变速问题题库教师版(共15页)

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1、变速问题教学目标1、 能够利用以前学习的知识理清变速变道问题的关键点2、 能够利用线段图、算术、方程方法解决变速变道等综合行程题。3、 变速变道问题的关键是如何处理“变”知识精讲变速变道问题属于行程中的综合题，用到了比例、分步、分段处理等多种处理问题等解题方法。对于这种分段变速问题，利用算术方法、折线图法和方程方法解题各有特点。算术方法对于运动过程的把握非常细致，但必须一步一步来；折线图则显得非常直观，每一次相遇点的位置也易于确定；方程的优点在于无需考虑得非常仔细，只需要知道变速点就可以列出等量关系式，把大量的推理过程转化成了计算行程问题常用的解题方法有公式法即根据常用的行程问题的公式进行求解

2、，这种方法看似简单，其实也有很多技巧，使用公式不仅包括公式的原形，也包括公式的各种变形形式；有时条件不是直接给出的，这就需要对公式非常熟悉，可以推知需要的条件；图示法在一些复杂的行程问题中，为了明确过程，常用示意图作为辅助工具示意图包括线段图和折线图图示法即画出行程的大概过程，重点在折返、相遇、追及的地点另外在多次相遇、追及问题中，画图分析往往也是最有效的解题方法；比例法行程问题中有很多比例关系，在只知道和差、比例时，用比例法可求得具体数值更重要的是，在一些较复杂的题目中，有些条件(如路程、速度、时间等)往往是不确定的，在没有具体数值的情况下，只能用比例解题；分段法在非匀速即分段变速的行程问题

3、中，公式不能直接适用这时通常把不匀速的运动分为匀速的几段，在每一段中用匀速问题的方法去分析，然后再把结果结合起来；方程法在关系复杂、条件分散的题目中，直接用公式或比例都很难求解时，设条件关系最多的未知量为未知数，抓住重要的等量关系列方程常常可以顺利求解模块一、变速问题【例 1】 小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走 52 米，小强每分走 70 米，二人在途中的 A 处相遇。若小红提前 4 分出发，且速度不变，小强每分走 90 米，则两人仍在 A 处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？ 【解析】 因为小红的速度不变，相遇的地点不变，所以小红两次从出发到相遇行走的时间不变，也就是说，小强第

4、二次走的时间比第一次少 4 分钟。（704）（90-70）=14 分钟 可知小强第二次走了 14分钟，他第一次走了 144=18 分钟； 两人家的距离：（52+70）18=2196（米） 【例 2】 甲、乙两人沿 400 米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加 2 米秒，乙比原来速度减少 2 米秒，结果都用 24 秒同时回到原地。求甲原来的速度。【解析】 因为相遇前后甲，乙的速度和没有改变，如果相遇后两人和跑一圈用 24 秒，则相遇前两人和跑一圈也用 24 秒。以甲为研究对象，甲以原速V 跑了 24 秒的路程与以（V +2 ）跑了 24 秒的路程之和

5、等于 400米，24V +24（V +2 ）=400 易得V = 米/秒 【例 3】 (2008年日本小学算术奥林匹克大赛)上午点整，甲从地出发匀速去地，点分甲与从地出发匀速去地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的倍，乙速度不变；点分,甲，乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从地出发时是点 分【解析】 点分相遇，此时甲距离地的距离是甲走了分钟的路程，点分时乙到达目的地，说明乙走这段路程花了分钟，所以乙的速度是甲速度的两倍，当甲把速度提高到原速的倍时，此时甲的速度是乙速度的倍，甲从相遇点走到点花了分钟，因此乙原先花了（分钟），所以乙是点分出发的【例 4】 （难度等级 ）A、 B 两地相距 7200

6、 米，甲、乙分别从 A， B 两地同时出发，结果在距 B 地 2400 米处相遇如果乙的速度提高到原来的 3倍，那么两人可提前10分钟相遇，则甲的速度是每分钟行多少米？【解析】 第一种情况中相遇时乙走了 2400 米，根据时间一定，速度比等于路程之比，最初甲、乙的速度比为 (7200 2400) : 2400 =2 :1，所以第一情况中相遇时甲走了全程的2/3乙的速度提高 3倍后，两人速度比为 2 : 3，根据时间一定，路程比等于速度之比，所以第二种情况中相遇时甲走了全程的两种情况相比，甲的速度没有变化，只是第二种情况比第一种情况少走 10 分钟，所以甲的速度为 (米/分)【例 5】 （难度等

7、级 ）甲、乙两车分别从 A， B 两地同时出发相向而行，6 小时后相遇在 C 点如果甲车速度不变，乙车每小时多行 5 千米，且两车还从 A， B 两地同时出发相向而行，则相遇地点距 C 点 12 千米；如果乙车速度不变，甲车速度每小时多行 5 千米，则相遇地点距 C 点 16 千米甲车原来每小时行多少千米？【解析】 设乙增加速度后，两车在 D 处相遇，所用时间为 T 小时。甲增加速度后，两车在 E 处相遇。由于这两种情况，两车的速度和相同，所以所用时间也相同。于是，甲、乙不增加速度时，经 T 小时分别到达 D、E。DE121628（千米）。由于甲或乙增加速度每小时 5 千米，两车在 D 或 E

