数量函数的积分学

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1、 第九章第九章 数量值函数的积分学数量值函数的积分学 9.1 9.1 二重积分的概念及性质二重积分的概念及性质 9.2 9.2 二重积分的计算二重积分的计算 9.3 9.3 三重积分及其计算三重积分及其计算 9.4 9.4 第一型（对弧长）曲线积分第一型（对弧长）曲线积分 9.5 9.5 第一型（对面积）曲面积分第一型（对面积）曲面积分 9.6 9.6 数量值函数积分学的应用数量值函数积分学的应用曲顶柱体体积曲顶柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D1.曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积问题的提出问题的提出立立体体称称为为轴轴的的柱柱面面，这这样样的的线线平平行行于于，侧侧面面是是母母

2、为为底底有有界界闭闭区区域域为为顶顶，平平面面曲曲面面续续在在直直角角坐坐标标系系中中，以以连连zDyxfz0),(曲顶柱体曲顶柱体.柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如

3、下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示返回返回求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用“分割、近似代替、分割、近似代替、求和、取极限求和、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示(3)曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积:xzyo),(yxfz i ),(ii .),(lim10iiniiTfV 曲顶柱体的体积为曲顶柱体的体积为:.,)1(21n

4、nDT 个个小小区区域域：分分成成把把分分割割,),()2(iii niiiifV1),(，令令0)(max)4(1 inidT.,21nVVVn 个个小小曲曲顶顶柱柱体体：对对应应.,也也表表示示其其几几何何度度量量其其中中iiV 步骤如下步骤如下:.,2,1,),(:nifViiii 小小曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积2.求平面薄板的质量求平面薄板的质量i),(ii(3)薄板的总质量：薄板的总质量：xyo.,2,1,),(nimiiii niiiim1),(个个小小区区域域：分分成成把把薄薄板板区区域域分分割割nDT)1(.,21也也表表示示其其面面积积每每个个小小区区域域in ，令令0)(

5、max)4(1 inidT 薄薄板板的的质质量量为为：.),(lim10iiniiTm .,),(,myxDxoy求求平平面面薄薄板板的的质质量量面面密密度度为为连连续续函函数数，面面上上的的闭闭区区域域占占有有设设有有一一平平面面薄薄板板,),()2(iii ，的的细细度度分分割割记记)()(max1TdTini T iiniif ),(1作作和和上有定义，上有定义，在有界闭区域在有界闭区域设二元函数设二元函数Dyxf),(定义.,21也也表表示示其其面面积积每每个个小小区区域域个个小小闭闭区区域域：分分成成将将innD iii ),(积积分分和和（或或黎黎曼曼和和）),2,1(ni,sup

6、(21,21PPdiPPi ）其其中中IfiiniiT 存存在在若若 ),(lim10),(的的选选法法都都无无关关及及与与数数其其中中这这里里，iiTI ,),(上可积上可积在在则称则称Dyxf,),(上上的的在在Dyxf二重积分二重积分记为记为为为并并称称此此极极限限值值I Ddyxf),(IfniiiiT 10),(lim xyoD,),(上可积上可积在在如果如果Dyxf用平行于坐标轴的直线网来划分区域用平行于坐标轴的直线网来划分区域 ，D则则Dx y Ddyxf),(d故二重积分可写为故二重积分可写为.),(Ddxdyyxfdxdyyx 面积元素为：面积元素为：,在在直直角角坐坐标标系

7、系下下二重积分的几何意义：二重积分的几何意义：Ddyxfyxf),(,0),(时时当当；为为底底的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积为为曲曲顶顶以以是是以以曲曲面面Dyxfz),(Ddyxfyxf),(,0),(时时当当xyzo),(yxfz .为为曲曲顶顶柱柱体体体体积积的的负负值值物理意义：物理意义：dyxmD ),(平面薄板的质量平面薄板的质量二.二重积分的性质.),(),(上上可可积积在在设设函函数数Dyxgyxf性质性质1.为为常常数数）（k Ddyxkf),(Ddyxfk),(性质性质 2 Ddyxgyxf),(),(.),(),(DDdyxgdyxf 性质性质 3（积分区域的（积分区

8、域的可加性）可加性）)(21没没有有公公共共内内点点与与DD21DDD 若若xy1D2DoD.),(),(),(21 DDDdyxfdyxfdyxf 则则性质性质 4.的面积的面积D DDdd 1性质性质 5,),(),(),(yxgyxfDyx 有有若若.),(),(DDdyxgdyxf 则则（不等式性质）（不等式性质）,),(),(),(yxfyxfyxf 特特别别地地，由由.),(),(DDdyxfdyxf ,),(),(),(dyxfdyxfdyxfDDD 性质性质 6,),(上上连连续续在在闭闭区区域域设设Dyxf,),(,上上的的最最大大值值和和最最小小值值在在分分别别是是Dyxf

9、mM则则（估值定理）（估值定理）,的的面面积积为为DD.),(DMdyxfDmD 证证,),(),(MyxfmDyx 有有5由性质由性质 dMdyxfdmDDD ),(Dm.DM 有有及及性性质质,4,1证毕证毕性质性质 7（中值定理）（中值定理）是连通的，是连通的，设设 D上上在在若若Dyxf),(,连连续续，至至少少则则使使,),(D DfdyxfD ),(),(的的面面积积）为为（其其中中DD),(),(fz xyzo.),(0),(柱柱体体的的体体积积为为高高的的平平顶顶底底上上以以一一个个曲曲顶顶柱柱体体的的体体积积等等于于同同时时，意意义义：当当有有明明显显的的几几何何中中值值公公

