2.1静定结构位移计算ppt课件

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1、第6章 静定结构位移计算 本章的主要内容本章的主要内容 本章的重点与难点本章的重点与难点3 3 本章在全课程中的地位本章在全课程中的地位 4、本次课的内容及要求本次课的内容及要求由于结构变形或其它原因使结构各点的位置产生相对挪动线位移），使杆件横截面产生相对转动角位移）绝对位移相对位移点截面线位移截面角位移杆件角位移两点截面相对线位移两截面相对角位移两杆件相对角位移位移分类AAxAyAAAPAxAyAAAABA、BA右A左A左右AABADCDCAAABAxAAyBA右A左A左右AABADCDCAAABAxAAyBAABDCCD右左左右AAABA右A左A左右AABADCDCAAABAxAAyBA

2、右A左A左右AABADCDCAAABAxAAyAAAPAxAyt 还有什么原还有什么原因会使结构产因会使结构产生位移生位移?为什么要计算为什么要计算位移位移?铁路工程技术规范规定铁路工程技术规范规定:4、计算位移的目的(1)刚度要求刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度最大挠度 1/700 和和1/900跨度跨度高层建筑的最大位移高层建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大层间位移最大层间位移 1/800 层高。层高。4、计算位移的目的(3)(3)超静定、动力和稳定

3、计算超静定、动力和稳定计算 需要变形协调条件，而建立变形条件必需要变形协调条件，而建立变形条件必须计算结构的位移。须计算结构的位移。(2(2施工要求施工要求 在以前学过：功是力在受力质点的位移上的投影与位移的乘积。其成立的条件：力是恒力且质点沿直线运动。对于力是变力，且质点沿曲线运动的一般情况：方法：将物体的位移“细分成许多小段，每段可视为方向不变的小位移，小位移上的力可认为是不变的。元位移：无穷小的位移，可以认为和轨迹重合。元功：力在元位移上的功称为元功。例1：光滑接触面 光滑接触面的约束反力恒垂直于接触面的切面，而被约束质点的虚位移总是沿着切面的，即Nr，所以 Nr=0例2：光滑铰链 连接

4、两刚体的光滑铰链，设AB 杆与BC 杆在B点用光滑铰链连接。由N=N得N r+N r=N r-N r=03 3、功、实功和虚功、功、实功和虚功PWPtPWPCtt三、刚体系的虚功原理三、刚体系的虚功原理 去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。P0 AX2/PYB 2/PYA 23/2023222 PPP刚体虚功原理03BBBFP3PFB0BBPFPABL/3PPBFB虚位移B应用I 虚位移原理实力状态+虚位移状态求力练习1：求B点反力FB刚体虚功原理应用II 虚力原理实位移状态+虚力状

5、态求位移练习2：求由于支座A移动引起的位移DC实位移状态虚力状态单位荷载法1.实位移状态2.虚力状态：沿所求位移方向假设一外力P3.列虚功方程：特殊地：令P=1101cabcFPAabPFA101cabcab实位移状态虚力状态单位荷载法)(WTWW变外按两种途径求总虚功：按两种途径求总虚功：着眼于力：着眼于力：力状态力状态力力外力外力(P1、P2、q、M、R1、R2、R3)内力内力(M N Q)内外总即WWW0内所以 WWW总外故内外总dWdWdWCDCD0刚dW变总WW 得：、综合 21WW外变CD变刚总dWdWdWWW外变vsWNduFdsMd（虚）位移状态（实）力状态（平衡）对于给定的力

6、状态，另虚设一个位移状态，利用虚功方程来求解力状态中的未知力。应用I 虚位移原理实力状态+虚位移状态求力实力状态虚位移状态外力方面外力FF处对应位移D支反力FRFR处对应位移C内力方面轴力FN对应应变du弯矩M对应应变ds剪力FS对应应变rdsrdsFMdduFcFFSNRii 力状态（平衡）（虚）位移状态（实）对于给定的位移状态，另虚设一个力状对于给定的位移状态，另虚设一个力状态，利用虚功方程来求解位移状态中的位移态，利用虚功方程来求解位移状态中的位移应用II 虚力原理虚力状态+实位移状态求位移rdsFdMduFcFFSNRii外力方面外力 处对应位移D支反力 处对应位移C内力方面轴力 对应

