一元二次方程及其应用复习

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1、田湖一中 九年级 数学学科导学案执笔： 杨晓东 审核：秦志杰 授课人： 授课时间： 学案编号：课题：一元二次方程及其应用 课型：复习课 课时：1课时【复习目标】：1、一元二次方程概念；2、一元二次方程的常用解法【复习重点】：一元二次方程的常用解法学习流程： 一、【 知识链接】1方程的二次项系数是 ，一次项系数是 ，常数项是 .2关于x的一元二次方程中，则一次项系数是 . 3一元二次方程的根是 .4某地2005年外贸收入为2.5亿元，2007年外贸收入达到了4亿元，若平均每年的增长率为x，则可以列出方程为 .5. 关于的一元二次方程的一个根为1，则实数=（ ）A B或 C D二、【考点链接】1一

2、元二次方程：在整式方程中，只含 个未知数，并且未知数的最高次数是 的方程叫做一元二次方程.一元二次方程的一般形式是 .其中 叫做二次项， 叫做一次项， 叫做常数项； 叫做二次项的系数， 叫做一次项的系数.2. 一元二次方程的常用解法：（1）直接开平方法：形如或的一元二次方程，就可用直接开平方的方法.（2）配方法：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：化二次项系数为1，即方程两边同时除以二次项系数；移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项，配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，化原方程为的形式，如果是非负数，即，就可以用直接开平方求出方程的解.如果n0，则原方程无解.（3）公式法：一元

3、二次方程的求根公式是.（4）因式分解法：因式分解法的一般步骤是：将方程的右边化为 ；将方程的左边化成两个一次因式的乘积；令每个因式都等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解.3易错知识辨析：（1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元二次方程一般形式中.（2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式.（3）用配方法时二次项系数要化1.（4）用直接开平方的方法时要记得取正、负.三、【 目标导学】例1、 选用合适的方法解下列方程：（1）； （2）；（3）； （4）.例2 、 已知一元二次方程有一个根为零，

4、求的值.例3 、 用22长的铁丝，折成一个面积是302的矩形，求这个矩形的长和宽.又问：能否折成面积是322的矩形呢？为什么？ 四、组内合作1、请同桌进行互帮互助；2、请组长负责，组内进行交流和展示，逐道题统一你们的认识，对于大家存在的疑问等到下一个环节，让其他组帮你们解决。五、班级展示1、请展示“目标导学” 中的 例1、例2 、例3。2、请大家提出你的疑问。六、【达标测评】1方程 (5x2) (x7)9 (x7)的解是_.2已知2是关于x的方程x22 a0的一个解，则2a1的值是_.3关于的方程有一个根是，则关于的方程的解为_.4下列方程中是一元二次方程的有（ ）9 x2=7 x =8 3y

5、(y-1)=y(3y+1) x2-2y+6=0 ( x2+1)= -x-1=0A B. C. D. 5. 一元二次方程(4x1)(2x3)5x21化成一般形式ax2bxc0(a0)后a,b,c的值为（ ）A3，10，4 B. 3，12，2 C. 8，10，2 D. 8，12，46一元二次方程2x2(m1)x1x (x1) 化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为1，则m的值为（ ）A. 1 B. 1 C. 2 D. 27解方程(1) x25x60 ； (2) 3x24x10（用公式法）；(3) 4x28x10（用配方法）； （4）xx+1=08某商店4月份销售额为50万元，第二季度的总销

6、售额为182万元，若5、6两个月的月增长率相同，求月增长率田湖一中 九年级 数学学科导学案执笔： 杨晓东 审核：秦志杰 授课人： 授课时间： 学案编号：课题：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 课型：复习课 课时：1课时【复习目标】：1、一元二次方程根的判别式；2、一元二次方程根与系数的关系。【复习重点】：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系学习流程： 一、【 知识链接】1一元二次方程的根的情况为（）有两个相等的实数根有两个不相等的实数根只有一个实数根没有实数根2. 若方程kx26x10有两个不相等的实数根,则k的取值范围是 .3设x1、x2是方程3x24x50的两根,则 ，.x12x2

7、2 .4关于x的方程2x2(m29)xm10，当m 时，两根互为倒数； 当m 时，两根互为相反数.5若x1 =是二次方程x2ax10的一个根,则a ，该方程的另一个根x2 = .二、【考点链接】1. 一元二次方程根的判别式：关于x的一元二次方程的根的判别式为 .（1）0一元二次方程有两个 实数根，即 .（2）=0一元二次方程有 相等的实数根，即 .（3）0一元二次方程 实数根.2 一元二次方程根与系数的关系若关于x的一元二次方程有两根分别为，那么 ， .3易错知识辨析：（1）在使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为零这个限制条件.（2）应用一元二次方程根与系数