10、式式 fyxf 中值公式中值公式 .),(yxfz D DdyxfDf ),(1),(其其中中.),(上上的的平平均均值值在在称称为为Dyxf与与最最小小必必有有最最大大值值则则上上连连续续在在因因MDyxf,),(DDDdMdyxfdm ),(证证，值值m.),(),(,fD使使根根据据连连续续函函数数的的介介值值性性,),(MDdyxfmD MyxfmDyx ),(,),(有有即即则则显显然然,0 DdD.成成立立即即DfdyxfD ),(),(证毕证毕性质性质8(对称性对称性)上连续，上连续，在在设设Dyxf),(,.1轴轴对对称称关关于于若若xD dyxfD),(,),(是是偶偶函函数

11、数关关于于yyxf,),(2 1 dyxfD ,yxfyxf .),(是是奇奇函函数数关关于于yyxf yxfyxf,0,1轴轴上上方方的的部部分分在在是是xDD 则则 xyOD1D,.2轴轴对对称称关关于于若若yD dyxfD),(,),(是是偶偶函函数数关关于于xyxf,),(2 1 dyxfD ,yxfyxf .),(是是奇奇函函数数关关于于xyxf yxfyxf,0,1轴轴右右方方的的部部分分在在是是yDD 则则 xyOD1D,.3对对称称关关于于直直线线若若xyD,),(),(DxyDyx 即即 则则.),(),(DDdxyfdyxf oxyxy D解解,),(Dyx 221yxe

12、有有,2ae,1)0,0(,)0,(),(0222 efeafDeyxfayx分分别别为为上上的的最最大大值值和和最最小小值值在在由性质由性质 6 得得222)(aDyxeDdeD ab.2aeab 解解16)(1),(2 yxyxf上上的的最最大大值值在在D,51)2,1(,41)0,0(ff和和最最小小值值分分别别为为2,DD的的面面积积由性质由性质 6 得得4252 I 4.0.5,0 x111 1 oy)0(r解解,1时时当当 yxr220yx 2)(yx ,1,1022 yx,0)ln(22 yx,1时时又又当当 yxrr orrr.2,0,1,)ln()ln(42围围成成的的三三角

13、角形形区区域域所所是是由由直直线线其其中中的的大大小小与与比比较较积积分分例例 yxyxDdyxdyxDD 解解oxy12D2 yx11 yx,),(时时当当Dyx yx 12 e,1)ln(0 yx,)ln()ln(2yxyx .)ln()ln(2 DDdyxdyx 故故.11,10:,)1()1(53 xyDdxdyyxD计计算算下下列列二二重重积积分分例例解解（1）积分区域如图所示）积分区域如图所示xy1-11ODdxdydxdyyxdxdyyxDDD 1)1(33.2 轴轴对对称称关关于于 yD为为奇奇函函数数关关于于 x0.11,1:,)1()2(3 xyxDdxdyyxD.积积分分

14、区区域域如如图图所所示示-111oxyDdxdydxdyyxdxdyyxDDD 1)1(331D2DdxdyyxD 13dxdyyxD 23dxdyD 10.2 轴轴对对称称关关于于yD1为为奇奇函函数数关关于于 x解解轴轴对对称称关关于于 xD2为为奇奇函函数数关关于于 y.1:,)3(2 yxDdxdyexyDx积分区域如图所示，积分区域如图所示，轴轴对对称称，关关于于显显然然，yD，是是奇奇函函数数关关于于被被积积函函数数xexyyxfx2),(.02 dxdyexyDxx111 1 oyD解解直角坐标系下二重积分的计算直角坐标系下二重积分的计算上上连连续续，在在有有界界闭闭区区域域设设

15、Dyxf),(?),(Ddxdyyxf二二重重积积分分如如何何计计算算特特征征，的的的的形形状状以以及及被被积积函函数数根根据据积积分分区区域域),(yxfD.分分将将二二重重积积分分化化为为二二次次积积,bxa ).()(21xyx 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1x)(2x,baDba)(2xy )(1xy o)(2xy abD)(1xy o)(型型 x的的边边界界轴轴的的直直线线与与平平行行于于xDy是平行于是平行于 y 轴的直线部分除外）轴的直线部分除外）.最多有两个交点最多有两个交点 的特点的特点：xD（边边界界如果积分区域为如果积分区域为 ：D 为底，以为底，

16、以的值等于以的值等于以设设DyxfdyxfD)0),(),(积积为为曲曲顶顶的的曲曲顶顶柱柱体体的的体体V ),(yxfz 曲面曲面，,ba x),(yxfz yxzoab)(1xy )(2xy D),(yfz x )()(21),()(dyyfAxxxxdxxA)(ba Vdxdyyxfbaxx )()(21),(.),()()(21 xxbadyyxfdx .),(),()()(21 xxbaDdyyxfdxdxdyyxf 故故x.)(积积分分后后先先xy)(xA,dyc ).()(21yxy 其中函数其中函数 、在区间在区间 上连续上连续.)(1y)(2y,dc)(2yx )(1yx D

17、cdcd)(2yx )(1yx D)(型型 y的的边边界界轴轴的的直直线线与与平平行行于于yDx.最多有两个交点最多有两个交点 的特点的特点：yD（边边界界是平行于是平行于 轴的直线部分除外）轴的直线部分除外）x.),(),()()(21 Ddcyydxyxfdydxdyyxf 同理同理如果积分区域为如果积分区域为 ：D )(积积分分后后先先yx二重积分在直角坐标下的计算公式二重积分在直角坐标下的计算公式上上连连续续，在在有有界界闭闭区区域域设设Dyxf),(则则,:bxaDx 若若).()(21xyx xDbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(积积分分后后先先xy,:d

