全国版高考数学一轮复习第3章三角函数解三角形第4讲函数y＝增分练sin(ωx＋φ)的图象及应用学案

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1、第4讲函数yAsin(x)的图象及应用板块一知识梳理自主学习必备知识考点1yAsin(x)的有关概念yAsin(x)(A0，0)，x0，)振幅周期频率相位初相ATfx考点2用五点法画yAsin(x)一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示 xx02yAsin(x)0A0A0考点3函数ysinx的图象经变换得到yAsin(x)的图象的步骤必会结论函数yAsin(x)(A0，0)的图象的两种作法：(1)五点法：用“五点法”作图，关键是通过变量代换，设zx，由z取0，2来求出相应的x，通过列表，描点得出图象如果在限定的区间内作图象，还应注意端点的确定(2)图象变换法：由函数ysinx的图象通过变

2、换得到yAsin(x)的图象，有两种主要途径“先平移后伸缩”(即“先后”)与“先伸缩后平移”(即“先后”)考点自测1判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)将ysin2x的图象向右平移个单位长度，得到ysin的图象()(2)函数f(x)Asin(x)(A0)的最大值为A，最小值为A.()(3)把ysinx的图象上点的横坐标伸长为原来的2倍，得到ysinx的图象，则的值为.()(4)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致()(5)函数yAcos(x)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.()答案(1)(2)(3)(4)(5)

3、2.2018柳州模拟若函数ysin(x)(0)的部分图象如图，则()A5 B4C3 D2答案B解析由图象可知，x0x0，即T，故4.32016全国卷将函数y2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为()Ay2sin By2sinCy2sin Dy2sin答案D解析函数y2sin的周期为，所以将函数y2sin的图象向右平移个单位长度后，得到函数图象对应的解析式为y2sin2sin.故选D.42018西安模拟已知函数f(x)cos(0)的最小正周期为，则该函数的图象()A关于点对称 B关于直线x对称C关于点对称 D关于直线x对称答案D解析得2，函数f(x)的对称轴满足2xk(kZ)，解得

4、x(kZ)，当k1时，x.选D.5已知函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是()A.f(x)2sinBf(x)2sinCf(x)2sinDf(x)2sin答案B解析由图象知函数的最大值为2，即A2，函数的周期T42，解得1，即f(x)2sin(x)，由题图知2k(kZ)，解得2k(kZ)，又因为00)个单位长度【变式训练1】将函数ycos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是()Ax Bx Cx Dx答案D解析ycosycosycos，即ycos.由余弦函数的性质知，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，又当

5、x时，ycos()1.故选D.考向求函数yAsin(x)的解析式例22016全国卷函数yAsin(x)的部分图象如图所示，则()A.y2sinBy2sinCy2sinDy2sin答案A解析由题图知A2，则T，所以2，则y2sin(2x)，因为题图经过点，所以2sin2，2k，kZ，即2k，kZ.当k0时，所以y2sin.故选A.触类旁通确定yAsin(x)b(A0，0)的解析式的步骤(1)求A，b，确定函数的最大值M和最小值m，则A，b.(2)求，确定函数的周期T，则.(3)求，常用方法有：代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，b已知)或代入图象与直线yb的交点求解(此时要注意交点在上升区

6、间上还是在下降区间上)五点法：确定值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口【变式训练2】已知函数f(x)Atan(x)，yf(x)的部分图象如图，则f_.答案解析由函数图象，知，所以T，即，所以2.结合图象可得2k，kZ，即k，kZ.因为|，所以.又由图象过点(0,1)，代入得Atan1，所以A1.所以函数的解析式为f(x)tan，所以ftan.考向函数yAsin(x)的图象与性质的综合应用命题角度1函数图象与性质的综合应用例32015全国卷函数f(x)cos(x)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ答案D解析由图象可知2m，2m，m

