人教版编号6124正态分布

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1、2.4 2.4 正态分布正态分布f(X)mX探究一探究一 总体密度曲线总体密度曲线100个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图频率组距产品尺寸（mm)25.23525.29525.35525.41525.47525.535200个产品尺寸的频率分布直方图频率分布直方图频率组距产品尺寸（mm)25.23525.29525.35525.41525.47525.535若数据无限增多且组距无限缩小，那么若数据无限增多且组距无限缩小，那么 频率分布频率分布直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称直方图的顶边缩小乃至形成一条光滑的曲线，我们称此曲线为此曲线为总体密度曲线总体密度曲线总体密度曲线总体

2、密度曲线的形状特征的形状特征频率频率组距组距总体密度曲线总体密度曲线“中间高，两头低，中间高，两头低，左右对称左右对称”总体在区间总体在区间(a,b)内取值的概率内取值的概率ab产品产品尺寸尺寸（mm）Y总体密度曲线0X探究二、正态分布探究二、正态分布（1）正态函数）正态函数产品尺寸的总体密度曲线具有产品尺寸的总体密度曲线具有“中间高，中间高，两头低两头低”的特征，像这种类型的总体密度曲的特征，像这种类型的总体密度曲线，一般就是或近似地是以下面一个特殊函线，一般就是或近似地是以下面一个特殊函2?x?m?数的图象：数的图象：?12?式中的实数式中的实数m、?0是参数，是参数，分别表分别表示总体的

3、示总体的期望期望与与标准差标准差。f?x?e2?2,x?,?（2）正态分布）正态分布若若X是一个随机变量，对任给区间是一个随机变量，对任给区间(a,b，P(aXb)恰好是正态密度曲线下方和恰好是正态密度曲线下方和X轴上轴上(a,b上方所上方所围成的图形的面积，则称随机变量围成的图形的面积，则称随机变量X服从参数为服从参数为和和2的正态分布，记作的正态分布，记作XN（、2）YabX画出三条正态曲线：画出三条正态曲线：(1)m?1,?0.5;(2)m?0,?1;(3)m?1,?2;正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。正态曲线具有两头低、中间高、左右对称的基本特征。2指出：指出：当当m?

4、0,?1时，正态总体称为时，正态总体称为标准正态总标准正态总x?1体体，相应的函数表达式是：，相应的函数表达式是：2f?x?e,x?R2?相应的曲线称为相应的曲线称为标准正态曲线标准正态曲线。在实际遇到的许多随机现象都服从或近在实际遇到的许多随机现象都服从或近似服从正态分布：似服从正态分布：在生产中，在生产中，在正常生产条件下各种产品的质量指标；在正常生产条件下各种产品的质量指标；在测量中，在测量中，测量结果；测量结果；在生物学中，在生物学中，同一群体的某一特征；同一群体的某一特征；在气象中，在气象中，某地每年七月份的平均气温、平均湿度某地每年七月份的平均气温、平均湿度以及降雨量等，水文中的水

5、位；以及降雨量等，水文中的水位；总之，正态分布广泛存在于自然界、生总之，正态分布广泛存在于自然界、生产及科学技术的许多领域中。产及科学技术的许多领域中。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布在概率和统计中占有重要地位。正态分布性质：正态分布性质：曲线在x轴的上方，与x轴不相交；曲线关于直线x?m对称，且在x?m时位于最高点；当x?m时，曲线上升；当x?m时，曲线下降。并向它无限靠近。且当曲线向左、右两边无限延伸时，以x轴为渐进线，当m一定时，曲线的形状由?确定。?越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分 散；?越小,曲线越“瘦高”，表示 总体的分布越集中；探究三探究三 标准正态分布标准正

6、态分布由于标准正态总体由于标准正态总体N?0,1?在正态总体的在正态总体的研究中有非常重要的地位，已专门制作了研究中有非常重要的地位，已专门制作了“标准正态分布表标准正态分布表”。看表：看表：表中，相应于表中，相应于x0的值的值?(x0)是指总体是指总体取值小于取值小于x0的概率，即：的概率，即：?x0?P?x?x0?,如图中，左边阴影部分：如图中，左边阴影部分：由于标准正态曲线关于由于标准正态曲线关于y轴对称，表中轴对称，表中仅给出了对应与非负值仅给出了对应与非负值x0的值的值?x0?。如果如果x0?0，那么由下图中两个阴影部，那么由下图中两个阴影部分面积相等知：分面积相等知：?x0?1?x

