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1、1.2.1几个常见函数几个常见函数的导数的导数一、复习一、复习1.导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率导数的几何意义：曲线在某点处的切线的斜率;物理意义：物体在某一时刻的瞬时度。物理意义：物体在某一时刻的瞬时度。（三步法）（三步法）步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限说明说明:上面的方法中把上面的方法中把x换换x0即为求函数在点即为求函数在点x0处的导数处的导数.2.求函数的导数的方法是求函数的导数的方法是:3.函数函数f(x)在点在点x0处的导数处的导数 就是导函数就是导函数 在在x=x
2、0处的函数值处的函数值,即即 .这也是求函数在点这也是求函数在点x0 处的导数的方法之一。处的导数的方法之一。)(0 xf)(xf 0|)()(0 xxxfxf 4.函数函数 y=f(x)在点在点x0处的导数的几何意义处的导数的几何意义,就是曲线就是曲线y=f(x)在点在点P(x0,f(x0)处的切线的斜率处的切线的斜率.Cxfy)(:证明0)()(CCxfxxfy0 xy0lim)(0 xyCxfx()yf xC求函数的导数二、新课二、新课几个常见函数的导数几个常见函数的导数根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式根据导数的定义可以得出一些常见函数的导数公式.公式公式1:)(0为为常常数
3、数CC 公式公式2:1x:()yf xx证明()()yf xxf xxxxx 1yx0()lim1xyfxxx 公式公式3:2()2xx 22()()2xxxyf xxf xxxxxx00limlim(2)2xxyyxxxx 公式公式4:211()xx 211()()1yf xxf xxxxxxxxxx220011limlim()xxyyxxxxx 探究？探究？画出函数画出函数 的图象。的图象。根据图象，描述它的变化根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点情况，并求出曲线在点1，1处的切线方程。处的切线方程。1yx求切线方程的步骤：求切线方程的步骤：（1求出函数在点求出函数在点x0处的变化率
4、处的变化率 ，得到曲，得到曲线线 在点在点(x0,f(x0)的切线的斜率。的切线的斜率。)(0 xf （2根据直线方程的点斜式写出切线方程，即根据直线方程的点斜式写出切线方程，即).)()(000 xxxfxfy 公式公式5:1()2xx()()()()1()yf xxf xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 0011limlim()2xxyyxxxxx 上节课我们学习了上节课我们学习了5个常用函数个常用函数 的导数，但利的导数，但利用导数定义求导，其过程非常复杂！用导数定义求导，其过程非常复杂！所以，我们都迫切地希望有一些现成所以，我们都迫切地希望有一些现成的导数公式对此根据导数的定义，
5、的导数公式对此根据导数的定义，教材给出了如下几个的基本初等函数教材给出了如下几个的基本初等函数的导数公式，同学们只需熟记，并能的导数公式，同学们只需熟记，并能够利用它们求简单函数的导数即可够利用它们求简单函数的导数即可回顾旧知21,yc yx yxyyxx基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式函数函数导数导数6.()xf xe4.()cosf xx5.()xf xa8.()lnf xx7.()logaf xx3.()sinf xx*2.()()nf xxnQ1.()f xc()fx()fx()fx()fx()fx()fx()fx()fx 01nnxcosxsinxlnxaaxe1lnxa
6、1x例例1 1 假设某国家假设某国家2020年期间的年均通货膨年期间的年均通货膨胀率为胀率为5%5%，物价，物价p(p(单位：元单位：元)与时间与时间t(t(单单位：年位：年)有如下函数关系：有如下函数关系：，其中，其中p0p0为为t t0 0时的物时的物价价.假定某种商品的假定某种商品的p0p01 1，那么在第，那么在第1010个年头，这种商品的价格上涨的速度大个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少精确到约是多少精确到0.010.01）？）？0()(15%)tp tp=+应用举例，学以用之()1(1 5%)1.05ttp t 分析：分析：若假设 ，分析：若分析：若p05，那么，那么 ，那
7、么，那么解：根据基本初等函数导数公式表，有解：根据基本初等函数导数公式表，有05.1ln05.1)(ttp)/(08.005.1ln05.1)10(10年元 p因而，在第因而，在第10个年头，这种商品的价格约以个年头，这种商品的价格约以0.08元元/年的速度上涨年的速度上涨.考虑：如果某种商品的考虑：如果某种商品的p05，那么在第，那么在第10个年个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少？()5 1.05tp t()(5 1.05)tp t()5,()1.05tf tg t()()()p tf t g t那么()()()?p tf t g t()()(
8、)()f xg xf xg x()()()()()()f xg xf x g xf x g x=+2()()()()()()0)()()f xf x g xf x g xg xg xg x-=导数的运算法则导数的运算法则:注意：两个函数的商的导数比较复杂，一注意：两个函数的商的导数比较复杂，一定要先对分子求导，再对分母求导，最后定要先对分子求导，再对分母求导，最后除以分母的平方除以分母的平方.考虑：试求函数考虑：试求函数 的导数的导数(c为常数为常数).()cf x()cf x结论：常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数，即()()cfxcfx注意：这个结论今后将经常用到，望同学们熟记注意
9、：这个结论今后将经常用到，望同学们熟记.()()c f xcfx()cfx发散思维，知识拓展根据乘法法则于是，在思考题中，()(5 1.05)tp t 5(1.05)t 这说明若 ，则在第10个年头，该商品的价格约以0.40元/年的速度上涨 发散思维，知识拓展5 1.05 ln1.05t 0.40(/)元 年10(10)5 1.05 ln1.05p 05p 例2根据基本初等函数的导数公式及导数的运算法则，求函数 的导数 应用举例，学以用之323yxx33 2(23)()(2)(3)32yxxxxx解：所以，函数 的导数是 323yxx232yx例例3 3 日常生活中的饮用水通常是经过净日常生活
10、中的饮用水通常是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净化化的，随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加费用不断增加.已知将已知将1 1吨水净化到纯净吨水净化到纯净度为度为x%x%所需费用所需费用(单位：元单位：元)为为 求净化到下列纯净度时，所需净化费用求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率的瞬时变化率.（1 190%90%；（2 298%.98%.5284()(80100).100c xxx=-应用举例，学以用之解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数函数的导数.)1005284()(xxc2)100()100(5284)100(5284xx
11、x2)100()1(5284)100(0 xx2)100(5284x84.52)90100(5284)90()1(2c因为所以，纯净度为所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变化时，费用的瞬时变化率是率是52.84元元/吨吨 函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快函数在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢由上述计算可知，慢由上述计算可知，它表示纯净度为它表示纯净度为98%左左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右左右时净化费用的瞬时变化率的时净化费用的瞬时变化率的25倍这说明，水的纯净度倍这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就
12、越多，而且净化费用增加的速越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快度也越快 1321)98100(5284)98()2(2c因为所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变化率是1321元/吨.(98)25(90)cc练习：求下列函数的导数.(1)()lgxf xx2(3)()xxf xe(2)()sincosf xxx练习加强，日后不忘1(1)()lnln10 xfxx(2)()cos2fxx参考答案：22(3)()xxxfxe1.1.八个基本初等函数的导数公式和导数的四则八个基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，都是在导数定义下产生的结论，它运算法则，都是在导数定义下产生的结论，它们是求导数的理论基础，要求熟记这些结论们是求导数的理论基础，要求熟记这些结论.2.2.在生产、生活实际中，若研究函数在某点的在生产、生活实际中，若研究函数在某点的瞬时变化率或在此点附近变化的快慢，可以利瞬时变化率或在此点附近变化的快慢，可以利用导数来解决用导数来解决.总结成果，学有所得
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