7、Z，所以，2m，mZ，所以函数f(x)coscos的单调递减区间为2kx2k，kZ，即2kx0，0)的性质(1)奇偶性：当k(kZ)时，函数yAsin(x)为奇函数；当k(kZ)时，函数yAsin(x)为偶函数(2)周期性：yAsin(x)的最小正周期为T.(3)单调性：根据ysint和tx(0)的单调性来研究，由2kx2k(kZ)得单调递增区间；由2kx2k(kZ)得单调递减区间(4)对称性：利用ysinx的对称中心为(k，0)(kZ)求解，令xk(kZ)求得对称中心的横坐标利用ysinx的对称轴为xk(kZ)求解，令xk(kZ)得其对称轴核心规律1.已知f(x)Asin(x)(A0，0)的

8、部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令x00(或x0)，即可求出.2.由函数yAsin(x)的性质求解析式时，若最大值与最小值对应的自变量为x1，x2，则|x1x2|min.通过代入解析式点的坐标解出和，若对A，的符号或对的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求满分策略1.在三角函数的平移变换中，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|个单位，都是相应的解析式中的x变为x|.2.函数f(x)Asin(x)的图象关于直线xx0对称，则x0k(kZ)，即过函数图象的最高点或最低点，且与x轴垂直的

9、直线为其对称轴3.函数f(x)Asin(x)的图象关于点(x0,0)成中心对称，则x0k(kZ)，即函数图象与x轴的交点是其对称中心.板块三启智培优破译高考题型技法系列5异名三角函数的图象变换技巧2017全国卷已知曲线C1：ycosx，C2：ysin，则下面结论正确的是()A把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2B把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2C把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2D把C1上各点的横坐标缩短到原来的

10、倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2解题视点解决三角函数图象变换题时，若两函数异名，则通常利用公式sinxcos和cosxsin将异名三角函数转化为同名三角函数，然后分析变换过程解析首先利用诱导公式化异名为同名ysincoscoscos，由ycosx的图象得到ycos2x的图象，需将曲线C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变；由ycos2x的图象得到ycos的图象，需将ycos2x的图象上的各点向左平移个单位长度故选D.答案D答题启示三角函数图象变换(1)伸缩变换：将ysinx图象上的各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得到ysin的图象；将ysinx图象上各

11、点的纵坐标变为原来的A倍，横坐标不变，可得到yAsinx的图象(2)平移变换：函数图象的平移变换遵循“左加右减”的法则，但是要注意平移量是指自变量x的变化量跟踪训练2018合肥二检为了得到函数ycos的图象，可将函数ysin2x的图象()A向左平移单位长度 B向右平移单位长度C向左平移单位长度 D向右平移单位长度答案C解析由题意，得ycossinsin，则它是由ysin2x向左平移个单位得到的故选C.板块四模拟演练提能增分A级基础达标1要得到函数ysinx的图象，只需将函数ysin的图象()A向左平移个单位 B向右平移个单位C向左平移个单位 D向右平移个单位答案C解析ysinsin，要得到ys

12、inx的图象，只需将ysin的图象向左平移个单位即可22018沧州模拟若0，函数ycos的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为()A. B. C3 D4答案C解析将ycos的图象向右平移个单位后为ycoscos，所以有2k，即3k，kZ，又0，所以k1，故3k3.故选C.32018临沂模拟已知函数f(x)Acos(x)的图象如图所示，f，则f()A B C. D.答案A解析由题干图知，函数f(x)的周期T2，所以fff.4将函数ysin(2x)的图象沿x轴向左平移个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为()A. B. C. D答案B解析ysin(2x)ysinsin

13、，则由k(kZ)，根据选项检验可知的一个可能取值为.故选B.5.2018广东茂名一模如图，函数f(x)Asin(2x)的图象过点(0，)，则f(x)的图象的一个对称中心是()A. B.C. D.答案B解析由题中函数图象可知：A2，由于函数图象过点(0，)，所以2sin，即sin，由于|，所以，则有f(x)2sin.由2xk，kZ可解得x，kZ，故f(x)的图象的对称中心是，kZ，则f(x)的图象的一个对称中心是.故选B.6某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数yaAcos(x1,2,3，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28 ，12月份的月平均气温最低，为18