8、 相遇，所以用每小时 5 千米的速度，T 小时 走过 28 千米，从而 T285小时,甲用 6（小时），走过 12 千米，所以甲原来每小时行 1230（千米） 【巩固】 （难度等级 ）甲、乙二人分别从 A、B 两地同时出发相向而行，5 小时后相遇在 C 点。如果甲速度不变，乙每小时多行 4 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 D 距 C 点 lO 千米；如果乙速度不变，甲每小时多行 3 千米，且甲、乙还从 A、B 两地同时出发相向而行，则相遇点 E距 C 点 5 千米。问：甲原来的速度是每小时多少千米？ 【解析】 当乙每小时多行 4 千米时，5 小时可以多行 20 千米

9、，所以当两人相遇后继续向前走到 5 小时，甲可以走到 C 点，乙可以走到 C 点前面 20 千米。而相遇点 D 距 C 点 lO 千米，因此两人各走了 10 千米，所以甲乙二人此时速度相等，即原来甲比乙每小时多行 4 千米。 同理可得，甲每小时多行 3 千米时，乙走 5 千米的时间甲可以走 10 千米，即甲的速度是乙的 2 倍。 (4+3)(2-1)+4=11(千米/小时)，所以甲原来的速度是每小时 11 千米。 【例 6】 A、 B 两地间有一座桥(桥的长度忽略不计)，甲、乙二人分别从两地同时出发，3 小时后在桥上相遇如果甲加快速度，每小时多走 2 千米，而乙提前 0.5 小时出发，则仍能恰

10、在桥上相遇如果甲延迟 0.5 小时出发，乙每小时少走 2 千米，还会在桥上相遇则 A、 B 两地相距多少千米？【解析】 因为每次相遇的地点都在桥上，所以在这三种情况中，甲每次走的路程都是一样的，同样乙每次走的路程也是一样的在第二种情况中，乙速度不变，所以乙到桥上的时间还是 3 小时，他提前了 0.5 小时，那么甲到桥上的时间是 3 -0.5 =2.5小时甲每小时多走 2 千米，2.5小时就多走 2 2.5= 5千米，这 5 千米就是甲原来 3- 2.5 =0.5小时走的，所以甲的速度是 5 0.5= 10千米/时在第三种情况中，甲速度不变，所以甲到桥上的时间还是 3 小时，他延迟了 0.5 小

11、时，那么乙到桥上的时间是 3 0.5 =3.5小时乙每小时少走 2 千米，3.5小时就少走 2 3.5 =7千米，这 7 千米就是甲原来 3.5 3= 0.5小时走的，所以乙的速度就是 7 0.5 =14千米/时所以 A、 B 两地的距离为 （10 14） 3 =72千米【例 7】 一列火车出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的3/4前进，最终到达目的地晚1.5 小时若出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的3/4前进，则到达目的地仅晚1 小时，那么整个路程为多少公里？【解析】 出发 1 小时后因故停车 0.5 小时，然后以原速的前进，最终到达

12、目的地晚1.5 小时，所以后面以原速的前进的时间比原定时间多用小时，而速度为原来的，所用时间为原来的，所以后面的一段路程原定时间为小时，原定全程为 4 小时；出发 1 小时后又前进 90 公里再因故停车 0.5 小时，然后同样以原速的前进，则到达目的地仅晚1 小时，类似分析可知又前进 90 公里后的那段路程原定时间为小时所以原速度行驶 90 公里需要1.5 小时，而原定全程为 4 小时，所以整个路程为 公里【例 8】 王叔叔开车从北京到上海，从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，结果提前一个半小时到达；返回时，按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，于是提前1 小时 40

13、 分到达北京北京、上海两市间的路程是多少千米？【解析】 从开始出发，车速即比原计划的速度提高了1/9，即车速为原计划的10/9，则所用时间为原计划的110/9=9/10，即比原计划少用1/10的时间，所以一个半小时等于原计划时间的1/10，原计划时间为：1.51/10=15(小时)；按原计划的速度行驶 280 千米后，将车速提高1/6，即此后车速为原来的7/6，则此后所用时间为原计划的17/6=6/7，即此后比原计划少用1/7的时间，所以1 小时 40 分等于按原计划的速度行驶 280 千米后余下时间的1/7，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：5/31/7=35/3(小时)，所

14、以，原计划的速度为：84(千米/时)，北京、上海两市间的路程为：84 15= 1260(千米)【例 9】 上午 8 点整，甲从 A地出发匀速去 B 地，8 点 20 分甲与从 B 地出发匀速去 A地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的 3 倍，乙速度不变；8 点 30 分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从 B 地出发时是 8 点几分【解析】 甲、乙相遇时甲走了 20 分钟，之后甲的速度提高到原来的 3 倍，又走了 10 分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走10 3= 30分钟，所以前后两段路程的比为 20 : 30 =2 : 3，由于甲