18、ycDy 若若).()(21yxy 则则 yDdcyydxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(积积分分后后先先yx特特别别，则则,:bxaD 若若.dyc Dbadcdyyxfdxdxdyyxf),(),(.),(badcdxyxfdy，若若)()(),(ygxyxf 则则 Ddxdyyxf),(Ddxdyygx)()(dyygxdxdcba )()(badxx)(.)(dyygdc 若区域如图，若区域如图，3D2D1D在分割后的三个区域上分别在分割后的三个区域上分别使用积分公式使用积分公式:Ddxdyyxf),(则必须分割则必须分割.D 1),(Ddxdyyxf 2),(Ddxd

19、yyxf.),(3 Ddxdyyxf ,22;11:.1122 yxDdxdyyxID为矩形为矩形计算计算例例xy11 2 2积积分分后后先先或或后后先先yxxy解解 2222112211dyyxdxdxdyyxID 11322-23dxyyyx 112)3284(dxx.36435638 11328343 xx.12,.222围成围成和和由直线由直线其中其中求求例例 xyyxyDdxdyyxID解解xyo1 xyxy 2 y112D1D2DxD看作看作21DD 212 1 D,121 x.21 yx 2 D,21 x.2 yx积积分分后后先先xydyyxdxdyyxdxIxx 2222121

20、22121 121212dxyxx 2122dxyxx.19281 DdxdyyxI221yD看作看作xyoyx1 yx 2 yD2积积分分后后先先yx ,21 y.1 yxy yydxyxdy12221 211233dyyxyy 215131dyyy.19281 xy 2yx Do11xy及及是是由由直直线线其其中中计计算算例例xyDdyyID ,sin3.2所所围围成成的的区区域域抛抛物物线线yx 解解.,型型区区域域又又可可看看成成型型既既可可看看成成区区域域 yxD:xD ,10 x.xyx xxdyyydxIsin10sin数数表表示示的的原原函函数数不不能能用用初初等等函函由由于于

21、yy.无无法法计计算算积积分分后后先先xyxy dyyID sin计计算算:yD ,10 y.2yxy 积积分分后后先先yx I则则 102sinyydxdyyy yydxyydy2sin10dyyyyy 102)(sin.1sin1 注注:化二重积分为二次积分化二重积分为二次积分,既要根据积分区域的形状既要根据积分区域的形状,又要注意被积函数的特点选择简便易算的积分次序又要注意被积函数的特点选择简便易算的积分次序.画出积分区域的草图往往有助于做出正确的选择画出积分区域的草图往往有助于做出正确的选择.yx 2yx Do11xy 10sin ydy 10sin ydyy1xyyx DO.e411

22、02 xydydxI求求例例.e2二二次次积积分分无无法法直直接接积积出出，所所以以这这个个的的原原函函数数不不是是初初等等函函数数由由于于函函数数y.1,1,0所所围围成成说说明明积积分分区区域域由由 yxyxx DydxdyI2e则则 :yD.1,10:yxxDx积积分分后后先先yx要改变积分次序！要改变积分次序！.0yx ,10 y解解 yydxdy0102e 102edyyy 102)(e212ydy).1e(21 解解 102112),(yydxyxfdy.20,10:21xxyxD .20,21:2xyxD ,22xxy :yD积积分分后后先先yxxy 222xxy 原原式式例例

23、5 5 改改变变积积分分 xxxdyyxfdxdyyxfdx20212010),(),(2.的的次次序序.2112yxy 1)1(22 yx211yx 所围成所围成.,2,2,02xxyxyy 说明积分区域说明积分区域由由,10 y 12xy1 o.20,11:,2 yxDdxyD其中其中求求 解解 DDdxdyxydxdyxy222 22122 DDdxdyxydxdyxy例例6 6DDyDx 2轴对称，轴对称，关于关于区域区域是偶函数，积分是偶函数，积分被积函数关于被积函数关于.20,10:yxD2xy .:,21DDD和和划分为两个区域划分为两个区域由由把把为了去掉绝对值为了去掉绝对值

24、202102xdyyxdx;0,10:21xyxD .2,10:22 yxxDD 1D2D2xy 1023210323434dxxdxx.235 221022xdyxydx1965P练练习习册册习习题题yxzo111 yxyxz Dxyz o1 yx11yxD例例 7 7 求求由由下下列列曲曲面面所所围围成成的的立立体体体体积积，yxz ，xyz ，1 yx，0 x，0 y.解解 曲面围成的立体如图：曲面围成的立体如图：DxOy平平面面的的投投影影是是所所围围立立体体在在.10,10:xyxDx DdxdyyxV)(1010)(xdyxyyxdx 103)1(21)1(dxxxx.247 Dx

25、ydxdy Ddxdyxyyx)(例例 连连续续且且恒恒大大于于零零，证证明明在在设设,)(8baxf证证,byabxaD 令令则则 Ddxdyyfxf)()(Ddxdyxfyfyfxf)()()()(21 Ddxdyyfxfyfxf)()()()(2122 Ddxdy.)(2ab xyaabbDxy yD 关关于于对对称称，x.)()()(2abxfdxdxxfbaba 2266P练练习习册册测测验验题题 babaxfdxdxxf)()(badxxf)(Ddxdyxfyf)()(Ddxdyyfxf)()(21)()(Ddxdyxfyf bayfdy)(二.二重积分的变量代换的的关关系系：极极

