA 0 又 取 1 1 2 2 3 3 ( ) (1, 2),( ) ( 1, 2),( ) (1 2) x y x y x y ， ， ， ， 以 及 2 2 2 2 2 3 2 3 ( ) (3 0),( ) ( 3 0), 1,2,.,1007 k k k k x y x y k ， ， ， ， ， 则 有 2017 OA (0, 1) 于 是 2017 OA 的 最 小 值 为 1 15. 已 知 罗 尔 中 值 定 理 ： 若 函 数 f ( x ) 满 足 ： f ( x ) 在 a ， b 上 连 续

29、； f ( x ) 在( a ， b) 上 可 导 ； f ( a ) = f ( b ) ， 则 存 在 ： ( a ， b) ， 使 得 0 f 。 (1) 试 证 明 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ： 若 函 数 f( x) 满 足 ： f( x) 在 a ， b 上 连 续 ； f( x) 在( a ， b) 上 可 导 ， 则 存 在 ( a ， b) ， 使 得 f( a)- f( b)=( a - b) f ；第 3 4 页 共 5 0 页 (2) 设 f( x) 的 定 义 域 与 值 域 均 为0 ， 1 ， f(0)=0 ， f(1)=1 且 f( x) 在 其 定 义

30、域 上 连 续 且 可 导 。 求 证 ： 对 任 意 正 整 数 ， 存 在 互 不 相 同 1 2 , , 0 1 n x x x ， ， 使 得 1 2 n f x + f x + + f x = n 。 f b f b g x f x x a b a 对 该 函 数 应 用 罗 尔 中 值 定 理 即 得 。 (3) 把 区 间0 ，1 划 分 为 n 个 区 间 1 1 2 1 0, , , ,., ,1 n n n n n ， 对 f( x) 在 每 个 区 间 应 用 拉 格 朗 日 中 值 定 理 ， 可 得 存 在 1 , i n i n i x n n ， 使 得 1 1

31、i n i n i f f f x n n n ， 其 中 1 2 n i ， ， ， 把 这 n 个 等 式 相 加 即 得 。 16. 记 |A| 表 示 集 合 A 中 的 元 素 个 数 ， A+B=a+b | aA ， bB ， 若 1 | A A | A(| A| 1) 2 ， 则 称 集 合 A 有 性 质 T 。 (1) 设 A= 1 2 n a a a ， ， ， ， n a 为 等 比 数 列 且 各 项 为 正 有 理 数 ， 证 明 A 有 性 质 T 。 (2) 已 知 A ，B 均 有 性 质 T ， 且|A|=|B| = n ， 求 |A+B| 的 最 小 值 。

32、 【 解 答 】(1) 设 等 比 数 列 n a 的 公 比 为 q ， 且 s q t ， 其 中 s ，tN* ，(s ，t)=1 只 需 要 证 明 若 1 2 3 4 n n n n ， 则 1 4 2 3 n n n n a a a a ， 也 即 3 1 4 2 n n n n q q q q 也 即 3 1 2 1 4 1 1 n n n n n n q q q 也 即 3 1 4 3 2 1 4 2 4 1 4 1 n n n n n n n n n n n n s t s t t s 由 于 左 边 是 t 的 倍 数 而 右 边 不 是 t 的 倍 数 ， 因 此 命 题

33、 得 证 。 (3) 集 合 A 有 性 质 T 等 价 于 集 合 A 中 任 意 两 个 元 素( 可 以 相 同) 的 和 均 不 同 ， 也 即 集 合 A 中 任 意 两 个 不 同 元 素 的 差 的 绝 对 值 均 不 相 同 。 这 是 因 为 若 a b c d ， 则 a d b c d c b a 定 义 | , , A a b a b A a b 第 3 5 页 共 5 0 页 则 对 于 n 元 集 合 A ， 有 1 1 | | | | 2 2 n n n n A A A , 考 虑 A+B ， 有 i j k i i k i j a b a b a a b b ,

34、 于 是 2 2 1 1 | | | | 2 2 n n n n A B n A B n 等 号 当 A B 时 取 得( 取 A=B 即 可) ， 因 此 所 求 最 小 值 为 1 2 n n .第 3 6 页 共 5 0 页 清华大学 2016 年暑期学校数学测试真题 1. 已知 2 0log 1 3 a 且 1 a ，则 a的取值范围是 . 【答案】 2 0, 3 【解析】根据题意，有 2 3 log 1 a ，于是 a的取值范围是 2 0, 3 . 2. 在 锐 角 A B C 中 ， 7, 3,sin 7 sin 2 3 a b A B ， 则 A B C 的 面 积 是 . 【答