15、走 20 分钟的路程乙要走 10 分钟，所以甲走 30 分钟的路程乙要走 15 分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了 15 分钟，所以乙从 B 地出发时是 8 点5 分【例 10】 （难度等级 ）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的 1.5 倍，而且甲比乙速度快。两人出发后 1 小时，甲与乙在离山顶 600 米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？ 【解析】 甲如果用下山速度上山，乙到达山顶时，甲走过的路程应该是一个单程的 11.5+1/2=2 倍，就是说甲下山的速度是乙上山速度的 2 倍。 两人相遇时走了 1

16、小时，这时甲还要走一段下山路，这段下山路乙上山用了 1 小时，所以甲下山要用1/2 小时。 甲一共走了 1+1/2=1.5（小时） 【例 11】 小华以每小时8/3千米的速度登山，走到途中 A点后，他将速度改为每小时 2千米，在接下来的1小时中，他走到山顶，又立即下山，并走到 A点上方 500米的地方如果他下山的速度是每小时 4千米，下山比上山少用了 52.5分钟那么，他往返共走了多少千米？【解析】 11千米【例 12】 （难度等级 ）甲、乙两车从 A、 B 两地同时出发相向而行，5 小时相遇；如果乙车提前 1 小时出发，则差 13千米到中点时与甲车相遇，如果甲车提前 1 小时出发，则过中点

17、37 千米后与乙车相遇，那么甲车与乙车的速度差等于多少千米/小时？【解析】 第一次行程甲、乙两车同时出发，所以两车走的时间相同；第二次乙车提前 1 小时出发，所以这次乙车比甲车多走了 1 小时；第三次甲车提前 1 小时出发，所以这次甲车比乙车多走了 1 小时那么如果把第二次和第三次这两次行程相加，那么甲车和乙车所走的时间就相同了，而所走的路程为 2 个全程由于两人合走一个全程要 5 小时，所以合走两个全程要 10 小时由于第二次在乙车在差 13 千米到中点与甲车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 13 千米；第三次在过中点 37 千米后与乙车相遇，所以此次甲车走了全程的一半加上 37 千米；

18、这两次合起来甲车走了一个全程加上13 37 =50千米，所以乙车走了一个全程少 50 千米，甲车比乙车多走50 2 =100千米而这是在 10 小时内完成的，所以甲车与乙车的速度差为100 10 =10千米/时【例 13】 甲、乙两名运动员在周长米的环形跑道上进行米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分钟跑米，乙每分钟跑米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分钟比原来多跑米，并且都以这样的速度保持到终点问：甲、乙两人谁先到达终点？【解析】 从起跑到甲比乙领先一圈，所经过的时间为(分钟)甲到达终点还需要跑(分钟)，乙还需要跑(分钟)，由于，所以乙先到达终点【例 14

19、】 环形场地的周长为米，甲、乙两人同时从同一地点出发相背而行(甲速大于乙速)，分钟后相遇如果每人每分钟多走米，则相遇点与前次相差米，求原来二人的速度【解析】 甲、乙原来的速度和为：(米/分)，如果每人每分钟多走米，现在的速度之和为：(米/分)，现在相遇需要的时间为：(分钟)题目中说相遇点与前次相差米，但并不知道两者的位置关系，所以需要先确定两次相遇点的位置关系由于以原来的速度走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程；提速后走一圈，甲比乙多走的路程为每分钟甲比乙多走的路程；故提速后走一圈与以原来速度走一圈相比，甲比乙多走的路程少了，而二人所走的路程的和相等，所以提速后甲走的路程比以原速度

20、走的路程少，其差即为两次相遇点的距离米所以现在问题转化为：甲以原速度走12分钟走到某一处，现在甲以比原速度提高25米/分的速度走9分钟，走到距离前一处还有33米的地方，求甲的速度所以，甲原来的速度为：(米/分)，乙原来的速度为：(米/分)【例 15】 王刚骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。因途中有2千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车速度的，结果这天用了36分钟才到学校。从王刚家到学校有多少千米？【解析】 途中有2千米在修路，导致了王刚上学时间比平时多用分钟，由于在别的路段上还是骑车，所以多用的时间都是耗费在修路的2千米上由于步行速度是汽车速度的，所以步行2千米所用的时间是骑车2

21、千米所用时间的3倍，多用了2倍，这个多出来的时间就是16分钟，所以骑车2千米需要分钟由于8分钟可以骑2千米，而王刚平时骑车20分钟可以到学校，所以王刚家与学校的距离为千米【例 16】 甲、乙两车分别从、两地同时出发，相向而行出发时，甲，乙的速度之比是，相遇后甲的速度减少，乙的速度增加这样当甲到达地时，乙离开地还有千米那么、两地相距多少千米？【解析】 出发时，两车的速度之比为，所以相遇以后两辆车的速度之比为，而相遇前甲、乙两车的行程路程之比为，所以相遇后两辆车还需要行驶的路程之比为，所以甲还需要行驶全部路程的，当甲行驶这段路程的同时，乙行驶了全程的，距离地还有，所以、两地相距千米【例 17】 甲

