二次函数根的分布和最值

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1、二次方程根的分布与二次函数在闭区间上的最值归纳1、一元二次方程ax2+bx+c=0根的分布情况设方程ax2+bx+c=0(a丰0)的不等两根为x,x且xx，相应的二次函数为f(x)=ax2+bx+c=0,1212方程的根即为二次函数图象与x轴的交点，它们的分布情况见下面各表(每种情况对应的均是充要条件)表一：(两根与0的大小比较即根的正负情况)z综合结论不讨论a)得出的结论得出的结论分布情况O大致图象两个负根即两根都小于0(x0,x0,x0)12A0A0丄02af（0）0丄02af（0）0fG）00A0A0丄02af（0）0-b02af（0）0A02aa-f（0）0f（0）0A0b2aa-f（

2、0）0a-f（0）0一正根一负根即一个根小于0,一个大于0(x0x)12表二：（两根与k的大小比较）分布情况一个根小于k，一个大于k即两根都小于k即xk,xk,xk12得出的结论A0b70A0-bk2af(k)0得出的结论A0b7k2af(k)0-bk2af(k)0综合结昨不讨论a)A02aa-f(k)0A0b2aa-f(k)0a-f(k)0表三：(根在区间上的分布)f(m)f(n)0叫f(p)f(q)0f(m)f(n)0叫f(p)f(q)0f(m)f(n)0f(m)f(n)0f(p)f(q)0f(m)0f(m)0f(m)f(n)0两根都在(m,n)两根有且仅有一根在(m,n)一根在(m,n)

3、,另根在(p,q),mnpq根在区间上的分布还有一种情况：需满足的条件是，“丿外，即在区间两侧Xin，(图形分别如下)oooo)JJmzlpqf(m)f(n)0分布情况(图象有两种情况，只画了一种)O大致图象f(n)0bm-n2a得出的结论O大致图象df(n)0bm-0时，vf(m)0f(n)02)a0f(n)0对以上的根的分布表中一些特殊情况作说明：(1) 两根有且仅有一根在G,n)内有以下特殊情况:1。若f(m)=0或f(n)=0，则此时f(m)f(n)0不成立，但对于这种情况是知道了方程有一根为m或n,可以求出另外一根，然后可以根据另一根在区间G,n)，从而可以求出参数的值。如方程mx2

4、-(m+2)x+2=0在区间(1,3)上有一根，因为f(1)=0，所以mx2-(m+2)x+2=(x1)(mx2)，另一根为？，由123mm得3m2即为所求；2。方程有且只有一根，且这个根在区间(m,n)，即A=0，此时由A=0可以求出参数的值，然后再将参数的值带入方程，求出相应的根，检验根是否在给定的区间内，如若不在，舍去相应的参数。如方程x24mx+2m+6二0有且一根在区间(3,0)，求m的取值范围。分析：由f(3)f(0)0即153(14m+15)(m+3)0得出一3m一；由A=0即16m24(2m+6)=0得出m=1或m=，当14233m=1时，根x=2e(3,0)，即m=1满足题意

5、；当m=-时，根x=3纟(一3,0)，故m=-不满足题意;综上分析，得出3m或m=1根的分布练习题例1、已知二次方程(2m+1)x22mx+(m1)=0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。解：由(2m+1)f(0)0即(2m+1)(m1)0，从而得2m0-(m+1)门0n22f(0)0(m+1)2-8m0m-1nm0mv3-22或m3+22m003+2迈即为所求的范围。例3、已知二次函数y=(m+2)x2-(2m+4)x+(3m+3)与x轴有两个交点，一个大于1,一个小于1,求实数m的取值范围。解：由(m+2)f(1)0即(m+2)(2m+1)0n-2m-即为所求的范围。2例4、已知二次方程