26、坐坐标标系系与与直直角角坐坐标标系系 xyxyDDdxdyyxfdyxf),(),(则则，)sin,cos(),(rrfyxf.rxyDDdxdyd drd?1.极坐标变换.sin,cos ryrx .20,0 r xxyy o),(r),(yxrAoD.Dr常常数数分分割割积积分分区区域域常常数数，用用 dr，各各取取微微小小增增量量给给 ddrr,drr d 则则dr rddrrd 与与 d面面积积元元素素（不记高阶无穷小）（不记高阶无穷小）可看成以可看成以.为为边边长长的的矩矩形形 rdrdd.)sin,cos(),(rxyDDrdrdrrfdxdyyxf.)sin,cos()()(21

27、 rdrrrfd ADo)(1 r)(2 r Drdrdrrf )sin,cos(则则在极坐标下二重积分化为二次积分的公式在极坐标下二重积分化为二次积分的公式:连续，连续，在在两个交点，两个交点，,)(),(21 的边界最多有的边界最多有常数与常数与并且射线并且射线的外部的外部D ,AoD)(2 r)(1 r(1)极点位于积分区域极点位于积分区域 ,)()(21 rD 积分积分后后先先 r（如如右右图图所所示示）最最多多有有两两个个交交点点.,)()(,0:)2(2121rrrrrD 若若,)(1r 的边界的边界常数与常数与连续，并且圆连续，并且圆在在Drrrr ,)(212 .)sin,co

28、s()()(2121 rrrrdrrfrdr Drdrdrrf )sin,cos(则则)(1r AoD)(2r 2r1r积分积分后后先先r 的外部的外部区域区域极点位于积分极点位于积分DAoD)(r.)sin,cos()(0 rdrrrfd Drdrdrrf )sin,cos(则则 ,:D)(0 r的边界上，且的边界上，且若极点在积分区域若极点在积分区域 D)3(积分积分后后先先 r Drdrdrrf )sin,cos(则则.)sin,cos()(020 rdrrrfd极坐标系下区域的面积极坐标系下区域的面积.Drdrd DoA)(r).(0 r,2 0 :D 的内部，且的内部，且若极点在积分

29、区域若极点在积分区域 D)4(积分积分后后先先 r的的二二次次积积分分，后后化化为为先先把把例例xydxdyyxfD )(22.41:22 yxD解解422 yxxy1o22 1 122 yx如如图图所所示示：积积分分区区域域D1D2D3D4D4321DDDDD :1D,12 x;4422xyx :2D,11 x;4122xyx :3D,21 x;4422xyx :4D,11 x.1422xyx 422 yxxy1o22 1 122 yx1D2D3D4D Ddxdyyxf)(22 4321)(22DDDDdxdyyxf 12442222)(xxdyyxfdx 11412222)(xxdyyxf

30、dx 21442222)(xxdyyxfdx.)(11142222 xxdyyxfdx422 yxxy1o22 1 122 yxD Ddxdyyxf)(22 sincosryrx 令令,:rD则则,20 .21 r Ddxdyyxf)(22 21220)(rdrrfd .,)(,22算算二二重重积积分分简简便便采采用用极极坐坐标标变变换换计计形形式式时时函函数数具具有有被被积积域域的的一一部部分分当当积积分分区区域域为为圆圆域域或或圆圆yxf 注注:.)(2212 rdrrf.0,1:,1112222 xyxDdxdyyxxyID其中其中求求例例解解 DDyxdxdydxdyyxxyI2222

31、11轴对称，轴对称，关于关于 xD的奇函数，的奇函数，是是 yyxxy221 )(1I,01 I,2I对对 1022221rrdrdI 102)1ln(2r .2ln2 .2ln221 III故故)(2Io1xyD.sin,cos ryrx 令令.rdrddxdy 则则.10,22:rDr x422 yxoy122 yxxy D,21,40 rDr ：dxdyxyD arctandrrd 2140 rdrd 2140 tanarctan ,4,arctan222 yxDdxdyxyID为为圆圆其其中中计计算算例例.0,122围围成成在在第第一一象象的的区区域域及及直直线线 yxyyx解解 si

32、n,cosryrx .6432 rdrrrd 2140 cossinarctan 1986P练练习习册册习习题题.),(31010分分为为极极坐坐标标系系下下的的二二次次积积化化例例 dyyxfdx解解 oxy11.积积分分，后后先先 r,sincos ryrx1D2D sec r csc r则则21DDDr sec0,40 r.csc0,24 rxy 1010),(dyyxfdx sec040)sin,cos(rdrrrfd.)sin,cos(csc024 rdrrrfd积积分分，后后先先r oxy11.2 r1D2D则则21DDDr 20,10 r,sincos ryrx由由r1arcco

33、s r1arcsin .1arcsin1arccos,21rrr .)sin,cos(1arcsin1arccos21 rrrdrrfdr 1010),(dyyxfdx 2010)sin,cos(rdrrfdr解解 设设 RxdxeI02,02 Rydye2I例例4求概率积分求概率积分.02 dxex2222Ryx R22D222Ryx 1D.正实数正实数为任意为任意R0,0),(,RyRxyxD 其其中中xoyRD0,0,),(:2221 yxRyxyxD再再作作0,0,2),(2222 yxRyxyxD RyRxdyedxeI00222,22 Dyxdxdye,21DDD 显显然然，,02

34、2 yxe 122Dyxdxdye 222Dyxdxdye Dyxdxdye22有有利利用用极极坐坐标标变变换换：,sin,cos ryrx Rrrdred0202 ,)1(42Re 222Dyxdxdye Rrrdred20202 ,)1(422Re )1(4)1(42222RReIe R4 4 R,42 RI,4202 dxex即即.202 dxex故故 122Dyxdxdye解解根根据据对对称称性性有有 14DD )(2)(222222yxayx ,2cos2 ar ,222arayx 1D由由 arar 2cos2,所所求求面面积积 Ddxdy 14Ddxdy 2cos2064aard

