反函数合函数隐函数初等函数

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1、三、反函数三、反函数设函数设函数)(xfy 的定义的定义,D域为域为值域为值域为.W一般地一般地,如果如果)(xfy 在在上不仅单值上不仅单值,D调调,则把则把 看作自变量看作自变量,yx看看新函数新函数)()(1yfyx 作因变量作因变量,称为称为)(xfy 的的反函反函反函数反函数的定义域为的定义域为,W值域为值域为.D相对反函数相对反函数,原来的函数原来的函数)(xfy 称为称为直接函数直接函数.而且单而且单得到的得到的数数.0 x0y0 x0yxyDW)(xfy 函数函数oxyDW)(yx 反函数反函数o习惯上仍将反函数习惯上仍将反函数)(yx 记为记为);()(1xfxy )(xfy

2、 直直接接函函数数xyo),(abQ),(baP)(1xfy 反反函函数数 直接函数与反函数的图形关于直线直接函数与反函数的图形关于直线 对称对称.xy 在同一个坐标平面内在同一个坐标平面内,直接函数直接函数)(xfy 和反和反函数函数的图形关于直线的图形关于直线xy是对称的是对称的.)()(1xfxy定理（反函数存在定理）：定理（反函数存在定理）：单调函数单调函数 f 必存在单调必存在单调的反函数的反函数，且此反函数与，且此反函数与 f 具有相同的单调性具有相同的单调性.)(),(11xffxxffx牢记反函数的下列关系式牢记反函数的下列关系式例如例如：sinx arcsinx；cosx a

3、rccosx；tanx arctanx；cotx arccotx；例例1求函数求函数114114xyx 的反函数的反函数.解解令令14,zx则则1,1zyz 故故1,1yzy 即即114,1yxy 解得解得2211()1,4 1(1)yyxyy 改变变量的记号改变变量的记号,即得到所求反函数即得到所求反函数:2.(1)xyx 例例2 已知已知1,0sgn0,01,0 xxxx (符号函数符号函数)求求2(1)sgnyxx的反函数的反函数.解解由题设由题设,易得易得2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 解解2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0

4、x 0 x 解解2221,(1)sgn0,(1),xyxxx 0 x 0 x 0 x 1,0,(1),yxy 1y 0y 1y 所以反函数为所以反函数为1,0,(1),xyx 1x 0 x 1x .复合函数复合函数引例引例 设设,uy 21xu .12xy 定义定义 设函数设函数的定义域为的定义域为)(ufy ,fD而函数而函数的值域为的值域为)(xu ,R若若,RDf则称函数则称函数为为 的的复合函数复合函数.)(xfy x注注:其中其中自变量自变量,x中间变量中间变量,u因变量因变量y，f(1)f函数函数与函数与函数 构成的复合函数构成的复合函数即即).()(xfxf 通常记为通常记为(2

5、)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函复合函数复合函数(2)不是任何两个函数都可以复合成一个复合函不是任何两个函数都可以复合成一个复合函例如例如,arcsinuy .22xu 因前者定义域为因前者定义域为,1,1 而后者而后者,222 xu故此两函数不能复故此两函数不能复合成复合函数合成复合函数.数的数的.(3)复合函数可以由两个以上的函数经过复合构复合函数可以由两个以上的函数经过复合构例如例如:2cotxy ,uy ,cot u.2x 成的成的.例例3设设()arctan,yf uu1(),utt 2()1,txx 求求 ().fx 解解 ()arct

6、anfxu 21arctan.1x 1arctant 例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:2(1)lnsin;yx 2arctan(2);xye 22(3)cos ln(21).yx解解(1)2lnsinyx 是由是由,yu ln,uv 2,vw sinwx 四个函数四个函数(2)2arctan xye 是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;复合而成复合而成;,uey ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:22(3)cos ln(21).y

7、x解解(2)2arctan xye 是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;,ney ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 例例4 将下列函数分解成基本初等函数的复合将下列函数分解成基本初等函数的复合:22(3)cos ln(21).yx解解(2)2arctan xye 是由是由三个函数三个函数复合而成复合而成;,ney ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 六个函数复合在而成六个函数复合在而成.,2uy ,cosvu ,lnwv ,2tw ,ht 21xh 分段函数的复合运算分段函数的复合运算例例5设设,1(),1xexf x