6、mx2+(2m-3)x+4=0只有一个正根且这个根小于1,求实数m的取值范围。解：由题意有方程在区间(0,1)上只有一个正根，则f(0)f(1)0n4(3m+1)0nm0?A0当A0时，设y=f(x)图象与x轴两交点为XVx2.次方程f(x)=0的两根观察图象不难知道元二次函数y二f(x)与x轴交点xi,x2就是相应一元二a00使你)0的K迥或：X2使f(x)。的X为迪XX2使f(x)=Q的X为尸莓J或尸宠aA0使f(x)0的號为勺XX2使0,=0,aVO使F伝0的筑为囂弄-二，使阂。的签为云02a使F伝応0的筑为貳O,使他応Q的益为2a.当AVO时，y=f(x)图象与x轴无公共点，其图象为观

7、察图象不难知道a0时，绝对不等式f(x)0解为xER.绝对不等式住)0)，方程ax2+bx+x二0的个根为a,B(aWB),m,n为常数，且nVm,方程根的分布无外乎两种情况： CL,P分居两区间时，只考虑端点函数值的符号，如f0. a,B同居一区间时，不但要考虑端点函数值的符号，还要考虑及-2范围.b2-4ac0,如：口卩E冷，m)2am，fCm)0,f(口)0.三、好题解给你(1) (1)预习题1. 设有一元二次函数y=2x2-8x+1.试问，当x3,4时，随x变大，y的值变大还是变小？由此y=f(x)在3,4上的最大值与最小值分别是什么？解：经配方有y=2(x-2)2-7对称轴x=2,区

8、间3,4在对称轴右边，y=f(x)在3,4上随x变大，y的值也变大，因此y=f(4)=1.maxyi=f(3)=-5.min2设有一元二次函数y=2x2-4ax+2a2+3.试问，此函数对称轴是什么？当xG3,4时，随x变大，y的值是变大还是变小？与a取值有何关系？由此，求y=f(x)在3,4上的最大值与最小值.解：经配方有y=2(x-a”+3.对称轴为x=a.当aW3时，因为区间3,4在对称轴的右边，因此，当x3,4时，随x变大，y的值也变大.当3a4时，对称轴x=a在区间3,4,此时，若3WxWa，随x变大，y的值变小，但若aWxW4,随x变大，y的值变大.根据上述分析，可知.当aW3时，

9、y二f(4)=2a2-16a+35.y二f(3)=2a2-12a+21.maxmin当3a4时，y=f(a)=3.min其中，aW3.5时，y=f(4)=2a2-16a+35.maxa三3.5时，y=f(3)=2a2-12a+21.max当a4时，y=f(3)=2a2-12a+21.y=f(4)=2a2-16a+35.maxmin(2) (2)基础题例1.设有一元二次方程x2+2(m-1)x+(m+2)=0.试问：(1) m为何值时，有一正根、一负根.(2) m为何值时，有一根大于1、另一根小于1.(3) m为何值时，有两正根.(4) m为何值时，有两负根.(5) m为何值时，仅有一根在1,4

10、?解：(1)设方程一正根x2，一负根X,显然X、X20,依违达定理有m+20.m2反思回顾：X、x20.(2)设xVI,x1,则xTV0,x-10只要求(x-l)(x-l)V0,即xx-(x+x)+lV0.1212121212依韦达定理有(m+2)+2(m-1)+1V0解得*-|-(3)若X0,x20,则X+x20且X,x20,故应满足条件解得A0,(4) i殳迢山则禺0,+知4故，应满足&岸20,k-4(m+2)0,依韦达定理有*-2(m-2)0.由图象不难知道，方程f(x)=0在3,4内仅有一实根条件为f(3)f(4)V0,即9+6(m-1)+(m+2)16+8(m-1)+(m+2)V0.