35、rd.)33(2 a.2cos2,60:1 araD 则则令令,sin,cos:ryrx ,rdrddxdy )6,(aA2.二重积分的一般变量代换 xyDdxdyyxf),(计计算算 .),(,),(vuyyvuxxT：一一般般地地，变变换换 .),(,),(1yxvvyxuuT：),(),(),(vuyxvuJ vuvuyyxx .),(),(1yxvu ),(,),(),(vuyvuxfyxf 则则,uvxyDD逆逆变变换换dxdyd dudv?则则有有是是一一对对一一的的变变换换上上雅雅可可比比式式在在；上上具具有有一一阶阶连连续续偏偏导导数数在在，且且满满足足变变为为将将闭闭区区域域

36、上上连连续续，变变换换在在闭闭区区域域设设.:)3(;0),(),(),()2(),(),()1(.),(,),(:),(xyuvuvuvxyuvxyDDTvuyxvuJDDvuyvuxDDvuyyvuxxTDyxf 定定理理.),(),(),(),(uvxyDDdudvvuJvuyvuxfdxdyyxf（证明略）（证明略）.),(缩缩率率表表示示变变换换前前后后面面积积的的伸伸其其中中：vuJ所所围围成成的的闭闭区区域域的的面面积积曲曲线线以以及及双双求求由由抛抛物物线线例例)0(,)0(,622babxyaxyqpqxypxy xyoaxy xyDbxy pxy 2qxy 2auvobpq

37、uvD,2uxy 令令解解:uvxyDD 则则),(),(1),(),(yxvuvuyx uvxyDDdudvvuyxdxdy),(),(qpbaDududvdudvuuv3131.ln)(31pqab .vxy .,bvaqup xy231,31u.)()(:)(7111 duufdxdyyxfufyx连连续续，证证明明设设例例20013P练练习习册册习习题题证证x111 1 oy1 yx1 yx1 yx1 yxD,1:如图所示如图所示 yxD,uyx 令令,vyx 则则11,11:vuDu111 1 ovD),(),(vuyx ),(),(1yxvu 11111 yvxvyuxu 1,21

38、 ,),(),(dudvvuyxdxdy 11,11:vuDdudvvuyxdxdy),(),(,21dudv 1)(yxdxdyyxf Ddudvvuyxuf),(),()(111121)(duufdv.)(11 duuf 证毕证毕所所围围成成的的椭椭球球体体的的体体积积求求椭椭球球面面例例18222222 czbyaxD解解dxdyzVD 8根根据据对对称称性性，0,0,1:2222 yxbyaxDdxdybyaxcD 222218则则令令,sin,cos rbyrax ,sin,cos bryarx,),(),(abrryx 广广义义极极坐坐标标变变换换.10,20:rDr drdabr

39、rcVrD 218rdrrdabc 1022018 .34abc ,Rcba 特别，若特别，若.343RV 球球（第一卦（第一卦 限部分）限部分）oxyacbz.),(lim :10 niiiiiTvfM 极限极限取取(4)(4)niiiiivfM1;),(:(3)(3)求和求和;,:21nvvvT 分分割割(1 1)问题的提出问题的提出 设有非均匀物体占有空间区域设有非均匀物体占有空间区域 ,其上各点其上各点(x,y,z)处的密度为连续函数处的密度为连续函数 f(x,y,z),求该物体的质量求该物体的质量.求空间非均匀物体求空间非均匀物体的的质量质量.:思思想想方方法法用用的的”“取取极极限

40、限求求和和近近似似代代替替分分割割、yxzO),(zyxf,),(iiiiv ;),(iiiiivfM :代替代替近似近似 (2)(2),(iii 定义定义,:),(21）个个小小区区域域也也表表示示其其体体积积示示第第既既表表（个个小小闭闭区区域域分分成成把把上上有有定定义义，在在空空间间有有界界闭闭区区域域设设ivvvvnTzyxfin iiiiv ),(niiiiivf1),(作作和和),2,1(ni 积积分分和和,)(max1inivdT 记记IvfiiiniiT 存存在在若若),(lim10 ),(的的选选法法都都无无关关及及与与数数iiiTI ，上可积上可积在在则称则称),(zyx

41、f dvzyxf),(记记作作.),(lim),(10iiiniiTvfdvzyxf 即即三三重重积积分分，上的上的在在叫做叫做有限数有限数),(zyxfI,),(上可积上可积在在如果如果 zyxf,坐坐标标面面的的平平面面来来分分割割行行于于在在直直角角坐坐标标系系中中，用用平平x y z xyzo，则则lkjizyxv ,dxdydzdv dxdydzzyxf),(dvzyxf),(.),(积元素积元素称为体称为体或或称为被积函数，称为被积函数，称为积分区域，称为积分区域，其中，其中，dxdydzdvzyxf 三重积分的物理意义三重积分的物理意义：空间物体的质量：空间物体的质量 dvzyx

42、fM),(的的体体积积为为：，则则特特别别，若若 1),(zyxf.dxdydzdvV1.在直角坐标系下计算三重积分在直角坐标系下计算三重积分 dvzyxf),(.最最多多有有两两个个交交点点面面的的边边界界曲曲与与闭闭区区域域轴轴的的直直线线设设平平行行于于Sz的的要要求求：对对积积分分区区域域 轴轴的的柱柱面面部部分分除除外外）是是母母线线平平行行于于（zS.)()(12）轴轴的的柱柱面面所所围围成成（如如图图两两个个曲曲面面及及母母线线平平行行于于、下下是是由由上上设设闭闭区区域域zSS 化三重积分为三次积分化三重积分为三次积分1z2zxyzo D2S1Sab)(1xyy )(2xyy