22、、乙往返于相距米的，两地甲先从地出发，分钟后乙也从地出发，并在距 地米的地追上甲乙到地后立即原速向地返回，甲到地休息分钟后加快速度向地返回，并在地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到地？【解析】 由于甲比乙早出发6分钟，乙在走了600米时追上甲，可见乙走600米比甲要少用6分钟，那么对于剩下的米，乙比甲要少用(分钟)，也就是说乙比甲早4分钟到达地那么乙从地出发比甲早(分钟)，走到地被甲追上，相当于甲走400米比乙少用5分钟，那么对于剩下的600米，甲比乙要少用(分钟)所以甲比乙提前分钟回到地【例 18】 一辆大货车与一辆小轿车同时从甲地开往乙地，小轿车到达乙地后立即返回，返回时速度提高。出发2小时

23、后，小轿车与大货车第一次相遇，当大货车到达乙地时，小轿车刚好走到甲、乙两地的中点。小轿车在甲、乙两地往返一次需要多少时间？【解析】 此题的关键是分析清楚题目中所提到的小轿车返回时速度提高所带来的变化，所以可以先假设小轿车返回时速度不发生变化会是什么样，然后再进行对比分析如果小轿车返回时速度不提高，那么大货车到达乙地时，小轿车又走了甲、乙两地距离的，所以，从甲地到乙地小轿车与大货车的速度比为：，小轿车到达乙地时，大货车走了全程的，还差小轿车从乙地返回甲地时，与大货车的速度比为，小轿车从乙地返回到与大货车相遇时，大货车又走了全程的，即相遇时大货车共走了全程的，那么大货车从甲地到乙地需要小时，小轿车

24、从甲地到乙地需要小时，小轿车往返一次需要小时【例 19】 甲、乙两地间平路占，由甲地去往乙地，上山路千米数是下山路千米数的，一辆汽车从甲地到乙地共行了小时，已知这辆车行上山路的速度比平路慢，行下山路的速度比平路快，照这样计算，汽车从乙地回到甲地要行多长时间？【解析】 根据题意，可以把甲、乙两地之间的距离看作25，这样两地间的平路为5，从甲地去往乙地，上山路为，下山路为；再假设这辆车在平路上的速度为5，则上山时的速度为4，下山时的速度为6，于是，由甲地去乙地所用的总时间为：；从乙地回到甲地时，汽车上山、下山的速度不变，但是原来的上山路变成了此时的下山路，原来的下山路变成了此时的上山路，所以回来时

25、所用的总时间为：由于从甲地到乙地共行了10小时，所以从乙地回来时需要小时【例 20】 甲、乙二人在同一条圆形跑道上作特殊训练：他们同时从同一地出发，沿相反方向跑，每人跑完第一圈到达出发点后立即回头加速跑第二圈，跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的甲跑第二圈的速度比第一圈提高了，乙跑第二圈的速度提高了，已知沿跑道看从甲、乙两人第二次相遇点到第一次相遇点的最短路程是米，问这条跑道长多少米？【解析】 从起跑由于跑第一圈时，乙的速度是甲的速度的，所以第一次相遇的地方在距起点(或者)处由于甲的速度比乙快，所以甲先跑完第一圈，甲跑完第一圈时，乙跑了圈，此时乙距出发点还有圈，根据题意，此时甲要回头加速跑，即此时

26、甲与乙方向相同，速度为乙的倍所以乙跑完剩下的圈时甲又跑了圈，此时甲距出发点还有圈，而乙又要回头跑，所以此时两人相向而行，速度比为，所以两人第二次相遇点距离出发点，两次相遇点间隔，注意到，所以最短距离为圈，所以跑道长米【例 21】 甲、乙两人沿米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去相遇后甲比原来速度增加米秒，乙比原来速度减少米秒，结果都用秒同时回到原地求甲原来的速度【解析】 因为相遇前后甲、乙的速度和没有改变，如果相遇后两人合跑一圈用25秒，则相遇前两人合跑一圈也用25秒(法1)甲以原速跑了25秒的路程与以的速度跑了25秒的路程之和等于400米，解得米/秒(法2)由跑同样一段

27、路程所用的时间一样，得到，即二者速度差为4；而二者速度和为，这是个典型的和差问题可得为：米/秒【巩固】从村到村必须经过村，其中村至村为上坡路，村至村为下坡路，村至村的总路程为千米某人骑自行车从村到村用了小时，再从村返回村又用了小时分已知自行车上、下坡时的速度分别保持不变，而且下坡时的速度是上坡时速度的倍求、之间的路程及自行车上坡时的速度【解析】 设、之间的路程为千米，自行车上坡速度为每小时千米，则、之间的路程为 千米，自行车下坡速度为每小时千米依题意得：，两式相加，得：，解得；代入得故、之间的路程为千米，自行车上坡时的速度为每小时千米【例 22】 （年“奥数网杯”六年级）欢欢和贝贝是同班同学，