8、的关系时，应注意： 根的判别式； 二次项系数，即只有在一元二次方程有根的前提下，才能应用根与系数的关系.三、【 目标导学】例1 当为何值时，方程，（1）两根相等；（2）有一根为0；（3）两根为倒数.例2 下列命题： 若，则； 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 若，则一元二次方程有两个不相等的实数根； 若，则二次函数的图像与坐标轴的公共点的个数是2或3.其中正确的是（） .只有 只有 只有 只有例3 菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程 的一个根，则菱形ABCD的周长为 .六、【达标测评】1设x1，x2是方程2x24x30的两个根，则(x11)(x21)= _，x12x22_

9、， _，(x1x2)2_.2当_时，关于的方程有实数根（填一个符合要求的数即可）3. 已知关于的方程的判别式等于0，且是方程的根，则的值为 4. 已知是关于的方程的两个实数根，则的最小值是5已知，是关于的一元二次方程的两个不相等的实数根，且满足，则的值是（）3或31或16一元二次方程的两个根分别是，则的值是（）37若关于的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是（） Am1 Cml Dm0 Bk0的解集是_10已知关于x的方程x2+3x+k2=0的一个根是-1，则k=_11若x=2- ，则x2-4x+8=_12若（m+1） +2mx-1=0是关于x的一元二次方程，则m的值是_13若a+b+

10、c=0，且a0，则一元二次方程ax2+bx+c=0必有一个定根，它是_14若矩形的长是6cm，宽为3cm，一个正方形的面积等于该矩形的面积，则正方形的边长是_15若两个连续偶数的积是224，则这两个数的和是_三、计算题（每题9分，共18分）16按要求解方程：（1）4x2-3x-1=0（用配方法）； （2）5x2- x-6=0（精确到01）17用适当的方法解方程：（1）（2x-1）2-7=3（x+1）； （2）（2x+1）（x-4）=5； （3）（x2-3）2-3（3-x2）+2=0一元二次方程测试 二 一、 选择题（每小题3分，共30分）1、已知方程x2-6x+q=0可以配方成（x-p）2=7

11、的形式，那么x2-6x+q=2可以配方成下列的（ ）A、（x-p）2=5 B、（x-p）2=9C、（x-p+2）2=9 D、（x-p+2）2=52、已知m是方程x2-x-1=0的一个根，则代数式m2-m的值等于（ ）A、-1 B、0 C、1 D、23、若、是方程x2+2x-2005=0的两个实数根，则2+3+的值为（ ）A、2005 B、2003 C、-2005 D、40104、关于x的方程kx2+3x-1=0有实数根，则k的取值范围是（ ）A、k- B、k- 且k0C、k- D、k- 且k05、关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（ ）A、 x2+3x-2=0 B、

12、x2-3x+2=0C、x2-2x+3=0 D、x2+3x+2=06、已知关于x的方程x2-（2k-1）x+k2=0有两个不相等的实根，那么k的最大整数值是（ ）A、-2 B、-1 C、0 D、17、某城2004年底已有绿化面积300公顷，经过两年绿化，绿化面积逐年增加，到2006年底增加到363公顷，设绿化面积平均每年的增长率为x，由题意所列方程正确的是（ ）A、300（1+x）=363 B、300（1+x）2=363C、300（1+2x）=363 D、363（1-x）2=3008、甲、乙两个同学分别解一道一元二次方程，甲因把一次项系数看错了，而解得方程两根为-3和5，乙把常数项看错了，解得两

13、根为2+ 和2- ，则原方程是（ ）A、 x2+4x-15=0 B、x2-4x+15=0C、x2+4x+15=0 D、x2-4x-15=09、若方程x2+mx+1=0和方程x2-x-m=0有一个相同的实数根，则m的值为（ ）A、2 B、0 C、-1 D、 10、已知直角三角形x、y两边的长满足|x2-4|+ =0，则第三边长为（ ）A、 2 或 B、 或2 C、 或2 D、 、2 或 二、 填空题（每小题3分，共30分）11、若关于x的方程2x2-3x+c=0的一个根是1，则另一个根是 .12、一元二次方程x2-3x-2=0的解是 .13、如果（2a+2b+1）（2a+2b-1）=63，那么a

14、+b的值是 .14、等腰ABC中，BC=8，AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根，则m的值是 .15、2005年某市人均GDP约为2003年的1.2倍，如果该市每年的人均GDP增长率相同，那么增长率为 .16、科学研究表明，当人的下肢长与身高之比为0.618时，看起来最美，某成年女士身高为153cm，下肢长为92cm，该女士穿的高根鞋鞋根的最佳高度约为 cm.（精确到0.1cm）17、一口井直径为2m，用一根竹竿直深入井底，竹竿高出井口0.5m，如果把竹竿斜深入井口，竹竿刚好与井口平，则井深为 m，竹竿长为 m.18、直角三角形的周长为2+ ，斜边上的中线为1，则此直角三角形

15、的面积为 .19、如果方程3x2-ax+a-3=0只有一个正根，则 a的值是 .20、已知方程x2+3x+1=0的两个根为、，则 +的值为 . 三、 解答题（共60分）21、解方程（每小题3分，共12分）（1）（x-5）2=16 （2）x2-4x+1=0（3）x3-2x2-3x=0 （4）x2+5x+3=022、（8分）已知：x1、x2是关于x的方程x2+（2a-1）x+a2=0的两个实数根，且（x1+2）（x2+2）=11，求a的值.23、（8分）已知：关于x的方程x2-2（m+1）x+m2=0（1） 当m取何值时，方程有两个实数根？（2） 为m选取一个合适的整数，使方程有两个不相等的实数根