43、),(yx,:xyDxoy 面面上上的的投投影影为为闭闭区区域域在在闭闭区区域域如如图图),(:),(:2211yxzzSyxzzS ),(),(21yxzzyxz .),(xyDyx:);,(),(),(:),(:212211yxzyxzyxzzSyxzzS和和标标分分别别为为竖竖坐坐外外，穿穿入入点点和和穿穿出出点点的的穿穿出出过过曲曲面面内内，通通穿穿入入 xyD),(2yxzz ),(1yxzz ).,(),(21yxzyxz 上连续，且上连续，且在在与与其中其中xyDyxzyxz),(),(21曲曲面面轴轴的的直直线线，这这直直线线通通过过作作平平行行于于内内过过zyxDxy),(x

44、yzo xyD:2S:1S),(2yxzz ),(1yxzz 根据三重积分的物理意义根据三重积分的物理意义,dvzyxf),(为为密密度度函函数数是是以以),(zyxf M,),(xyDyx .M的的质质量量的的非非均均匀匀物物体体 用微元法：用微元法：),(yx，看看成成一一个个小小区区域域把把点点 dyx),(d，一一小小块块分分出出来来轴轴的的柱柱面面把把行行于于的的边边界界为为准准线线，母母线线平平以以 zd,dM其其质质量量为为),(),(21yxzyxzz ),(zyxf ddzzyxf),(),(),(21yxzyxz dM ddzzyxf),(),(),(21yxzyxz dM

45、上上连连续续累累加加，在在把把xyDdM xyDdMM即即.),(),(),(21 xyDyxzyxzddzzyxf dvzyxf),(先一后二法先一后二法xyzo xyD:2S:1S),(2yxzz ),(1yxzz ),(yx d),(zyxf.),(),(),(21 xyDyxzyxzdzzyxfdxdy,),()(:21bxaxyyxyDxy 若若即即:),(),(21yxzzyxz )()(,21xyyxybxa 则则 dvzyxf),(.),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzdzzyxfdydx先先 z 后后 y 再再 x 的积分次序的积分次序先一后二法先一后

46、二法 dvzyxf),(.),(),(),(21 xyDyxzyxzdzzyxfdxdy围围成成的的有有界界闭闭区区域域.平平面面三三个个坐坐标标面面及及计计算算1:,zyxxyzdxdydzI1 1例例解解yxz 1xyzo111xyD1 yx :.10yxz,10 x,10 xy xyzdxdydzI yxxzdzydyxdx101010 xyxdyzyxdx101021021 xdyyxyxdx10210)1(21.7201.,0,)(3:2222围围成成面面由由yyxzyxz 曲曲为为三三次次积积分分.化化三三重重积积分分2 2 dvzyxfI),(例例解解:.)(3022yxz,21

47、21 x,4121412122xyx 1.)(304121412121212222 yxxxfdzdydxI41)21(:22 yxDxy 类类似似地地，若若.),(yzDzy.),(),(),(21zyxxzyxzyx xyzo yzD),(1zyxx ),(2zyxx 则则 dxdydzzyxf),(先先 x 后后 y z 的积分次序的积分次序),(zy .),(),(),(21 yzDzyxzyxdxzyxfdydz.),(xzDzx ),(),(),(21zxyyzxyzyx若若xyz oxzD),(zx ),(2zxyy ),(1zxyy 则则 dxdydzzyxf),(先先 y 后

48、后 xz 的积分次序的积分次序.),(),(),(21 xzDzxyzxydyzyxfdxdz例例 3 3 解解,1:22 zxDxz.1122 yzx由由曲曲其其中中计计算算三三重重积积分分 ,12dxdydzxy.1,1,12222所所围围成成面面 yzxzxyxyz1 :,11 x,1122xzx dxdydzxy21 111111222221zxxxydydzdxx 111122222)(121xxdzzxdxx 1142)21(31dxxx.4528 先二后一法（坐标轴投影法、截面法）的一般步骤：（1）把积分区域）把积分区域;,21ccz向某轴向某轴(例如例如轴轴)投影投影,得投影区

49、间得投影区间;zD（2）,21ccz 用过用过z且平行且平行xOy平面的平面去截平面的平面去截,得得截面截面.,),(),(21czcDyxzyxz 即即1c2cyxzo z dvzyxf),(M用微元法：用微元法：,),(zDyx ),(yx看看成成一一个个把把点点),(yx，小小区区域域 dxdy),(zyxf薄薄片片物物体体的的质质量量则则dM为为 dzdxdyzyxf),(zDzDdz dzdxdyzyx),(zDfdM即即1c2cyxzo zzD),(yx),(zyxfdz上上连连续续累累加加，在在把把,21ccdM 21ccdMMdzdxdyzyx),(zDccf21故故.),()

50、,(21 zDccdxdyzyxfdzdxdydzzyxf注注：当：当 比较简单，比较简单，f(x,y,z)=f(z)时，时，zD先二后一法先二后一法用这种方法计算比较简便用这种方法计算比较简便.1,22围围成成由由 zyxzdvz计计算算积积分分例例4 4,:222zyxDz 102dzzz 111112222yxxxzdzdydxI先二后一法先二后一法先一后二法先一后二法Dz zDzdxdydzI10解解2解解1xyzDxy.11,11:22xyxxDxy ,122 zyx :o计算很繁！计算很繁！zDdxdyzdz104 1)10(z例例 5 5 由由其其中中计计算算 ,)(222dxd

