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1、浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2013届九年级数学竞赛模拟试题141、已知PA是圆O的切线，切点为A，PA=2AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB=1，则圆O的半径R= 2、如图，ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线相交于点E，BAC的平分线与BC交于点D求证：ED=EBEC证明：因为EA是圆的切线，AC为过切点A的弦，所以CAE=CBA又因为AD是BAC的平分线，所以BAD=CAD所以DAE=DAC+EAC=BAD+CBA=ADE所以，EAD是等腰三角形，所以EA=ED又EA2=ECEB，所以ED2=EBEC3、已知ABC中，AB=AC, D是 ABC外接圆劣弧上的点（不与点A,C重合），
2、延长BD至E。（1） 求证：AD的延长线平分CDE；（2） 若BAC=30，ABC中BC边上的高为2+，求ABC外接圆的面积。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）如图，设F为AD延长线上一点A，B，C，D四点共圆，CDF=ABC又AB=AC ABC=ACB,且ADB=ACB, ADB=CDF,对顶角EDF=ADB, 故EDF=CDF,即AD的延长线平分CDE.（）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AHBC.连接OC,A由题意OAC=OCA=150, ACB=750,OCH=600.设圆半径为r,则r+r=2+,a得r=2,外接圆的面积为4。22、如图，过圆O外一点M作它的一条切线
3、，切点为A，过A作直线AP垂直直线OM，垂足为P（1）证明：OMOP=OA2；（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直直线ON，且交圆O于B点过B点的切线交直线ON于K证明：OKM=90证明：（1）因为MA是圆O的切线，所以OAAM，又因为APOM，在RtOAM中，由射影定理知OA2=OMOP，故OMOP=OA2得证（2）因为BK是圆O的切线，BNOK，同（1）有：OB2=ONOK，又OB=OA，所以OMOP=ONOK，即 ONOP=OMOK，又NOP=MOK，所以ONPOMK，故OKM=OPN=90即有：OKM=90如图，已知的两条角平分线和相交于H，F在上，且。（1）证明：B,D,H,E四点
4、共圆：（2）证明：平分。 解：（）在ABC中，因为B=60，所以BAC+BCA=120.因为AD，CE是角平分线，所以HAC+HCA=60，故AHC=120. 于是EHD=AHC=120.因为EBD+EHD=180，所以B,D,H,E四点共圆.（）连结BH,则BH为ABC的平分线，得HBD=30由（）知B,D,H,E四点共圆，所以CED=HBD=30.又AHE=EBD=60，由已知可得EFAD，可得CEF=30.所以CE平分DEF. 22、如图，已知AP是O的切线，P为切点，AC是O的割线，与O交于B，C两点，圆心O在PAC的内部，点M是BC的中点（）证明A，P，O，M四点共圆；（）求OAM+
5、APM的大小解：（）证明：连接OP，OM因为AP与O相切于点P，所以OPAP因为M是O的弦BC的中点，所以OMBC于是OPA+OMA=180由圆心O在PAC的内部，可知四边形的对角互补，所以A，P，O，M四点共圆（）解：由（）得A，P，O，M四点共圆，所以OAM=OPM由（）得OPAP由圆心O在PAC的内部，可知OPM+APM=90所以OAM+APM=901、过圆外一点P作圆的两条切线和一条割线，切点为A、B，所作割线交圆于C、D两点，C在P、D之间，在弦CD上取一点Q，使。求证：1、证明 、四点共圆，由已知，而是的一个外角，故、四点共圆，从而所以命题得证1、在锐角三角形ABC中，AB上的高C
6、E与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长(本题满分50分)在锐角三角形ABC中，AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H，以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点，FG与AH相交于点K，已知BC=25，BD=20，BE=7，求AK的长解： BC=25，BD=20，BE=7， CE=24，CD=15 ACBD=CEAB， AC=AB， BDAC，CEAB，B、E、D、C共圆，AC(AC15)=AB(AB7)，AB(AB15)=AB(AB18)， AB=25，AC=30AE=18，AD=15 DE=AC=15延长AH交BC于P， 则APBC APBC=ACBD，AP=24连DF，则DFAB， AE=DE，DFABAF=AE=9 D、E、F、G共圆，AFG=ADE=ABC，DAFGDABC， =，AK=1. 已知与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）求证：15、已知与的边分别相切于和，与外接圆相切于，是的中点（如图）求证：证明：如图，连结 分别与相切于 和都是的半径， 5分 由对称性知，且于 ，即 10分又， 15分过作两圆的公切线，则又，即 故 20分
浙江省绍兴县杨汛桥镇中学2013届九年级数学竞赛模拟试题14