7、0?.利用这个表，可求出标准正态总体在任利用这个表，可求出标准正态总体在任一区间一区间?x1,x2?内取值的概率。内取值的概率。p即，可用如图的即，可用如图的?x2?x1?蓝色蓝色阴影部分表示。阴影部分表示。公式：公式：例例1：求标准正态总体在：求标准正态总体在?1,2?内取值的概率。内取值的概率。解：解：利用等式p?x2?x1?,有：有：变形变形p?2?1?2?1?1?2?1?1?0.9772?0.8413?1?0.8185.探究四探究四.特殊区间的概率特殊区间的概率:(m,?)若X N ,则对于任何实数a0,概率2为如图中的阴影部分的面积，对于固定的m和?而言，该面积随着?的减少而变大。这

8、说明?越小,落在区间(m?a,m?a的概率越大，即X集中在m周围概率越大。特别地有P(m?X?m?)?0.6826,x=P(m?2?X?m?2?)?0.9544,P(m?3?X?m?3?)?0.9974.m m-am m+aP(m m?a?m m?a)?m m?am m?a?m m,?(x)dxP(m?X?m?)?0.6826,P(m?2?X?m?2?)?0.9544,P(m?3?X?m?3?)?0.9974.我们从上图看到，正态总体在?m?2?,m?2?以外取值的概率只有4.6，在?m?3?,m?3?以外取值的概率只有0.3。a?3?当时 正 态 总 体 的 取 值 几 乎 总 取 值 于

9、区 间由于这些概率值很小（一般不超过 5 ），通常称之内,其他区间取值几乎不可能.在实际运(m m?3?,m m?3?)小概率事件这些情况发生为。用中就只考虑这个区间,称为3?原则.上述计算结果可用下表和图来表示：上述计算结果可用下表和图来表示：区间区间?m?,m?m?2?,m?2?取值概率取值概率68.3oo95.4oo99.7oo?m?3?,m?3?例例1、在某次数学考试中，考生的成绩、在某次数学考试中，考生的成绩?服从一个服从一个正态分布，即正态分布，即?N(90,100).（1）试求考试成绩）试求考试成绩?位于区间位于区间(70,110)上的概率是上的概率是多少？多少？0.9544（2

10、）若这次考试共有）若这次考试共有2000名考生，试估计考试成绩名考生，试估计考试成绩在在(80,100)间的考生大约有多少人？间的考生大约有多少人？1365练习：已知一次考试共有练习：已知一次考试共有60名同学参加，考生的成名同学参加，考生的成2(100,5)绩绩XN ，据此估计，大约应有，据此估计，大约应有57人的分数人的分数在下列哪个区间内？（在下列哪个区间内？（）AA.(90,110 B.(95,125 C.(100,120 D.(105,115探究五探究五 假设检验方法的基本思想假设检验方法的基本思想小概率事件的含义：小概率事件的含义：我们从上图看到，正态总体在我们从上图看到，正态总体

11、在?m?2?,m?2?以外取值的概率只有以外取值的概率只有4.6，在，在?m?3?,m?3?以外取值的概率只有以外取值的概率只有0.3。由于这些概率值很小（一般不超过由于这些概率值很小（一般不超过5 ），），通常称这些情况发生为通常称这些情况发生为小概率事件小概率事件。即事件在一次试验中几乎不可能发生。即事件在一次试验中几乎不可能发生。介绍假设试验方法的基本思想介绍假设试验方法的基本思想首先首先，假设总体应是或近似为正态总体；，假设总体应是或近似为正态总体；然后然后，依照小概率事件几乎不可能在一次试验，依照小概率事件几乎不可能在一次试验中发生的原理对试验结果进行分析。中发生的原理对试验结果进行

12、分析。例例2：某厂生产的圆柱形零件的外直径某厂生产的圆柱形零件的外直径服从服从正态分布正态分布N?4,0.25?，质检人员从该厂生产的，质检人员从该厂生产的10001000件零件中随机抽查一件，件零件中随机抽查一件，测得它的外直测得它的外直径为径为5.7cm5.7cm，试问该厂生产的这批零件是否合，试问该厂生产的这批零件是否合格？格？N?4，0.25?解：解：由于?服从正态分布由正态分布的性质知，0.25?在?4?30.5,4?30.5?之外取值的正态分布N?4，概率只有0.003，而5.7?2.5,5.5?这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发这说明在一次试验中，出现了几乎不可能发生的小概率事件生的小概率事件.据此可认为该批零件是不合格的。据此可认为该批零件是不合格的。1 1、正态分布密度曲线和正态分布的定义、正态分布密度曲线和正态分布的定义?原则原则2、正态总体的函数的特征及、正态总体的函数的特征及3