全等三角形与辅助线

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1、课 题 全等三角形与辅助线 授课时间：备课时间：教学目标 1.了解三角形全等中的一些辅助线做法。 教学内容（包括知识点、典型例题、课后作业） 全等三角形与辅助线知识要点（一）、全等三角形问题中常见的辅助线的作法 常见辅助线的作法有以下几种：1) 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”2) 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”3) 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理4)

2、 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”5) 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目复习巩固1.如图，在ABC中，ADBC，CEAB,垂直分别为D,E,AD,CE交于点H，已知EH=EB=3,AE=4,求CH的长。AEDCBH2.已知，如图，AB=AE, B=E, BAC=EAD, CAF=DAF.求证：AFCDABEDFC3DAC, EBC均是等边三角形，AE,BD分别与CD,CE交于

3、点M,N,求证：（1）AE=BD (2)CM=CN (3) CMN为等边三角形（4）MNBCEEDACBNM 4如图，在ABC中，B=60，AD,CE是ABC的角平分线，且交于点O.求证：AC=AE+CDAEBDC5.如图所示，A，E，F，C在一条直线上，AECF，过E，F分别作DEAC，BFAC，若ABCD，可以得到BD平分EF，为什么？若将DEC的边EC沿AC方向移动，变为图时，其余条件不变，上述结论是否成立？请说明理由.典型例题（二）、全等三角形中的常见辅助线的添加方法举例一有角平分线时，通常在角的两边截取相等的线段，构造全等三角形。例：如图1,已知AD为ABC的中线，且12,34,求证

4、：BECFEF。二有以线段中点为端点的线段时，常延长加倍此线段，构造全等三角形。例：如图2：AD为ABC的中线，且12，34，求证：BECFEF三有三角形中线时，常延长加倍中线，构造全等三角形。例：如图3：AD为 ABC的中线，求证：ABAC2AD。 练习：已知ABC，AD是BC边上的中线，分别以AB边、AC边为直角边各向形外作等腰直角三角形，如图4， 求证EF2AD。 四、截长补短法作辅助线。例：已知如图5：在ABC中，ABAC，12，P为AD上任一点。求证：ABACPBPC。例；已知，如图1-1，在四边形ABCD中，BCAB，AD=DC，BD平分ABC.图1-1求证：BAD+BCD=180

5、.证明：过点D作DE垂直BA的延长线于点E，作DFBC于点F，如图1-2图1-2BD平分ABC，DE=DF，在RtADE与RtCDF中，RtADERtCDF(HL),DAE=DCF.又BAD+DAE=180，BAD+DCF=180，即BAD+BCD=180五、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。例：如图7：ABCD，ADBC 求证：AB=CD。 六、连接已知点，构造全等三角形。例：已知：如图9；AC、BD相交于O点，且ABDC，ACBD，求证：AD。七、取线段中点构造全等三有形。例：如图10：ABDC，AD 求证：ABCDCB。练习题1、（“希望杯”试题）已知，如图ABC中

6、，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_.2、如图，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求证：CDAC3、AD为ABC的角平分线，直线MNAD于A.E为MN上一点，ABC周长记为，EBC周长记为.求证.4、 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 5. 已知：如图4-1，在ABC中，C2B，12.图4-1求证：AB=AC+CD.轴对称图形一、知识梳理1. 轴对称图形 如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴毛2. 轴对称 有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一

7、个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点两个图形关于直线对称也叫做轴对称3. 图形轴对称的性质 如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线4. 轴对称与轴对称图形的区别 轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称5. 线段的垂直平分线 （1）经过线段的中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（或线段的中垂线）

8、 （2）线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上6. 轴对称变换 由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换 成轴对称的两个图形中的任何一个可以看着由另一个图形经过轴对称变换后得到7. 轴对称变换的性质 （1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样 （2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称点 （3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分8. 作一个图形关于某条直线的轴对称图形 （1）作出一些关键点或特殊点的对称点 （2）按原图形的连接方式连接所得到的对称点，即得到原

9、图形的轴对称图形9. 关于坐标轴对称原点对称 点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，y） 点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（x，y） 点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（x，y）典型例题一 填空题： 1、粗圆体的汉字“口，天，土”等多是轴对称图形。请再写出至少三个以上这样的汉 字 。2、下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑，哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由。 3在等边三角形ABC中，AD是BC上的高，则BAD 4在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是 5.请在下面这一组图形符号中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线上的空白处填上恰当的图形.