7、应变du弯矩 对应应变ds剪力 对应应变rdsFRFFRFNFMSF实位移状态虚力状态F很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理。显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。度改变产生的位移应该用变形体的虚力原理计算。支座移动产生的位移支座移动产生的位移刚体位移刚体位移 制造误差产生的位移制造误差产生的位移刚体位移刚体位移 荷载作用产生的位移荷载作用产生的位移变形体位移变形体位移温

8、度改变产生的位移温度改变产生的位移变形体位移变形体位移广义力、广义位移广义力、广义位移P PWMW MABMMMMMMWBABA)(PPABPPPPWBABA)(P1 P2 6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法MdQrdsNduW杆系结构的虚功方程杆系结构的虚功方程:（实）位移状态（虚）力状态（平衡）虚力原理虚力原理求位移求位移6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法iKRP反力荷载(KKiiiTPRC 外力 功）变形虚功）(dMdsQduNW得：，并令由,1KPWTKiiNduMdQ dsRC由上式可求出位移由上式可求出位移K。6-3 位移计算的一般公式

9、 单位荷载法6-3 位移计算的一般公式 单位荷载法Dy求D求CDDC求DDP=1M=1DCP=1P=16-3 位移计算的一般公式 单位荷载法力的大小力的大小 一般虚设单位力。一般虚设单位力。力的位置力的位置 作用在所求位移的点及方向上。作用在所求位移的点及方向上。力的方向力的方向 随意假设，若求出的位移是正的，说随意假设，若求出的位移是正的，说 明位移与假设的方向一致。若是负的，明位移与假设的方向一致。若是负的，说明与假设的方向相反说明与假设的方向相反 。力的性质力的性质 求线位移加单位集中力；求转角加单位求线位移加单位集中力；求转角加单位 力矩；求二点的相对水平或竖向位移加力矩；求二点的相对

10、水平或竖向位移加 一对相反的单位集中力；求二点相对转一对相反的单位集中力；求二点相对转 角要加一对单位力矩。角要加一对单位力矩。Fp=1求求C点竖向位移点竖向位移求求B点水平位移点水平位移Fp=1求求C点转角位移点转角位移M=1Fp=1求求A、B两点两点相对竖向位移相对竖向位移Fp=1Fp=1Fp=1CBCAB求求A、B两点两点相对水平位移相对水平位移ABM=1求求C点相对转角位移点相对转角位移求求CD杆相对转角位移杆相对转角位移Fp=1/LFp=1/LC C D6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算dsQdMduNpppKPEIdsMdPEAdsNduPPGAdskQdsP

11、p 若若MPMP、NPNP、QPQP表示实际状态中微段上的内力。表示实际状态中微段上的内力。由材料力学知：由材料力学知：EE材料弹性模量材料弹性模量II杆件截面的惯性杆件截面的惯性AA杆件截面的面积杆件截面的面积GG剪切弹性模量剪切弹性模量KK剪应力沿截面分布不均匀引起的改正系数剪应力沿截面分布不均匀引起的改正系数56K910K6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算GAdsQQKEIdsMMEAdsNNPPPkp6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算EIdsMMPKPEAlNNEAdsNNPPKP说明：1.逐段、逐杆积分。2.精确于直杆、曲杆不精确。如其曲率

12、不大截面高R），可得较精确的解。3.对以受弯为主的结构梁、刚架）：对只有轴力的结构桁架）：组合结构则应分别对待。6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算xxPxCB1M ,MP：llPlBA1M ,MP：ABPBCPEIdxMMEIdxMMcy1010)(1ldxpldxxpxEI)(343EIplEIEIEIEI6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算积分注意事项：积分注意事项：逐段、逐杆积分。逐段、逐杆积分。两状态中内力函数服从同一坐标系。两状态中内力函数服从同一坐标系。弯矩的符号法则两状态一致。弯矩的符号法则两状态一致。6-4 6-4 荷载作用下的位移计算