51、ydzzyxI.1222222所所围围成成的的空空间间闭闭区区域域椭椭球球面面 czbyaxzDoxyacbzc 解解 dxdydzzdxdydzydxdydzxI222,321III dxdydzzI23先先计计算算先二后一法先二后一法，有有,ccz zDccdxdydzzI23.1543abc ccdzczabz)1(222，轴轴上上得得投投影影到到把把,ccz 1)1()1(22222222 czbyczax zD dxdydzzI23.1543abc ,1:222222 czbyax得得由由对对称称性性,dxdydzyI22;1543cab dxdydzxI21;1543bca dxd

52、ydzzyxI)(222故故.)(154222cbaabc 2.2.在柱面坐标系下三重积分的计算在柱面坐标系下三重积分的计算,0 r,20 .z的的柱柱面面坐坐标标就就叫叫点点三三个个数数，则则这这样样的的的的极极坐坐标标为为面面上上的的投投影影在在为为空空间间内内一一点点，并并设设点点设设MzrryxPxoyMzyxM,),(),(),(规定：规定：.,sin,coszzryrx 柱面坐标与直角坐标的关系为柱面坐标与直角坐标的关系为xyzo),(zyxM),(rP r)0,(yxPxy),(zrM z为常数为常数r为常数为常数z为常数为常数 如图，三个坐标面分别为如图，三个坐标面分别为圆柱面

53、圆柱面；半平面；半平面；平平 面面),(zyxM),(rP rzxyzo如图，柱面坐标系中的体积元素为如图，柱面坐标系中的体积元素为dzrdrddv dxdydzzyxf),(.),sin,cos(dzrdrdzrrf rxyzodzdr rd d rdrddv 体积元素：体积元素：xzy 一般地一般地,当积分区域在坐标面上的投影区域是当积分区域在坐标面上的投影区域是圆域圆域或者或者扇形域扇形域,被积函数含有式子被积函数含有式子 x2+y2 时时,用用柱面坐标变换计算三重积分比较简单柱面坐标变换计算三重积分比较简单.解解,3,1 rz知交线为知交线为,zr32 422 zrzr32 422 z

54、r.20,30:rDr上上的的投投影影为为在在 xoy 由由,cos rx ,sin ry .zz 与与是是其其中中计计算算4,222 zyxzdxdydz.322的的公公共共部部分分zyx 例例 6 6 xzy.20,30 r，2243rzr 24rz 32rz :22432030rrzdzrdrdzdxdydz ,dzrdrddxdydz 3043222drzrrr 304294drrrr.413 令令 dzrdrdrI 2120220 dzdrrd .316 .2,14,72222围成围成，由曲面由曲面其中其中求求例例 zzyxdxdydzyxI,cos rx ,sin ry .zz ,

55、20 ,20 r.21 z:解解xyzo12xyzoxyx222 1a2 是是由由曲曲面面其其中中求求例例 822dxdydzyxzI.,0,222域域围围成成的的在在第第一一卦卦限限的的区区azzxyx 解解 cos2 r:,20 ,cos20 r.0az ,cos rx ,sin ry .zz 令令 dzrdrdrzI azdzdrrd02cos0220 .982a 3.3.在球面坐标系下三重积分的计算在球面坐标系下三重积分的计算的的球球面面坐坐标标叫叫做做点点，则则M)(.)20()0()0(),(),(的的交交角角与与是是两两平平面面，角角轴轴正正向向所所夹夹的的与与向向线线段段是是有

56、有，平平面面上上的的投投影影为为点点在在空空间间一一点点设设POMxozzOMOMyxPxyzyxM为常数为常数 为常数为常数 为常数为常数 如图，三坐标面分别为如图，三坐标面分别为圆锥面；圆锥面；球球 面；面；半平面半平面Pxyzo),(zyxM zyx),(MPxyzo),(zyxM zyx),(M r,rOPPxoyM 并并设设面面上上的的投投影影为为在在设设点点.sin,cos:ryrxP 为为的的极极坐坐标标则则点点 .)20(.cos,)0(,sinsin,)0(,cossin zyx.cos,sin zrOMPRt中中，有有又又在在之之间间的的关关系系为为：的的直直角角坐坐标标与

57、与球球面面坐坐标标故故，点点 M dxdydzzyxf),()cos,sinsin,cossin(f球面坐标系中的体积元素球面坐标系中的体积元素:ddddvsin2 d d sin dxyzo )d d.sin,为为边边长长的的长长方方体体近近似似地地看看成成以以 ddd dsin.sin2 ddd2222 azyx 球面方程球面方程),(zyxMxyzo .cos,sinsin,cossin zyx令令a 化化为为：球球体体：2222 azyx ,20,0,0 a：.,)(222换换计计算算三三重重积积分分简简便便采采用用球球面面坐坐标标变变形形式式时时数数具具有有体体的的一一部部分分，被被

58、积积函函当当积积分分区区域域为为球球体体或或球球zyxf 解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，2222azyx 由由.20,40,0:a,a ,4 由由上上半半，其其中中求求例例 dxdydzzyxI)(9222.)0(222222所所围围成成与与锥锥面面球球面面yxzzazyx dxdydzzyxI)(222.5)22(5a 22yxz dddsin22 addd044020sin 令令,cossin x ,sinsin y.cos zxyzo解解 1 采采用用球球面面坐坐标标 az ,cos a 222zyx ,4 ,20,40,cos0:a例例 1 10 0 计计算算 ，其其中中 是