10、 6.已知点A（a，-2）和B（3，b），当满足条件 时，点A和点B关于y轴对称。7.长方形的对称轴有_条.8.如图,ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=3cm,ABD的周长为13cm,则ABC的周长为_.9、如图，在ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，点E、F是AD的三等分点，若ABC的面积为12，则图中阴影部分的面积为 二，选择题： 1.下列图形中对称轴最多的是 ( ) A，圆 B，正方形 C，等腰三角形 D，线段ABCD2.下列平面图形中，不是轴对称图形的是 （ ）3.如图，把一个正方形三次对折后沿虚线剪下，则所得图形大致是 （ ）4如图所示的矩形纸片，先沿虚线按箭头方向向右对

11、折，接着将对折后的纸片沿虚线剪下一个小圆和一个小三角形，然后将纸片打开是下列图中的哪一个（ ）5当你看到镜子中的你在用右手往左梳理你的头发时，实际上你是（ ） A右手往左梳 B右手往右梳 C左手往左梳 D左手往右梳6.如图,先将正方形纸片对折,折痕为MN,再把B点折叠在折痕MN上,折痕为AE,点B在MN上的对应点为H,沿AH和DH剪下,这样剪得的三角形中 ( ) A， B， C， D， 三，作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹） 1， 如图，已知点M、N和AOB，求作一点P，使P到点M、N的距离相等，且到AOB的两边的距离相等O2，某中学八（4）班举行文艺晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO，

12、BO)，AO桌面上摆满了桔子，OB桌面上摆满了糖果，坐在C处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？A 。.B3、如图所示，在平面直角坐标系中，A（1，5），B（1，0），C（4，3）. 求出ABC的面积. (2)在图形中作出ABC关于y轴的对称图形A1B1C1.(4)写出点A1，B1，C1的坐标.4如图，A、B两村在一条小河的的同一侧，要在河边建一水厂向两村供水（1）若要使自来水厂到两村的距离相等，厂址应选在哪个位置？（2）若要使自来水厂到两村的输水管用料最省，厂址应选在哪个位置？请将上述两种情况下的自来水厂厂址标出。（不写做法，保留痕迹）

13、 .B A .5已知点M，N关于轴对称，求的值6如图，已知AD是线段BC的垂直平分线，且BD3cm，ABC的周长为20cm，求AC的长7、已知：E是AOB的平分线上一点，ECOA ，EDOB ，垂足分别为C、DDECBAO求证：（1）ECD=EDC ；（2）OE是CD的垂直平分线 轴对称 练习题一、填空题 1已知点P在线段AB的垂直平分线上，且PA=8cm，则PB=_。 2若一个三角形是轴对称图形，且有一个角是，则这个三角形是_三角形。 3已知三角形三个顶点的坐标依次为，若作此三角形关于轴对称的三角形，则所得的三角形的三个顶点坐标分别为 。AABCDO图2二、选择题 1如图2所示，是四边形AB

14、CD的对称轴，ADBC，现给出下列结论： ABCD；AB=BC；ABBC；AO=OC 其中正确的结论有（ ） A1个 B 2个 C 3个 D 4个2如图所示，这是出现在某种计数器上的一些数，其中不是轴对称图形的是（ ）ABCD3已知点P关于轴的对称点为，关于轴对称点为，那么点P的坐标为（ ） A B C D 三、作图题 4如图所示，是未完成的上海大众汽车的标志图案，该图案应该是以直线为对称轴的轴对称图形，现已完成对称轴右边的部分，请你补全标志图案，画出对称轴左边的部分。（要求尺规作图，保留痕迹，不写作法）四、解答题ADBC5如图所示，在ABC中，CD是AB上的中线，且DA=DB=DC。（1）已

15、知A=，求ACB的度数；（2）已知A=，求ACB的度数；（3）已知A=，求ACB的度数；（4）请你根据解题结果归纳出一个结论。6、如图，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分BAE.7、如图，已知在内， ， ，P ，Q分别在BC，CA上，并且AP，BQ分别是，的角平分线。求证：BQ+AQ=AB+BP8、 如图，在ABC的边上取两点D、E，且BD=CE，求证：AB+ACAD+AE.9、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O，求证：OE=OD10、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.