13、荷载作用下的位移计算。mdKNPcmKNEcmA2,40,101.2,20242121212126-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 杆ADACDCDE00CB00CE00EB00lPNNNlNPd2p22d21p22p2d1p4p2d21p2d2p3p2d2p2d2p22d2d2d2121212126-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算EAlNNiPii)2422(1PPPEA40)24(2101.214增大）(1016.54rad6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算121212MxMqxMPAAy、qlAx1P1M解：解：EIqld

14、xxqxEIdxMMEIllPAy821114020EIqldxqxEIlA612114026-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算aaABCqqa2/2MP图图11Pa图1M2M图2M102:212MMqxMABP12:22MxMqaMBCPCCx、解：解：6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算EIqadxqxEIdxMMEIdxMMEIlABPBCPCx41211140211 EIqadxqaEIdxqxEIllC32121121302026-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算例例5：求图示简支梁中点：求图示简支梁中点C的竖向位移的竖向位

15、移 。CV解：（解：（1 1取虚力状态如图：取虚力状态如图：（2 2写出写出 弯矩、剪力弯矩、剪力 的方程：的方程：02Lx当当时时12Mx12QF222PqqMLxx12QPFqLqL（3 3计算计算 CV22200111.22222222LLCVqqqLxLxxqLdxdxEIGAFp=1C/CABL/2L/2 2/L/2Lq kN m6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算4253848qLqLEIGA22200111.22222222LLCVqqqLxLxxqLdxdxEIGA（4比较弯曲变形与剪切变形的影响比较弯曲变形与剪切变形的影响 弯曲变形：弯曲变形：45384M

16、qLEI剪切变形：剪切变形：28QqLGA两者的比值：两者的比值：2211.522.56QMEIhGALL若高跨比为：若高跨比为：110hL2.56%QM那么：那么：6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算 结论：结论：在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。例例6：计算图示刚架：计算图示刚架C点的水平位移点的水平位移 CH和和C点的转角点的转角 C，各杆的，各杆的EI为常数。为常数。解：（解：（1 1求求 CH写出杆件的写出杆件的 方

17、程方程 MPMBCBC杆：杆：0M 212PMqx BABA杆：杆：Mx212PMqL LACBLEIEIqACBFP=16-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算240124LCHqL xqLdxEIEI（2 2求求 C写出杆件的写出杆件的 方程方程 MPMBCBC杆：杆：1M 212PMqx BABA杆：杆：1M 212PMqL 2230011112223LLCqxqLqLdxEIEIEIACBM=16-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算各种静定结构位移的计算公式如下各种静定结构位移的计算公式如下:（1梁、刚架梁、刚架 只考虑弯曲变形只考虑弯曲变形 LPoM

18、 MdsEI （2桁架桁架 只有轴向变形只有轴向变形 NNPFFLEA （3组合结构组合结构受弯构件只考虑弯曲变形受弯构件只考虑弯曲变形 LNNPPoFFM MdsLEIEA 6-4 6-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算（4三铰拱三铰拱 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形拉杆只有轴向变形。1LLNNNPNPPooFFFFM MdsdsLEIEAEA 曲杆的积分计算可用数值计算代替曲杆的积分计算可用数值计算代替:1NNNPNPPFFFFM MSSLEIEAEA 、PMMNPFNFEIEAS其中其中:都取都取段上中点的值。段上中点的值。6-4 6

19、-4 荷载作用下的位移计算荷载作用下的位移计算受弯构件的位移计算公式受弯构件的位移计算公式:LPoM MdsEI 若若EI是常数就可提到积分号的外面是常数就可提到积分号的外面,上式就变为上式就变为:1LPoM MdsEI PMM假设假设 和和中有一个是直线图中有一个是直线图,如下图如下图:Mtgx代入上式有代入上式有:1LPoMtgxdxEI tg是常数是常数,可提到积分号的外面可提到积分号的外面x0yoC形心形心xy0 0ddxABM 图图AMP图图BxMx0yoC形心形心ddxxy0 0ABM 图图AMP图图BxMPM0Ax是是图对图对Y Y轴的面积矩轴的面积矩,可写成可写成:0LPMxd