59、是锥锥面面 dxdydzyxI)(22,222zyx )0(aaz dddIa 40cos03420sin da)0cos(51sin255403 .105a ,cossin x ,sinsin y.cos zzoxyzoxy解解 2 采采用用柱柱面面坐坐标标 dxdydzyxI)(22 aradzrrdrd2020 adrrar03)(2.105a 222zyx ,rz ,20,0,:arazr,:222ayxDxy xyDaz ,cos rx ,sin ry .zz 解解 由由锥锥面面和和球球面面围围成成，22222azyx 由由22yxz ,20,40,20:a.,2:11222222的

60、的体体积积求求空空间间区区域域例例yxzazyx ,2a ,4 dxdydzV dddsin2 addd202020sin4 .)12(343a ,cossin x ,sinsin y.cos zxyzo，有有面面坐坐标标公公式式，更更一一般般地地角角坐坐标标或或柱柱面面坐坐标标或或球球，大大多多数数情情况况是是运运用用直直在在应应用用上上计计算算三三重重积积分分定定理理上上连连续续，作作变变换换在在设设xyzzyxf),(数数，这这些些函函数数具具有有连连续续偏偏导导 .),(,),(,),(:wvuzzwvuyywvuxxT.:;0),(),(11xyzuvwTwvuzyx 并并且且 xy

61、zdxdydzzyxf),(则则 uvwwvuxf),(.),(),(),(),(dudvdwwvuzyxwvuzwvuy 注注:.),(),(仍仍然然成成立立零零时时，则则上上述述变变换换公公式式处处非非上上等等于于零零，而而在在其其他他点点者者某某条条曲曲线线或或某某块块曲曲面面的的个个别别点点上上或或在在当当雅雅可可比比行行列列式式uvwwvuzyx 所所围围求求曲曲面面例例)0,(122222222 cbaaxczbyax.区区域域的的体体积积解解,0 x从从方方程程本本身身知知作变换：作变换：.cos,sinsin,cossin czbyax,cossin ax ,sinsin by

62、 .cos cz 即即,0 .20 ,0 称为广义称为广义球面坐标球面坐标变换变换 .,sin),(),(2 abczyx 这这里里，,cossin:23 a 曲曲面面方方程程为为,)cossin(0,0,22:312 a dddabcdxdydzVsin2 312)cossin(02022sin adddabc 02223sincos3ddbca.33 bca 4.4.利用对称性化简三重积分的计算利用对称性化简三重积分的计算使用对称性时应注意使用对称性时应注意：.积分区域关于坐标面的对称性；积分区域关于坐标面的对称性；.被积函数在积分区域上关于三个坐标轴的奇被积函数在积分区域上关于三个坐标轴

63、的奇偶性偶性.,下下上上且且平平面面对对称称关关于于设设一一般般地地xyxyxOy dxdydzzyxf),(则则 的的奇奇函函数数；是是关关于于当当zf,0.的的偶偶函函数数是是关关于于当当zf，上上 xyfdxdydz2.,左左右右且且平平面面对对称称关关于于设设xzxzxOz .,后后前前且且平平面面对对称称关关于于设设yzyzyOz dxdydzzyxf),(则则 的的奇奇函函数数；是是关关于于当当yf,0.的的偶偶函函数数是是关关于于当当yf，右右 xzfdxdydz2 dxdydzzyxf),(则则 的的奇奇函函数数；是是关关于于当当xf,0.的的偶偶函函数数是是关关于于当当xf，

64、前前 yzfdxdydz2例例 13 利利用用对对称称性性简简化化计计算算 解解积分域关于三个坐标面都对称，积分域关于三个坐标面都对称，被积函数是被积函数是 的的奇函数奇函数,z.01)1ln(222222 dxdydzzyxzyxz dxdydzzyxzyxz1)1ln(222222.1),(222 zyxzyx其其中中积积分分区区域域解解2)(zyx )(2222zxyzxyzyx ,0 xzdv由对称性知由对称性知是是其其中中求求例例 ,)(142dxdydzzyxI.222222的的公公共共部部分分与与 zyxyxzxyzo,22 dvydvx的奇函数，的奇函数，是关于是关于又又yyz

65、xy;0)(dxdydzyzxy平面对称，平面对称，关于关于且且xz 的的奇奇函函数数，是是关关于于同同理理xxz,平面对称，平面对称，关于关于且且yz dxdydzzxI)2(22,)2(22 dxdydzzxIxyzo22yxz 2222 zyx,20:,10 r,222rzr ,1:22 yxDxy投投影影区区域域 2222222010)cos2(rrdzzrrdrdI ).89290(60 22rz 2rz ,cos rx ,sin ry .zz 令令交线为交线为,1 z1 r例例1515.1:222 zyxdvez，计计算算 解解 上上dvedvezz2 10)(2zDzdxdydz

66、e 102)1(2dzezz.2 被积函数是被积函数是 的的偶函数偶函数,z平面对称，平面对称，关于关于且且xy 的的函函数数，被被积积函函数数仅仅为为z，截截面面2221:)(zyxzD .法法故故采采用用 先先二二后后一一.1)0(,0)0(1,0,)(1lim16222222240 fffdxdydzzyxfttzyxt上上连连续续，在在其其中中求求例例 .cos,sinsin,cossin zyx令令解解:2222为为则则tzyx ,20 ,0 ,0t 2222)(222tzyxdxdydzzyxf tdfdd02020)(sin ,)(402 tdf （北京大学（北京大学20012001年考研题）年考研题）4020)(4limtdftt 3204)(4limtttft ttft)(lim0 )0(f 0)0(f .2222)(1lim22240tzyxtdxdydzzyxft故故）（1)0(,0)0(ff实例实例:求非均匀曲线形物体的质量求非均匀曲线形物体的质量.sm 均匀曲线形物体的质量均匀曲线形物体的质量分割分割.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取