28、并且住在同一栋楼里早晨，欢欢从家出发骑车去学校，追上了一直匀速步行的贝贝；看到身穿校服的贝贝才想起学校的通知，欢欢立即调头，并将速度提高到原来的倍，回家换好校服，再赶往学校；欢欢赶到学校时，贝贝也恰好到学校如果欢欢在家换校服用去分钟且调头时间不计，那么贝贝从家里出发时是 点 分【解析】 欢欢从出发到追上贝贝用了分钟，那么她调头后速度提高到原来的倍，回到家所用的时间为3分钟，换衣服用时6分钟，所以她再从家里出发到到达学校用了分钟，故她以原速度到达学校需要10分钟，最开始她追上贝贝用了6分钟，还剩下4分钟的路程，而这4分钟的路程贝贝走了14分钟，所以欢欢的6分钟路程贝贝要走分钟，也就是说欢欢追上贝

29、贝时贝贝已走了21分钟，所以贝贝是7点25分出发的【例 23】 甲、乙两人都要从地到地去，甲骑自行车，乙步行，速度为每分钟60米乙比甲早出发20分钟，甲在距地1920米的处追上乙，两人继续向前，甲发现自己忘带东西，于是将速度提高到原来的倍，马上返回地去取，并在距离处720米的处遇上乙甲到达地后在地停留了5分钟，再以停留前的速度骑往地，结果甲、乙两人同时到达地、两地之间的距离是 米【解析】 乙从地到处所用时间为分钟，甲用的时间为分钟，甲的速度为米/分钟，速度提高后为米/分钟甲从处回到地并停留5分钟，共用时间分钟，此时乙又走了米，两人的距离为米，此时相当于追及问题，追及时间为分钟，所以、两地之间的

30、距离为米【例 24】 小芳从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路，一半下坡路小芳上学走这两条路所用的时间一样多已知下坡的速度是平路的倍，那么上坡的速度是平路速度的多少倍？【解析】 设小芳上学路上所用时间为，那么走一半平路所需时间是由于下坡路与一半平路的长度相同，根据路程一定，时间比等于速度的反比，走下坡路所需时间是，因此，走上坡路需要的时间是，那么，上坡速度与平路速度的比等于所用时间的反比，为，所以，上坡速度是平路速度的倍【例 25】 （2003年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）某校在400米环形跑道上进行1万米比赛，甲、乙两名运动员同时起跑后，乙的速度始终保持不变，开始时甲比

31、乙慢，在第15分钟时甲加快速度，并保持这个速度不变，在第18分钟时甲追上乙并且开始超过乙。在第23分钟时甲再次追上乙，而在23分50秒时甲到达终点。那么，乙跑完全程所用的时间是多少分钟？【解析】 本题中乙的速度始终保持不变，甲则有提速的情况，但是甲提速后速度就保持不变，所以可以从甲提速后的情况着手进行考虑根据题意可知，甲加速后，每过（分钟）比乙多跑一圈，即每分钟比乙多跑（米）由于第18分钟时甲、乙处于同一位置，则在23分50秒时甲到达终点时，乙距终点的距离就是此时甲、乙之间的距离，即乙距离终点还有（米），即乙在23分50秒内跑了米，由于乙的速度始终保持不变，所以乙每分钟跑（米）所以，乙跑完全程

32、需要（分钟）【例 26】 （2003年迎春杯）甲、乙两人同时同地同向出发，沿环形跑道匀速跑步如果出发时乙的速度是甲的倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高，而乙的速度立即减少，并且乙第一次追上甲的地点与第二次追上甲的地点相距100米，那么这条环形跑道的周长是 米【解析】 如图，设跑道周长为1，出发时甲速为2，则乙速为5假设甲、乙从点同时出发，按逆时针方向跑由于出发时两者的速度比为，乙追上甲要比甲多跑1圈，所以此时甲跑了，乙跑了；此时双方速度发生变化，甲的速度变为，乙的速度变为，此时两者的速度比为；乙要再追上甲一次，又要比甲多跑1圈，则此次甲跑了，这个就是甲从第一次相遇点跑到第二次相遇点的路程

33、从环形跑道上来看，第一次相遇点跑到第二次相遇点之间的距离，既可能是个周长，又可能是个周长那么，这条环形跑道的周长可能为米或米【例 27】 如图所示，甲、乙两人从长为米的圆形跑道的点背向出发跑步。跑道右半部分(粗线部分）道路比较泥泞，所以两人的速度都将减慢，在正常的跑道上甲、乙速度均为每秒米，而在泥泞道路上两人的速度均为每秒米。两人一直跑下去，问：他们第99次迎面相遇的地方距点还有 米。【解析】 本题中，由于甲、乙两人在正常道路和泥泞道路上的速度都相同，可以发现，如果甲、乙各自绕着圆形跑道跑一圈，两人在正常道路和泥泞道路上所用的时间分别相同，那么两人所用的总时间也就相同，所以，两人同时出发，跑一