35、案】 3 3 2 【解析】解法一：由正弦定理可得 1 7 7 2 2 3 3 a b R ， 其中 R 为 A B C 外接圆半径，于是 3 sin 2 2 a A R ， 从而根据余弦定理 2 2 2 2 cos b c a bc A ， 解得 1 c （此时 B 为钝角，舍去）或 2 c .因此 A B C 的面积 1 3 3 sin 2 2 S bc A . 解法二：根据正弦定理 7 sin sin sin 3sin B a B b A A ， 于是 3 sin 2 A ， 其余同解法一.第 3 7 页 共 5 0 页 3. 已知椭圆 2 2 1 3 2 x y C ： 的左、右焦点分别

36、为 1 F ， 2 F ，过点 2 F 作直线 1 l 与椭圆交于 A， C 两点，直线 1 l 的斜率为 1，过点 1 F 作直线 2 l 与椭圆交于 B， D 两点，且 A C B D ，则四 边形 A C B D的面积是 . 【答案】 96 25 【解析】由焦点弦长公式，可得四边形 A C B D的面积 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 2 96 2 2 cos cos 25 A C B D ab ab S A C B D a c a c 其中 1 2 3 3, 2, 1, , 4 4 a b c . 4. 在正方体 1 1 1 1 A C B D A C B D 的底

37、面 1 1 1 1 A C B D 内有一点 M ，且 1 / B M A D C 平面 ，则 1 tan D M D 的最大值是 . 【答案】 2 【解析】作平面 1 1 B A C ，如下页图，根据题意，点 M 在线段 1 1 A C 上运动. 于是 1 1 1 1 1 1 1 tan 2 , D D D D D M D D M d D A C , 当 M 位于 1 1 A C 的中点时取得等号，因此所求的最大值为 2 . 5. 已知集合 2 2 | 2 3 0 | 0 = 3,5 A x x x B x x ax b A B R A B , , , , 则 a b . 【答案】-9 【解

38、析】根据题意 , 1 3, A ，于是 1,5 B ，第 3 8 页 共 5 0 页 从而由韦达定理得 1 5 4, 1 5 5 a b ， 于是 9 a b . 6. 圆心为点 0,1 的单位圆沿 x轴正向滚动，初始时刻点 P的坐标为 0,0 O ，当圆心运动 到 ,1 2 时，点 P的坐标为 . 【答案】 1,1 2 【解析】先考虑旋转，则整个圆顺时针旋转了 2 ， 于是点 0,0 旋转到点 1,1 ； 再考虑平移，可得 1,1 2 P 7. 已知等差数列 n a 的前 n项和为 n S ，且 105 2016 S ， 2016 105 S ，则 2121 S . 【答案】-2121 【解

39、析】根据题意，关于 n的方程 2121 n S n 有两个实数根 105 n 和 2016 n ，考虑到 n f n S n 形如 2 a n n ， 因此由 105 2016 f f 可得， 2121 105 2016 0 0 f f f . 备注：一般地，若等差数列的前 n项和 n S 满足 p S q 且 q S p ，则 p q S p q . 8. 数列 n a 满足 1 1 1 n n a a ， n N ， 1 2 a ，已知 n a 的通项可以表示成 sin A n B 的形式，则数列 n a 通项的一个表达试为 . 【答案】 2 1 3 sin 3 3 2 n 第 3 9 页

40、 共 5 0 页 【解析】根据题意，有 1 1 2, , 1,2, , 1, 2 2 n a ： 于是考虑周期为 3，对应 2 3 ， 由 1 2 3 1 2, , 1 2 a a a 得 sin 1, 2 sin 2, 3 4 1 sin , 3 2 A B A B A B 解得 1 2 B ， 2 3 A ，取 3 A ，于是 可取 3 . 9. 定义 1 1 M x M f x x M , , ，且 | 1 M N M N x f x f x . 集合 | , ,1 2016 A x x k k N k ，集合 | 2 , ,1 2016 B x x k k N k . (1) 求 20

41、16 A f ， 2016 B f . (2) 设 c a r d X 为集合 X 的元素个数，求 m c a r d X A c a r d X B 的最小值. 【解析】(1)根据 M f x 的定义，有 2016 1 A f , 2016 1 B f . (2)设集合 X 中有 0 x 个元素既不在 A中也不在 B 中， 1 x 个元素只在集合 A中， 2 x 个元素只 在集合 B 中， 3 x 个元素同时在集合 A, B 中，如图. 则第 4 0 页 共 5 0 页 0 2 1 3 0 1 2 3 0 3 2 2 2 2016 2016 2 1008 2016 m c a r d X A

42、 c a r d X B x x c a r d A x x x x c a r d B x x c a r d A c a r d B x x c a r d A c a r d B c a r d A B 当 0 0 x , 3 x c a r d A B 时等号成立，即 A B X ，且 X A B 时可取到最小 值，也可以直接取 X A B ，因此所求的最小值为 2016. 10. 已知 sin f x A x B ，自变量、相位、函数值的部分取值如下表 x 3 7 12 x 0 2 3 6 f x 1 3 (1) 求 f x 的解析式； (2) 求 f x 的单调递增区间； (3)