11、(7m+1)(9m+10)V0.例2.当m为何值时，方程+4+3-1=0有两个负数根?解：负数根首先是实数根，,由根与系数关系：要使方程两实数根为负数,必须且只需两根之和为负,两根之积为正由以上分析，有时，原万程有两个负数根.(3) (3)应用题例1.m取何实数值时，关于x的方程X2+(m-2)x+5-m=0的两个实根都大于2?解：设f(x)=x2+(m-2)x+5-m，如图原方程两个实根都大于2ma-160,的充要条件是；-葺？厶解-4fC2)0,所以当-5VmW-4时，方程的两个实根大于2.B2的条件是:方程的两个实根S父满足OCQ(4)(4)提高题例2.已知关于x方程：x2-2ax+a=

12、0有两个实根a,B，且满足0VaVl,B2，求实根a的取值范围.解：设f(x)=x2-2ax+a,则方程f(x)=0的两个根a,B就是抛物线y=f(x)与x轴的两个交点的横坐标，如图OVaVl,解得所以当V1,B2.例3.m为何实数时，关于x的方程X2+(m-2)x+5-m=0的一个实根大于2,另一个实根小于2.解：设f(x)=x2+(m-2)x+5-m，如图，原方程一个实根大于2,另一个实根小于2的充要条件是f(2)22例1.已知函数厂懐七弧-盼+4(1-旳的图象都在x轴上方，求实数k的取值范围.解：(1)当疋2亠4氐，则所给函数为二次函数，图象满足：JF+4A:-30(疋十5)(比一1)0

13、丘。，即解得：10,条件：FCO)0?FCl)0解得-12VaV0.四、课后演武场1.已知方程(m-1)x2+3x-1=0的两根都是正数，则m的取值范围是(B)-1-1-1m或険1A.B.C.D.2. 方程X2+(m2-l)x+(m-2)=0的一个根比1大，另一个根比T小，则m的取值范围是(C)A.0m2B.-3m1C.-2m0D.TVmVl3已知方程&=Q有两个不相等的实数根，贝业的取值范围是(c)C.D.4. 已知关于x的方程3x2+(m-5)x+7二0的一个根大于4,而另一个根小于4,求实数m的取值范围.,提示：令f(藍)=3k2+(m-5)z+7,由图象特征可知方程f(x)=0的一根大

14、于4,另一根小于4的充要条件是：f(4)0,fCo)0,fC2)0,)22、二次函数在闭区间Im,n上的最大、最小值问题探讨设f(x)=ax2+bx+c二0(a0),则二次函数在闭区间U,n上的最大、最小值有如下的分布情况:bmn一2abbm-n即一eIm,n2a2abm011=用+亡=0ls011=/+f=001127*7Jmnx3mJ%汶3JmnK一最大、f(x)=f(m)maxf(x)=maxf(n)f(m)maxf(x)=fCn)maxf(x)=f(n)f(x)=f一Jf(x)=fCm)minminv2a丿min若一?eIm,n,则fc)2amax二maxfG),f-I2a丿b、2a丿

15、,对于开口向下的情况，讨论类似。其实无论开口向上还是向下，都只有以下两种结论：(2)若一亠Ek,n,则f(x)2amax二maxf(m)f(n),f(x)二minf(m)f(n)min另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开对称轴越远,则对应的函数值越大；反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开对称轴轴越远,则对应的函数值越小。二次函数在闭区间上的最值练习二次函数在闭区间上求最值,讨论的情况无非就是从三个方面入手：开口方向、对称轴以及闭区间,以下三个例题各代表一种情况。例1、函数f(x)=ax2一2ax+2+b(a丰0)在2,3上有最大值5和最小值2,求a,b的值。解：对称轴x=1E

16、2,3，故函数f(x)在区间2,3上单调。0()f(x)=f(3)3a+b+2=5a=1当a0时，函数f(x在区间2,3上是增函数，故f(x)max=f(2)nS2+b=2n?b=0；minf(x)=f(2)rb+2=5a=-1f(x)T=f(3)n3a+b+2=2ntb=3min1)2)当a0时，函数f(x)在区间2,3上是减函数，故例2求函数f(x)=x2一2ax+1,xeh,3的最小值。解：对称轴x0=a(1) 当a1时，y=f(1)=2-2a；min(2) 当1a3时，y=f(3)=10一6amin改：1本题若修改为求函数的最大值，过程又如何？解：(1)当a2时，f(x)=f(1)=2