20、x APM其中其中:-是是图的面积图的面积 0 xPM-是是图的形心到图的形心到Y Y轴的距离轴的距离 有有:01tgxAEI 令令:00tgxy01AyEI 得：得：0yPM-是是图形心位置所对应图形心位置所对应M图中的竖标图中的竖标 的的1.1.图乘法的应用条件：图乘法的应用条件：（1 1等截面直杆，等截面直杆，EIEI为常数；为常数；（2 2两个两个M M 图中应有一个是直线；图中应有一个是直线；（3 3ycyc应取自直线图中。应取自直线图中。2.2.若若AA与与ycyc在杆件的同侧在杆件的同侧,取正值；反之，取正值；反之，取负值。取负值。3.3.如图形较复杂，可分解为简单图形如图形较复

21、杂，可分解为简单图形.上述图乘公式的适用所有直线图形的情况，例：上述图乘公式的适用所有直线图形的情况，例：23hll/2l/2h2hlabhl+b/3l+a/3顶点顶点hl/43l/43l/85l/823hl 123hl h顶点顶点2l/53l/5l/54l/524hl 134hl 2hl h2l/3l/3l几种图形的面积及形心几种图形的面积及形心复杂图形的处理：复杂图形的处理：+=+=分分段段图图乘乘当整段弯矩图不满足相关条件但分段满足时可分段进行图乘当整段弯矩图不满足相关条件但分段满足时可分段进行图乘折线分段图乘折线分段图乘3322111yAyAyAEIdsEIMMKi333222111E

22、IyAEIyAEIyAdsEIMMKi变截面分段图乘变截面分段图乘叠叠加加图图乘乘同侧叠加图乘同侧叠加图乘dcylbAdcylaAyAyAEIdsEIMMKi323121313221122112211异侧叠加图乘异侧叠加图乘cdylbAdcylaAyAyAEIdsEIMMKi313221313221122112211例：求例：求A点的转角和点的转角和C点的点的 竖向位移。竖向位移。解：（解：（1求求A点的转角点的转角300 61130023A （2求求C点的竖向位移点的竖向位移300 6262232645 366603CV CAB20kN10kN/m6m6m6Fp=1MC图图1M=1MA图图3

23、0045MP图图例：求图示三铰刚架例：求图示三铰刚架C点的点的 相对转角。相对转角。解：荷载作用下的弯矩图和虚解：荷载作用下的弯矩图和虚 设力作用下的弯矩图如图设力作用下的弯矩图如图 所示。所示。B20kN/mACED8m6m2mAEDBAEDB12012040403/43/41MC图图Mp图图M=11120 62620622 120120 12238681220 167202388CEIEIEI 3/43/41AEDB1201204040Mp图图AEDBMC图图M=1例：求图示刚架C、D两点的距离改变。EI=常数实际状态虚拟状态图乘分三段进行：CA、AB、BD，然后累加其中CA段和BD段MP

24、=0，图乘结果为零AB段MP图为抛物线、为水平直线EIqhlhlqlEIEIyAcCD12832132M例：求图示刚架A点的竖向位移，并勾绘刚架的变形曲线实际状态虚拟状态取MP图为面积Aw，在 图上取竖标ycM EIFlFlllEIFlllEIEIyAcAy16423212213变形曲线：以实际弯矩图MP方向为杆件弯曲后的外凸方向，弯矩为零的点为反弯点变形曲线拐点dsFdMduFcFSNRk一般公式：仅考虑支座移动仅考虑支座移动静定结构不产生内力和变形静定结构不产生内力和变形cFRKt通常亦通常亦可由几可由几何关系何关系求得求得公式说明1.正负号规定若FR与c方向一致时，其积为正，相反则为负2

25、.计算步骤沿求解位移方向施加单位荷载 FK=1根据平衡条件求出单位荷载作用下相应于支座位移c的支座反力 FR代入公式求解，注意正负号cFRKt例：已知图示三铰刚架右边支座的竖向位移为By=0.06m向下），水平位移Bx=0.04m（向右）。求由此引起的A端转角fA1.沿位移方向虚设单位荷载2.根据平衡条件求出单位荷载作用下相应于支座位移c的支座反力FR3.代入公式进行计算顺时针radhlcFBxByRA0075.0211 本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本节介绍线性变形体系的四个互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三个定理均可由此推导出来。本的是功的互等定理，其它三个定理均可