8、x x 22,0(),1,0 xxxxx 求求().fx 解解(),()1()(),()1xexfxxx (1)当当()1x 时时,()21xx 1,x 或或0,x 2()11xx 02;x或或0,x 解解(1)当当()1x 时时,()21xx 1,x 或或0,x 2()11xx 02;x或或0,x 解解(1)当当()1x 时时,()21xx 1,x 或或0,x 2()11xx 02;x或或0,x (2)当当()1x 时时,()21xx 10,x 或或0,x 2()11xx 2.x 或或0,x 所以所以10 x 02x2x 1x .)(xf ,2 xe,2 x,12 xe,12 x隐函数隐函数

9、当函数的因变量与自变量的对应关系是由方程当函数的因变量与自变量的对应关系是由方程则称此函数为则称此函数为隐函数隐函数.所确定，所确定，0),(yxF它的确切含义是对任意的它的确切含义是对任意的x,由方程由方程只能唯一计算出一个只能唯一计算出一个y与之对应。与之对应。当函数用数学式子当函数用数学式子y=f(x)这种形式给出时，它明这种形式给出时，它明确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见确给出因变量与自变量的对应关系，这是常见的函数形式，称为显函数。的函数形式，称为显函数。0),(yxF例如：例如：(,)40 xyF x yeexy是一个隐函数是一个隐函数以下函数称为基本初等函数以下函数称为基

10、本初等函数1.1.幂函数：幂函数：2.2.指数函数：指数函数：3.3.对数函数：对数函数：4.4.三角函数：三角函数：5.5.反三角函数：反三角函数：（是常数）是常数）yx xya（是常数是常数,）a0,1aa logayx（是常数，是常数，）a0,1aa sin,cos,yx yx tan,cotyx yxarcsin,arccos,yx yx arctan,arccotyx yx四、初四、初 等等 函函 数数(一一)幂函数的图形幂函数的图形 同一坐标系中同一坐标系中幂函数的图象幂函数的图象)(是常数是常数 xyoxy)1,1(112xy xy xy1 xy (二二)指数函数的图形指数函数的

11、图形 同一坐标系中指数函数的图象同一坐标系中指数函数的图象)1,0(aaayxxay xay)1()1(a)1,0(三三)对数函数的图形对数函数的图形 同一坐标系中对数函数的图象同一坐标系中对数函数的图象)1,0(log aaxyaxyalog xya1log)1(a)0,1(正弦函数的图象正弦函数的图象xysin xysin(四四)三角函数的图形三角函数的图形 xycos xycos余弦函数的图象余弦函数的图象(五五)反三角函数的图象反三角函数的图象 由常数及基本初等函数经过有限次的复合步由常数及基本初等函数经过有限次的复合步骤所构成并且可以用一个式子表示的函数，叫作骤所构成并且可以用一个式

12、子表示的函数，叫作初等函数初等函数.例如例如21yx2sinyx cot2xy 1sinyx 非初等函数的例子:符号函数xysgn当 x 0,1当 x=0,0当 x 0,1xyo11取整函数xy 当Znnxn,1,nxyo134212双曲正弦与双曲余弦函数双曲正弦与双曲余弦函数若则称 f(x)为双曲余弦.若则称 f(x)为双曲正弦.2)(xxeexfyxchxyoxexexych记2)(xxeexfyxhs记xyoxexexysh又如而双曲余双曲正弦、双曲可以验证：xxychshxxxxeeee正切都是奇函数，oyx11xth称为双曲正切.记xyth弦是偶函数.容易验证；122xshxch它们

13、满足下列公式：xshxchxchchxshxxsh222;22chxshyshxchyyxsh)(shxshychxchyyxch)(求双曲正弦函数的反函数.,21uuy,exu 令则双曲正弦函数为由此得,0122 yuu解得)0(,12uyyu即,12yyex故得),1ln(2yyx所以，双曲正弦的反函数为).1ln(2xxy2xxeey且课堂练习题课堂练习题0)0(f,)()(1xcxfbxfa,ba 证明)(xf证证:令,1xt 则,1tx t ctfbfat)()(1由xcxfbxfa)()(1xcxfbfax)()(1消去),(1xf得)0()(22xxaxbabcxf),()(xfxf显然,0)0(f又)(xf故0 x时其中a,b,c 为常数,且为奇函数.为奇函数.1.设2.求y的反函数及其定义域.解解:01x当时,2xy 则1,0(,yyx10 x当时,xyln则0,(,yexy21 x当时,12xey则2,2(,ln12eyxy反函数y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定义域为2,2(1,(e21,210 ,ln01,12xexxxxx212e21yox1,1,0(,0,(,2,2(e