34、圈后同时回到点，即两人在点迎面相遇，然后再从点出发背向而行，可以发现，两人的行程是周期性的，且以一圈为周期在第一个周期内，两人同时出发背行而行，所以在回到出发点前肯定有一次迎面相遇，这是两人第一次迎面相遇，然后回到出发点是第二次迎面相遇；然后再出发，又在同一个相遇点第三次相遇，再回到出发点是第四次相遇可见奇数次相遇点都是途中相遇的地点，偶数次相遇点都是点本题要求的是第99次迎面相遇的地点与点的距离，实际上要求的是第一次相遇点与点的距离对于第一次相遇点的位置，需要分段进行考虑：由于在正常道路上的速度较快，所以甲从出发到跑完正常道路时，乙才跑了米，此时两人相距100米，且之间全是泥泞道路，此时两人

35、速度相同，所以再各跑50米可以相遇所以第一次相遇时乙跑了米，这就是第一次相遇点与点的距离，也是第99次迎面相遇的地点与点的距离【例 28】 （2009年第七届“走进美妙的数学花园”初赛六年级）丁丁和乐乐各拿了一辆玩具甲虫在400米跑道上进行比赛，丁丁的玩具甲虫每分钟跑30米，乐乐的玩具甲虫每分钟跑20米，但乐乐带了一个神秘遥控器，按第一次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的倒退1分钟，按第二次会使丁丁的玩具甲虫以原来速度的倒退1分钟，以此类推，按第次，使丁丁的玩具甲虫以原来的速度的倒退1分钟，然后再按原来的速度继续前进，如果乐乐在比赛中最后获胜，他最少按 次遥控器。【解析】 乐乐的玩具甲虫跑完全程需

36、要分钟，丁丁的玩具甲虫跑完全程需要分钟，乐乐要想取胜，就必须使丁丁的玩具甲虫因倒退所耽误的总时间超过分钟乐乐第一次按遥控器后，丁丁耽误的时间为倒退的1分钟及跑完这1分钟倒退路程所花费的时间，为分钟；乐乐第二次按遥控器后，丁丁耽误的时间为分钟；乐乐第次按遥控器后，丁丁耽误的时间为分钟所以相当于要使大于，由于，而，所以乐乐要想取胜，至少要按6次遥控器【例 29】 唐老鸭和米老鼠进行5000米赛跑米老鼠的速度是每分钟125米，唐老鸭的速度是每分钟100米唐老鸭有一种能使米老鼠停止或减速的遥控器，每次使用都能使米老鼠进入“麻痹”状态1分钟，1分钟后米老鼠就会恢复正常，遥控器需要1分钟恢复能量才能再使用

37、米老鼠对“麻痹”状态也在逐渐适应，第1次进入“麻痹”状态时，米老鼠会完全停止，米老鼠第2次进入“麻痹”状态时，就会有原速度的速度，而第3次就有原速度的速度，第20次进入“麻痹”状态时已有原速度的速度了，这以后米老鼠就再也不会被唐老鸭的遥控器所控制了唐老鸭与米老鼠同时出发，如果唐老鸭要保证不败，它最晚要在米老鼠跑了多少米的时候第一次使用遥控器?【解析】 (分钟)，(分钟)，所以米老鼠正常情况下要40分钟跑完全程，唐老鸭要50分钟跑完全程若唐老鸭使米老鼠麻痹20次，由于，则在这麻痹的20分钟内，米老鼠实际跑的路程为正常状态下分钟跑的路程这样，米老鼠一共需要分钟才能到达终点由于唐老鸭只需要50分钟，

38、所以若使唐老鸭保持不败，并不需要使米老鼠麻痹20次，即可以尽量晚的第一次使用遥控器根据题意，第20次使用可以使米老鼠多损失分钟，第19次使用可以使米老鼠多损失分钟，第18次使用可以使米老鼠多损失分钟，第17次使用可以使米老鼠多损失分钟，总计正好是分钟所以只需要使米老鼠麻痹16次，唐老鸭就能保持不败这样米老鼠也要50分钟由于还要留出15分钟的遥控器恢复能量的时间，所以第一次使用遥控器的时候后面剩下的时间不能少于分钟，此时米老鼠已经跑出了(米)，所以唐老鸭最晚要在米老鼠跑了2375米的时候第一次使用遥控器【例 30】 小周开车前往某会议中心，出发20分钟后，因为交通堵塞，中途延误了20分钟，为了按