43、求 f x 在 0, 2 内的所有零点. 【解析】(1)根据题意 2 5 =2sin 1 3 9 f x x ， 也即 2 4 =2sin 1 3 9 f x x . (2)函数 f x 的单调递增区间为 17 3 ,3 12 12 k k k Z . (3)函数 f x 的零点形如 2 4 7 2 3 9 6 x k ，第 4 1 页 共 5 0 页 或 2 4 11 2 , 3 9 6 x k k Z ， 解得其在 0, 2 内的所有零点为 13 12 x . 11. 已知圆 2 2 : 16 O x y ， , A B为圆 O与 x轴的两个不同的交点， 1 2 , l l 是圆 O在点

44、, A B 处的切线， P 为圆上不与 , A B重合的点，过点 P 的切线交 1 2 , l l 于 , C D 两点， A D与 B C 交 于点 , M m n . (1) 求 m 与 n之间的数量关系； (2) 存在一点 ,0 Q a 且 0 a ，使得 Q M 的最小值是 7 2 ，求 a的值. 【解析】(1)如图，设 P 在 x轴上的投影为 H ，则由梯形的性质可得其对角线的交点 M 为 线段 P H 的中点. 因此 m 与 n之间的数量关系为 2 2 1 0 16 4 m n n . (2)根据题意 2 2 2 2 2 2 2 1 3 4 1 + 4 4 4 4 3 3 a Q

45、M m a n m a m m a ， 由于 0 n ， 4 4 m ，因此只有第 4 2 页 共 5 0 页 2 2 4 4 4, 3 1 7 4 , 3 2 a a 解得 3 3 2 a . 12. 已知直线 l为曲线 ln : a x C y x 在点 1, a 处的切线. (1) 求直线 l的方程 (2) 求证：当 1 a 时，直线 l除切点外恒在 C 的上方. 【解析】(1)记 ln = a x f x x ，则 f x 的导函数 2 1 ln a x f x x ， 于是切线 l方程为 1 2 1 y a x a . (2)只需要证明当 1 a 时，有 ln 0, 1, 1 2 1

46、 a x x x a x a x ， 也即 2 2 0, 1, 1 ln 0 x x x a x x x . 因此只需要证明 2 2 0, 1, 1 ln 0 x x x x x x . 即 0, 1, ln 1 0 x x x x . 这显然成立，因此原命题得证.第 4 3 页 共 5 0 页 清华大学2015 年暑期学校数学测试真题和答案 1. 2 ln , 3 f x x x g x x ax （1）求 f x 在 , 1 0 m m m 上的最小值。 （2）对于任意不同两数 1 2 1 , x x e e ， 1 2 1 2 | | | | f x f x g x g x 恒成立， 求

47、 a的取值范围。 【解答】函数单调性的讨论，拉格朗日中值定理 （1） 考虑 f x 的导数： ln 1 f x x 。于是当 1 x e 时， f x 单调递减； 当 1 x e 时， f x 单调递增，只需对 ( 0) m m 的大小分类讨论即可： 当 1 0 m e 时，在 , 1 m m 上 f x 最小值为 1 1 f e e ； 当 1 m e 时，在 , 1 m m 上 f x 最小值为 ln f m m m 。 （2 不妨假设 1 2 x x ， 1 2 1 2 | | | | f x f x g x g x 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2

48、 | ln ln | | | | ln ln | | ( )( ( ) | x x x x x ax x ax x x x x x x a x x 1 1 2 2 1 2 1 2 ln ln ( ) x x x x a x x x x 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ln ln ( ) ( ) x x x x x x x x a x x a x x x x x x 或者 在 1 2 1 , x x e e 恒成立。 注意 2 2 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 ln ln ( ln ) ( ln ) ( ) x x x

49、 x x x x x x x x x x x x x ，为导函数形式，令 2 ln t x x x x ，由拉格朗日中值定理，存在 1 2 , x x 中的一点 0 x 使得 0 t x 等于 上式，故只需求 2 ln t x x x x 在 1 , e e 上导数的最大值即可，该最大值在右端取 得，同时原式只能无限趋向于该值，所以 2 2 a e 。同理对另一部分同样计算。第 4 4 页 共 5 0 页 于是可得到 a的取值范围是 2 2 a e 或者 ln 2 a 。 2 . 一点从 A出发，掷一枚骰子，若大于等于 5 点，则沿平行于 B C 方向（正反方向均可） 移动一步， 若小于等于