16、，并求这两个根.24、（8分）已知一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根（1） 求k的取值范围（2） 如果k是符合条件的最大整数，且一元二次方程x2-4x+k=0与x2+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值.25、（8分）已知a、b、c分别是ABC中A、B、C所对的边，且关于x的方程（c-b）x2+2（b-a）x+（a-b）=0有两个相等的实数根，试判断ABC的形状.26、（8分）某工程队在我市实施棚户区改造过程中承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备工作不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440m2求：（1）该工程

17、队第二天第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数相同，求这个百分数.27、（分）某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克（1） 现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？（2） 若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价多少元，能使商场获利最多？一元二次方程测试一答案:一、1B 点拨：方程与a的取值有关；方程经过整理后，二次项系数为2，是一元二次方程；方程是分式方程；方程的二次项系数经过配方后可化为（a+ ）2+ 不论a取何值，都不为0，所以

18、方程是一元二次方程；方程不是整式方程也可排除，故一元二次方程仅有2个2B 点拨：由a-30，得a33C 点拨：用换元法求值，可设x+y=a，原式可化为a（1-a）+6=0，解得a1=3，a2=-24D 点拨：把原方程移项，变形为：x2=- 由于实数的平方均为非负数，故- 0，则k05B 点拨：-x2+4x-5=-（x2-4x+5）=-（x2-4x+4+1）=-（x-2）2=-1 由于不论x取何值，-（x-2）20，所以-x2+4x-5-2且a0 点拨：不可忘记a010 点拨：把-1代入方程：（-1）2+3（-1）+k2=0，则k2=2，所以k= 1114 点拨：由x=2- ，得x-2=- 两边

19、同时平方，得（x-2）2=10，即x2-4x+4=10， 所以x2-4x+8=14注意整体代入思想的运用12-3或1 点拨：由 解得m=-3或m=1131 点拨：由a+b+c=0，得b=-（a+c），原方程可化为ax-（a+c）x+c=0，解得x1=1，x2= 143 cm 点拨：设正方形的边长为xcm，则x2=63，解之得x=3 ，由于边长不能为负，故x=-3 舍去，故正方形的边长为3 cm1530或-30 点拨：设其中的一个偶数为x，则x（x+2）=224解得x1=14，x2=-16，则另一个偶数为16，-14这两数的和是30或-30一元二次方程测试 二 参考答案一、 选择题15 BCBC

20、B 610 CBDAD 提示：3、是方程x2+2x-2005=0的根，2+2=2005又+=-2 2+3+=2005-2=2003二、 填空题1115 4 25或16 10%1620 6.7 ， 4 3提示：14、AB、AC的长是关于x的方程x2-10x+m=0的两根 在等腰ABC中若BC=8，则AB=AC=5，m=25若AB、AC其中之一为8，另一边为2，则m=1620、=32-411=50 又+=-30，=10，0，0三、解答题21、（1）x=9或1（2）x=2 （3）x=0或3或-1（4） 22、解：依题意有：x1+x2=1-2a x1x2=a2又（x1+2）（x2+2）=11 x1x2

21、+2（x1+x2）+4=11a2+2（1-2a）-7=0 a2-4a-5=0a=5或-1又=（2a-1）2-4a2=1-4a0a a=5不合题意，舍去，a=-123、解：（1）当0时，方程有两个实数根-2（m+1）2-4m2=8m+40 m- （2）取m=0时，原方程可化为x2-2x=0，解之得x1=0，x2=224、解：（1）一元二次方程x2-4x+k=0有两个不相等的实数根=16-4k0 k4（2）当k=3时，解x2-4x+3=0，得x1=3，x2=1当x=3时，m= - ，当x=1时，m=025、解：由于方程为一元二次方程，所以c-b0，即bc又原方程有两个相等的实数根，所以应有=0即4

22、（b-a）2-4（c-b）（a-b）=0，（a-b）（a-c）=0，所以a=b或a=c所以是ABC等腰三角形26、解：（1）1250（1-20%）=1000（m2）所以，该工程队第一天拆迁的面积为1000m2（2）设该工程队第二天，第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是x，则 1000（1+x）2=1440，解得x1=0.2=20%，x2=-2.2，（舍去），所以，该工程队第二天、第三天每天的拆迁面积比前一天增长的百分数是20%.27、解：（1）设每千克应涨价x元，则（10+x）（500-20x）=6000解得x=5或x=10，为了使顾客得到实惠，所以x=5（2）设涨价x元时总利润为y，则y=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5000=-20（x-7.5）2+6125当x=7.5时，取得最大值，最大值为6125答：（1）要保证每天盈利6000元，同时又使顾客得到实惠，那么每千克应涨价5元.（2）若该商场单纯从经济角度看，每千克这种水果涨价7.5元，能使商场获利最多.