39、时到达会议中心，小周将车速提高了，小周从出发时算起到达会议中心共用了多少分钟？【解析】 将车速提高后，前、后两种情况下车速的比为，那么所用的时间的比为，由此省出的时间就是堵车耽误的20分钟，所以这段路程原来需要开分钟，再加上开始的20分钟，可知小周从出发时算起到达会议中心共用了分钟【例 31】 （2008年清华附中入学测试题）如图，甲、乙分别从、两地同时出发，匀速相向而行，他们的速度之比为，相遇于地后，甲继续以原来的速度向地前进，而乙则立即调头返回，并且乙的速度比相遇前降低，这样当乙回到地时，甲恰好到达离地千米的处，那么、两地之间的距离是_千米。【解析】 由于甲、乙的速度之比为，所以，乙调头后

40、的速度为原来速度的，所以乙调头后两人速度之比为，而乙回到地时甲恰好到达处，所以，即，则（千米），即、两地之间的距离为千米【例 32】 甲、乙两车分别从、两地同时出发相向而行，甲车速度为32千米/时，乙车速度为48千米/时，它们到达地和地后，甲车速度提高，乙车速度减少，它们第一次相遇地点与第二次相遇地点相距74千米，那么、之间的距离是多少千米？【解析】 开始时两车速度比为，所以第一次相遇是在距地全程的处；当乙车到达地时，甲车离地还有全程的，此时乙车速度减少，变为原来的，两车速度比为，那么当甲车走完剩下的时，乙车已经往回走了，此时两车相距全程的这时甲车速度提高，两车速度比变为，所以两车再各走即相遇

41、即第二次相遇点距离地全程的所以、之间的距离为千米【例 33】 (2008年日本第12届小学算术奥林匹克初赛)上午8点整，甲从地出发匀速去地，8点20分甲与从地出发匀速去地的乙相遇；相遇后甲将速度提高到原来的3倍，乙速度不变；8点30分，甲、乙两人同时到达各自的目的地那么，乙从地出发时是8点 分【解析】 甲、乙相遇时甲走了20分钟，之后甲的速度提高到原来的3倍，又走了10分钟到达目的地，根据路程一定，时间比等于速度的反比，如果甲没提速，那么后面的路甲需要走分钟，所以前后两段路程的比为，由于甲走20分钟的路程乙要走10分钟，所以甲走30分钟的路程乙要走15分钟，也就是说与甲相遇时乙已出发了15分钟

42、，所以乙从地出发时是8点5分【例 34】 甲、乙往返于相距米的，两地甲先从地出发，分钟后乙也从地出发，并在距 地米的地追上甲乙到地后立即原速向地返回，甲到地休息分钟后加快速度向地返回，并在地追上乙问：甲比乙提前多少分钟回到地？【解析】 由于甲比乙早出发6分钟，乙在走了600米时追上甲，可见乙走600米比甲要少用6分钟，那么对于剩下的米，乙比甲要少用(分钟)，也就是说乙比甲早4分钟到达地那么乙从地出发比甲早(分钟)，走到地被甲追上，相当于甲走400米比乙少用5分钟，那么对于剩下的600米，甲比乙要少用(分钟)所以甲比乙提前分钟回到地【例 35】 （2005年“祖冲之杯”小学数学邀请赛）如图所示，

43、有、四个游乐景点，在连接它们的三段等长的公路、上，汽车行驶的最高时速限制分别是120千米、40千米和60千米。一辆大巴车从景点出发驶向景点，到达点后立刻返回；一辆中巴同时从点出发，驶向点。两车相遇在景点，而当中巴到达点时，大巴又回到了点，已知大巴和中巴在各段公路上均以其所能达到且被允许的速度尽量快地行驶，大巴自身所具有的最高时速大于60千米，中巴在与大巴相遇后自身所具有的最高时速比相遇前提高了，求大巴客车的最高时速。【解析】 由于、三段公路等长，不妨设千米，大巴从用（小时），此时中巴从，速度为（千米/小时），所以中巴从的速度为（千米/小时），用时为（小时），这也是大巴从用的时间大巴在上最少用（

44、小时），所以大巴在上最多用（小时）大巴的最高时速为（千米）【巩固】 从甲市到乙市有一条公路，它分成三段在第一段上，汽车速度是每小时40千米；在第二段上，汽车速度是每小时90千米；在第三段上，汽车速度是每小时50千米己知第一段公路的长恰好是第三段的2倍，现有两汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段从甲到乙方向的处相遇那么，甲、乙两市相距多少千米？【解析】 如图所示，、分别为三段路的端点，为两车相遇的地点由于为的两倍，而汽车在上的速度为40千米/时，在上的速度为50千米/时，所以汽车在上与在上所用的时间之比为，即在上比在上多用了的时间；由于，所以，而汽车在整个段上速度都是