14、，则10月份的平均气温值为_.答案20.5解析依题意知，a23，A5，y235cos，当x10时，y235cos20.5.7.2018南宁模拟函数f(x)cos(x)(0,0)的图象如图，则f(x)_.答案cos解析由图象得：T428，代入(1,1)，得cos1，2k，kZ，即2k，kZ，又0，.f(x)cos.82014重庆高考将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到ysinx的图象，则f_.答案解析把函数ysinx的图象向左平移个单位长度得到ysin的图象，再把函数ysin图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数

15、f(x)sin的图象，所以fsinsin.9.2018长春调研函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示(1)求函数yf(x)的解析式；(2)当x时，求f(x)的取值范围解(1)由题中图象得A1，所以T2，则1.将点代入得sin1，又，所以，因此函数f(x)sin.(2)由于x，x，所以1sin，所以f(x)的取值范围是.10已知f(x)Asin(x)(A0，0)的最小正周期为2，且当x时，f(x)的最大值为2.(1)求f(x)的解析式；(2)在闭区间上是否存在f(x)的对称轴？如果存在求出其对称轴若不存在，请说明理由解(1)由T2知2得.又因为当x时f(x)max2，知A2.且2k(kZ)

16、，故2k(kZ)f(x)2sin2sin，故f(x)2sin.(2)存在令xk(kZ)，得xk(kZ)由k.得k，又kZ，知k5.故在上存在f(x)的对称轴，其方程为x.B级知能提升1为了得到函数ysin的图象，可以将函数ycos2x的图象()A向右平移个单位长度B向右平移个单位长度C向左平移个单位长度D向左平移个单位长度答案B解析ycos2xsin，由ysin得到ysin，只需向右平移个单位长度22018郑州模拟将函数f(x)cos2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象，则g(x)具有性质()A最大值为1，图象关于直线x对称B在上单调递减，为奇函数C在上单调递增，为偶函数D周期为，

17、图象关于点对称答案B解析由题意得，g(x)cos2cossin2x.最大值为1，而g0，图象不关于直线x对称，故A错误；当x时，2x，g(x)单调递减，显然g(x)是奇函数，故B正确；当x时，2x，此时不满足g(x)单调递增，也不满足g(x)是偶函数，故C错误；周期T，g，故图象不关于点对称故选B.3将函数f(x)sin2x的图象向右平移个单位后得到函数g(x)的图象若对满足|f(x1)g(x2)|2的x1，x2，有|x1x2|min，则()A. B. C. D.答案D解析由已知得g(x)sin(2x2)，满足|f(x1)g(x2)|2，不妨设此时yf(x)和yg(x)分别取得最大值与最小值，

18、又|x1x2|min，令2x1，2x22，此时|x1x2|，又0，故.选D.4已知函数f(x)sin(x)的图象关于直线x对称，且图象上相邻两个最高点的距离为.(1)求和的值；(2)当x时，求函数yf(x)的最大值和最小值解(1)因为f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为，所以f(x)的最小正周期T，从而2.又因为f(x)的图象关于直线x对称，所以2k，kZ，由得k0，所以.综上，2，.(2)由(1)知f(x)sin，当x时，2x，当2x，即x时，f(x)最大；当2x，即x0时，f(x)最小.52015湖北高考某同学用“五点法”画函数f(x)Asin(x)在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：x02xAsin(x)0550(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；(2)将yf(x)图象上所有点向左平行移动(0)个单位长度，得到yg(x)的图象若yg(x)图象的一个对称中心为，求的最小值解(1)根据表中已知数据，解得A5，2，.数据补全如下表：x02xAsin(x)05050且函数表达式为f(x)5sin.(2)由(1)知f(x)5sin，得g(x)5sin.因为函数ysinx图象的对称中心为(k，0)，kZ.令2x2k，kZ，解得x，kZ.由于函数yg(x)的图象关于点成中心对称，令，kZ，解得，kZ.由0可知，当k1时，取得最小值.