26、由此推导出来。1)1)功的互等定理功的互等定理 设有两组外力设有两组外力FP1FP1和和FP2FP2分别作用于同一线弹性结构上，分别作用于同一线弹性结构上，如下图，如下图，(a)(a)、(b)(b)分别称为结构的第一状态和第二状态。分别称为结构的第一状态和第二状态。(a)第一状态第一状态 FP1121121(b)第二状态第二状态 FP21 2122211111122221122PPPWFFF 这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：的总功分别为：(1)(1)先加先加FP1FP1后加后加FP2FP2，外力的总功，外力的总功(2)(2)

27、先加先加FP2FP2后加后加FP1FP1，外力的总功，外力的总功22222211111122PPPWFFF(a)第一状态第一状态FP1121121(b)第二状态第二状态FP21 21222功的互等定理功的互等定理:即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。作的虚功。112221 (a)PPFF 外力所作总功与加载次序无关，外力所作总功与加载次序无关，即：即：W1=W2W1=W2 由由1 1、2 2可得：可得：在功的互等定理中，令：在功的互等定理中，令：FP1=

28、FP2=1FP1=FP2=1由功的互等定理式由功的互等定理式a a则有：则有：122111 1221 (b)即：即：(a)第一状态第一状态 FP111221(b)第二状态第二状态 FP211 212位移互等定理位移互等定理:即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中：在位移互等定理中：单位力单位力广义力单位力偶、单位集中力）；广义力单位力偶、单位集中力）；位位 移移广义位移线位移、角位移

29、）。广义位移线位移、角位移）。左图分别表示二种状态，左图分别表示二种状态，即支座即支座1发生单位位移发生单位位移11时，使支座时，使支座2产生的反力产生的反力r21；另一种即为支座另一种即为支座2发生单位位发生单位位移移21时，使支座时，使支座1产生的产生的反力反力r12。反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。(a)第一状态第一状态 r21r211112(b)第二状态第二状态21r12r12 左图分别表示二种状态，左图分别表示二种状态，即支座即支座1发生单位位移发生单位位移11时，使支座时，使支座2产生的反力产生的反力r21；另一种即为支座另一种即为支

30、座2发生单位位发生单位位移移21时，使支座时，使支座1产生的产生的反力反力r12。反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。1112(a)第一状态第一状态 r21r21(b)第二状态第二状态21r12r12212121rr 2112 rr(c)根据功的互等定理有：根据功的互等定理有：反力互等定理反力互等定理:即支座即支座1 1发生单位位移所引起支座发生单位位移所引起支座2 2的反力，等于支的反力，等于支座座2 2发生单位位移所引起的支座发生单位位移所引起的支座1 1的反力。的反力。(b)第二状态第二状态21r12r12(a)第一状态第一状态 r21r21

31、注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但应注注意：该定理对结构上任何两支座都适用，但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应意反力与位移在作功的关系上应相对应，即力对应线位移；力偶对应角位移。线位移；力偶对应角位移。由反力互等定理，则有：由反力互等定理，则有：r12=r21r12=r21即反力偶即反力偶r12等于反力等于反力r21（数值上相等，量纲不同）（数值上相等，量纲不同）(a)第一状态第一状态 r21 r211211(b)第二状态第二状态21r1212 这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况。121221PrF 由两个状态应用功的互等定

32、理，则有由两个状态应用功的互等定理，则有 主功力与反力的功相反主功力与反力的功相反 相差一负号相差一负号(b)第二状态第二状态（由（由1=1引起引起21）211211（a第一状态第一状态 （由（由FP2=1引起引起r12）FP21r1212 22112211 (d)PFr 单位载荷引起某支座的反力，单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反的位移，但符号相反反力位移互等定理反力位移互等定理本章小结理解结构的两种状态，理解虚功原理理解结构的两种状态，理解虚功原理掌握计算位移时虚拟状态的建立掌握计算位移时虚拟状态的建立重点掌握计算位移的基本方法重点掌握计算位移的基本方法单位荷载法单位荷载法熟练掌握图乘法计算位移，熟练各种图形的图乘熟练掌握图乘法计算位移，熟练各种图形的图乘掌握支座移动引起的静定结构位移计算方法掌握支座移动引起的静定结构位移计算方法掌握线弹性结构的互等定理，为后续课程打好基掌握线弹性结构的互等定理，为后续课程打好基础础