17、-2a。max2本题若修改为求函数的最值，讨论又该怎样进行？解：(1)当a1时，f(x)=f(3)=10-6a,f(x)=f(1)=2-2a；maxmin(2) 当1a2时，f(x)=f(3)=10-6a,f(x)=f(a)=1-a2；maxmin(3) 当2a3时，f(x)=f(1)=2-2a,f(x)=f(3)=10-6a。maxmin例3、求函数y=x2-4x+3在区间kt+1!上的最小值。解：对称轴x=20(1) 当22时，y=f(t)=t24t+3；min(2) 当t2t+1即1tt+1即ta，这个函数是一个分段函数，由于上下两段上的对称轴分别为x2-x+a+1,xa111111直线

18、x=-，x=-，当a-，-a-时原函数的图象分别如下(1),(2)，(3)厶厶厶厶厶厶因此，(1)1当a-时,f(x)=min2)11当-2a1时，f(x)=f12min12丿二次函数根的分布二次函数根的分布是二次函数中的重要内容。这部分知识在初中代数中虽有所涉及，但尚不够系统和完整，且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用。下面我们将主要结合二次函数图象的性质，分两种情况系统地介绍二次函数根的分布的充要条件及其运用。一一元二次方程根的基本分布零分布所谓一元二次方程根的零分布，指的是方程的根相对于零的关系。比如二次方程有一正根，有一负根，其实就是指这个二次方程一

19、个根比零大，一个根比零小，或者说，这两个根分布在零的两侧。设一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两个实根为x1,x2，且x10【定理1】x0,x0,则012acxx=012a例1若一元二次方程(m-1)x2+2(m+1)x一m二0有两个正根，求m的取值范围。【定理2】x0,x0,则12定理3】x00b0x+x=一一0则C012a二次方程kx2+3kx+k-3=0有一个正根和一个负根？oc=0且b0；a2)x10o12a例4若一元二次方程kx2+(2k-1)x+k-3=0有一根为零，则另一根是正根还是负根？二一元二次方程的非零分布k分布设一元二次方程ax2+bx+c=0(a丰0)的两实根

20、为x1,x2，且x10【定理1】kx0b1一k、2a【定理4】有且仅有气xi（或x2f(ki)f(k2)0或此定理可直接由定理4推出，请自证。)k2Oa0f(ki)00f(P1)0f(P)0a0f(ki)0f(k)02IbJkk、i2a21.方程x2+2px+1=0有一个根大于1，一个根小于1，求p的取值范围2. 若关于x的方程x2+(k-2)x+2k-i=0的两实根中，一根在0和i之间，另一根在i和2之间，求实数k的取值范围3. 方程mx2+2(m+i)x+m+3=0仅有一个负根，求m的取值范围4. 若关于x的方程kx旷(2k+l)x-3=0在(-1,1)和(1,3)内各有一个实根，求k的取值范围5. 已知集合A=xlx2+(2-a)x+1=0，若A匸R+，求a的取值范围6. 已知A=xlx2+2x+2-p=0,且AQR+=，求p的取值范围7. 已知x2+2(m+3)x+2m+14=0有两实根，且都在1,3外，求m范围8. 若方程2ax2-x-1=0在(0,1)内恰好有一个实根，求a的范围9. 方程ax2-2(a+l)x+aT=0,是否存在实数a使它的两根都大于110. 若二次函数y=-x2+mx-1的图像与两端点为A(0,3),B(3,0)的线段AB有两个不同的交点，求m的范围11. 已知f(x)=mx2+(m-3)x+1的图像的零点至少一个在原点右侧，求m的取值范围