50、4点， 则沿平行于 A B 方向 （正反方向均可） 移动一步， 设掷 * 2 ( ) n n N 次骰子后回到 A点的概率为 n a ，回到 B点的概率为 n b 。 （ 1）求 1 a （ 2）设掷 4 次骰子经过 C 点的次数为 X ，求 X 的分布列。 （ 3）是比较 2015 a ， 2015 b ， 1 2 的大小（直接写出结果） 【解答】数列的递推和归纳法 （ 1）已知每一步沿水平方向走得概率为 2 3 ，沿垂直方向走得概率为 1 3 ，两次后回到 A点的 概率，有两种可能：沿垂直方向上下或者沿水平方向上下。故 1 1 1 2 2 5 3 3 3 3 9 a 。 （ 2）直接计算可

51、得： 25 4 20 ( 0) ; ( 1) ; ( 2) . 81 9 81 P X P X P X （ 3）注遗到掷偶数次不可能停在 B点或 D点。故 2015 0 b 。由第一问， 1 5 9 a ，故掷两次 后停在 C点概率为 4 9 ，记作 1 c 。设掷 * 2 ( ) n n N 次骰子后回到 C 点的概率为 n c ，可以得到 递推公式： 1 1 5 4 9 9 4 5 9 9 n n n n n n a a c c a c 。 两式相减得 1 1 1 9 n n n n a c a c ， 可以归纳得到 n n a c 对任意 n成立， 因为 1 n n a c ， 所以 1

52、 2 n a ，可得 2015 2015 1 2 a b 。 3 . 圆 2 2 ( 3) 100 x y ，圆心为 A ，点 3,0 B ，作圆上任一点 M 和 B点连线的中垂线， 交 A M 于 N 。 （ 1）求 N 的轨迹 C 方程。 （ 2） y 轴上一定点 (0,16) D ，过 D点的直线 l交 C 于 P Q两点， D P D Q ，求 的取 值范围。第 4 5 页 共 5 0 页 （ 3）在曲线 C 上任取两点 , P Q ，且 , P Q 不垂直于 x轴，线段 P Q的中垂线 交 y 轴于点 0 0, y ，求证 0 9 9 4 4 y 。 【解答】解几中的几何法和联立 （

53、 1）注意到 10 A N B N A N M N A M ，因此点 N 在以 A 、 B为焦点，2 10 a 的 椭圆上。故 N 的轨迹 C 的方程为： 2 2 1 25 16 x y （ 2）不妨设 P在 Q上方。若 : 0 l x ，则 3 5 。若不然，由图像可知， l离 y 轴夹角越大， D P 越大， D Q 越小。则可得 3 1 5 。故 的取值范围为 3 1 5 。 （ 3）设 1 2 ( , ) P x x ， 2 2 ( , ) Q x y 。则 2 2 1 1 2 2 2 2 1 25 16 1 25 16 x y x y 又因为线段 P Q的中垂线交 y 轴于点 0 0

54、, y ，故 2 2 2 2 1 0 1 2 0 2 ( ) ( ) x y y x y y 。将 1 2 , x x 消去，化简即得： 0 1 2 9 32 y y y 。利用 1 2 8 8 y y ，得到 0 9 9 4 4 y 。 4 . 2 sin 2cos 1, 0, 6 2 12 2 x f x x x （ 1）求 f x 的递减区间。 （ 2）若 0 f x m 有两个不同实数根，求 m的取值范围。 【解答】三角函数代换 （ 1）化简可得： 2 sin 2cos 1 sin cos 6 2 12 6 6 2 6 2 sin sin cos 6 3 2 4 x f x x x x

55、 x x x 于是易知求 f x 的递减区间为 , 4 2 。第 4 6 页 共 5 0 页 （ 2） 1 3 6 2 1 3 0 , , 2 4 2 2 2 f f f 。于是由图像即得 m 的取值范围 为 1 3 6 2 2 2 m 。 5 . 5 个人下棋，平局两人各得 1 分，赢的人得 2 分，输的人得 0 分，下了若干盘后所有人分 数两两不同，求至多还没下几盘棋？ 【解答】极限法，这里用到极限法，先求最小值，再去构造，在组合的极限原理中也有运用 5 个人 , , , , A B C D E 分数两两不同，因此他们得分至少为 0、 1、 2、 3、 4，共 1 0 分，每局比 赛无论输赢如何分数和均为 2 分，所以至少比 5 场，比赛 5 场并且分数分布为 0、 1、 2、 3、 4 是可以构造的， C 胜 A， D胜 A， E胜 A， E胜 B， B平 D。总共比赛 了 2 5 10 C 场，所以至多没下 1 0 - 5 = 5 场。第 4 7 页 共 5 0 页 高 三 年 级 强 基 课 程 ， 适 用 于 强 基 以 及 清 北 暑 期 学 堂第 4 8 页 共 5 0 页 暑 期 新 高 二 / 三 年 级 强 基 课 程第 4 9 页 共 5 0 页