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1、2020/8/14,1,第十章 线性回归和方差分析,10.1 线性回归分析,2020/8/14,2,10.1.1线性回归模型,设x是普通变量,Y是随机变量,且,其中,是不依赖于x的未知参数,称此模型为一元线性回归模型.,(1)易见,此时,(2)称Y的期望:,为Y关于,x的回归函数.,2020/8/14,3,10.1.2 参数的极大似然估计,若有观察值,似然函数,见Page 252,2020/8/14,4,10.1.2 参数的极大似然估计,对数似然函数求偏导数,得到似然方程:,(Page252),求解得:,2020/8/14,5,其中,此外:,10.1.2 参数的极大似然估计,2020/8/14
2、,6,最小二乘估计,注意到参数,的极大似然估计是使得,似然函数的指数部分,达到最小的估计,即使得该数据,对,估计,的偏差平方和达到最小.,最小二乘估计是使数据点到回归直线的 垂直距离平方和达到最小,如下图:,2020/8/14,7,最小二乘估计,最小二乘准则的目标是使估计的偏差平方和(又叫残差平方和)达到最小.即:,2020/8/14,8,例10.1,一化学反应过程的中间步骤是在一个大气压下进行的,反应的温度2到10 ,相应的得率数据如下,求得率y关于温度x的线性回归方程.,温度,得率%,2 4 6 8 10,5 10 14 17 21,解:线性回归的计算可通过列表实现:,2020/8/14,
3、9,例10.1,2 4 6 8 10,4 16 36 64 100,5 10 14 17 21,10 40 84 136 210,代入公式,得:,2020/8/14,10,例10.1,2020/8/14,11,定理10.1,2020/8/14,12,验证 独立,2020/8/14,13,10.1.3 回归方程的显著性检验,检验X与Y是否存在线性相关关系,假设,原假设H0成立时,有:,于是可构造一个服从T分布的样本函数:,2020/8/14,14,10.1.3 回归方程的显著性检验,当H1成立时,检验统计量有偏大的倾向,所 以得到检验的拒绝区域为:,注意到:,其中,详见P258,2020/8/14,15,一化学反应过程的中间步骤是在一个大气压 下进行的,反应的温度2到10 ,相应的得 率数据如下,求得率y关于温度x的线性回归 方程.,温度,得率%,2 4 6 8 10,5 10 14 17 21,检验例10.1中回归的显著性,10.1中的结果为:,2020/8/14,16,在例10.1中计算再加一行,2 4 6 8 10,4 16 36 64 100,5 10 14 17 21,10 40 84 136 210,假设:,2020/8/14,17,代入公式计算,因为,故拒绝H0,可以认为存在线性相关关系.,
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