45、相同的，所以汽车在上所用的时间是汽车在上所用的时间的2倍，即多用了1倍的时间由于两辆汽车同时出发，在处相遇，两车所用的时间相同，所以在上所用的时间的倍等于在上所用的时间，可以得到在上所用的时间与在上所用的时间之比为，那么可以得到在、四段上所用的时间之比为汽车在与段上所用的时间之比为，速度之比为，所以与段的长度之比为由于汽车从到用了1小时20分钟，所以在段上所用的时间为小时，段的长度为千米，那么从到的距离为千米【例 36】 现在甲乙两辆车往返于相距20千米的、两地，甲车先从地出发，9分钟后乙车也从地出发，并且在距离地5千米的地追上甲车。乙车到地之后立即向地原速驶回，甲车到地休息12分钟之后加快速

46、度向地返回，并在地又将乙车追上。那么最后甲车比乙车提前多少分钟到地？【解析】 根据题意可知，按照出发时的速度，乙车走5千米比甲车少用9分钟，那么乙车走15千米比甲车少用27分钟，也就是说乙车比甲车早27分钟到达地到达地后，乙车立即返回，而甲车则停留12分钟，所以甲车比乙车晚分钟从地返回返回时甲车提高了速度，所以在乙车开出15千米后追上乙车，说明返回时每走15千米甲车比乙车少用39分钟，那么走5千米甲车比乙车少用13分钟而剩下的路恰好5千米，所以甲车比乙车提前15分钟到地模块二、变道问题【例 37】 （2005年小学生数学报优秀小读者评选活动）有一种机器人玩具装置，配备长、短不同的两条跑道，其中

47、长跑道长400厘米，短跑道长300厘米，且有200厘米的公用跑道(如下图)。机器人甲按逆时针方向以每秒6厘米的速度在长跑道上跑动，机器人乙按顺时针方向以每秒4厘米的速度在短跑道上跑动。如果甲、乙两个机器人同时从点出发，那么当两个机器人在跑道上第3次迎面相遇时，机器人甲距离出发点点多少厘米?【解析】 第一次在点相遇，这时甲、乙共跑了400厘米(见左下图)； 第二次在点相遇，这时甲、乙又共跑了700厘米(见右上图)；同理，第三次相遇时，甲、乙又共跑了700厘米那么到第三次相遇时两者共跑了厘米，共用时间（秒），甲跑了（厘米），距点（厘米）【例 38】 （2007年首届全国资优生思维能力测试）如下图，

48、甲从出发，不断往返于之间行走。乙从出发，沿围绕矩形不断行走。甲的速度是5米/秒，乙的速度是4米/秒，甲从背后第一次追上乙的地点离点 米。【解析】 若甲要从背后追上乙，只有甲从时才有可能，且当甲到达时，在上乙离的距离不能超过米而甲第一次以上述行走方向到达时，要用秒，以后每隔秒到达一次乙走一圈的距离为米设当甲第次以上述行走方向到达时，乙在上离的距离不超过24米由于此时甲共走了秒，所以乙走了米，而乙走的路程比300米的整数倍多出来的部分在米和米之间，所以有除以300的余数在180到204之间，即除以300的余数在之间即除以300的余数在之间，也即除以300的余数在之间显然当时，的余数为60，在之间这

49、时，乙走了米，离点米那么当甲追上乙时离点米【例 39】 如图，两个圆环形跑道，大圆环的周长为600米，小圆环的周长为400米。甲的速度为每秒6米，乙的速度为每秒4米。甲、乙二人同时由点起跑，方向如图所示，甲沿大圆环跑一圈，就跑上小圆环，方向不变，沿小圆环跑一圈，又跑上大圆环，方向也不变；而乙只沿小圆环跑。问：甲、乙可能相遇的位置距离点的路程是多少？(路程按甲跑的计算)【解析】 根据题意可知，甲跑的路线是“8”字形，乙跑的路线是小圆环甲绕大圆环跑一周需要100秒，乙绕小圆环跑一周也需要100秒所以两人的第一次相遇肯定是在点；而以后在小圆周上肯定还有相遇点由于两人都是周期性运动，乙的情况较为简单，

50、如果以乙为中心，可以看出，每次乙回到点，如果甲也在点，则两人在点相遇；如果甲不在点，则此时甲相当于顺时针跑，乙则逆时针跑，这是一个相遇问题，必定在小圆周上相遇设乙第次回到点的时间为秒，则，此时甲跑了米而甲一个周期为米，因此，时刻甲跑了个周期而，其中整数部分表示甲回到点，小数部分表示甲又从点跑了一部分路程，但是不到一个周期，这一部分路程的长度是米由此，我们可以算出甲的位置：小数部分表示的路程0200400600800甲、乙相距的路程0800600400200甲、乙相遇还需的时间080604020甲、乙相遇的位置080160240320以其中的第三列为例进行说明：这一列表示，于是，这表明甲回到点后又跑了200米，此时乙在点处，甲要跑完大圆周再在小圆周上与乙相遇，此时两人相距米，所以需要的时间为秒，在80秒内乙跑了米，所以在这种情况下甲在小圆周上跑的路程为米，这就是此时相遇点与点的距离其它情况同理可得所以甲、乙可能相遇的位置在距离点顺时针方向320米，240米，160米，80米和0米