草地水量问题

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1、草地网球场水分干燥仿真模拟成都信息工程学院，成都）摘要本模型对网球场草地水分干燥过程进行模拟仿真。对降雨过程中以及降雨后草地中 的积水高度进行讨论，得到随时间变化的积水高度模型。本模型的建立涉及多方面自然 科学知识，故本文参考了气象气候学、工程地质学等多方面理论知识，同时查阅了网球 场的各项规格指标。本模型在建立过程中运用了道尔顿定律求水分蒸发率，同时，对不同地点不同温度 下的蒸发率做出讨论。另外，在水分渗透率的考虑中，使用达西定律。建立模型中，还 将人工干燥加入考虑，使得模型所得结果跟能贴近实际。模型采用递归的思想，将相关 联的各量进行了充分阐释。 关键字：网球场；水分干燥；仿真模拟；道尔顿

2、定律；达西定律一、问题重述网球已经成为当今世界主流运动之一，每年都有各种各样的世界级网球公开赛。伴 随着人们对网球的热爱，网球场地的发展也越来越受人们关注。草地网球场即为其中最 普遍的一种场地。网球比赛时间一般都比较长，在比赛过程中，经常会遇到天气突变，由开始的晴朗 阴天转而开始下雨。比赛也不得不因此中止，直到雨停。下雨停止以后，场地中还有积 水，比赛仍不能马上继续，虽配备有防水覆盖层，但效果不明显。雨后，草地变干仍需 靠水分渗透与蒸发，有时也辅以人工机械烘干，但为避免损伤草皮，最好让草地自然地 变干。这一干燥过程通过数学建模可以仿真模拟出来，并进而推算出雨后草地变干所需 时间。二、基本符号说

3、明与基本假设2.1 基本符号说明A ：分子扩散系数K ：渗透系数P ：大气压I ：水力梯度L ：渗透途径长度T ：绝对温度C ：摄氏温度R ：水汽的比气体常数Q ：凝结潜热M(t) ：t 时刻的积水量X(t)：t 时刻的蒸发量Y(t)：t 时刻的降水量Z(t)：t 时刻的渗透量H(t) ：t 时刻积水深度H ：水位差h ：球场内外高差E ：饱和水气压E0 :温度为0C时，纯水平面上的饱和水汽压 :水汽压x ：网球场长度y :网球场宽度S:网球场面积：蒸发速度U :渗透速度v :降雨速度t :时间t0 ：降水时间tn:干燥时间a机器干燥速度2.2 基本假设1. 假设突然开始下雨时草泥是干的2.

4、下雨过程中雨速不变3. 自下雨开始到草地变干的过程中，大气中的水汽压以及饱和水汽压不变4. 假设整个过程中，温度不变5. 假设网球场位置处的大气压为标准大气压且无风6. 假设所有降水都流到草泥表层，不在草的叶片上停留或聚集。三、模型建立3.1 模型分析草地网球场在雨后并不能马上投入使用，此时的场地中仍有较多积水，需等待其表 面充分干燥以后才能继续比赛。从降雨开始到充分干燥，这段时间主要靠草地中水分的 蒸发和渗透作用来减少水量。假设所有降水都流到草泥表层，不在草的叶片上停留或聚 集。那么，降雨的所有雨量蒸发、渗透直至积水量为零时，认为草坪的最上层已充分干 燥。蒸发是液体在任何温度下发生在液体表面

5、的一种缓慢的汽化现象。所以，整个过程 中，蒸发现象都存在。水分的蒸发速度受多个因子影响，其中包括赛场当地的气温，空 气湿度，饱和水汽压，大气压等。本模型中主要考虑水分的静态蒸发，而在现实中水分 的蒸发还存在动态形式，即为湍流蒸发。为简化模型，忽略风的影响，认为仅为静态蒸 发，从而使用道尔顿定律。在研究水分蒸发时，仅考虑空气的饱和水汽压、水汽压、大 气压以及分子扩散系数等因素。另外题目中并未给出具体的赛场地址，且同一地点的不 同季节，水汽压不同。为简化模型，所选的水汽压数据来自于全国各地的年平均值。而对于水分的渗透仿真，该模型考虑到其在土壤中的渗透也是涉及多个因子的影 响，这包括土壤本身的大部分

6、属性:土质、颗粒大小、孔间间隙、原本持水量等，其次 还有少部分影响来自于外界大气压。而题目中说道将刚开始下雨时草泥中的含水量设为 零，那么模型中也就没有考虑土壤原有持水量的影响。综合上述所有考虑，模型引用达 西定律的结果，掌握渗透速率与渗透系数、水力梯度之间的关系，对水分渗透这一过程 进行了仿真模拟。最后，在有些网球场地还配备了草地烘干机，这一设备对加速草地变干有着很大的 帮助作用，但是其对草地的伤害程度也比较大，处于保护草地、延草地期使用寿命的考 虑网球场地很少使用人工方式烘干草地。模型中将会对此做出科学合理的分析，对烘干 机的使用也会提出最适合的方案。3.2 蒸发因素自然界中蒸发现象是很复

7、杂的，不仅受制于气象条件，而且还受到地理环境的影响。 由道尔顿定律，在静止大气中，蒸发速度仅依赖于分子扩散，此时的水分蒸发的速 度ro由下述方程描述：A E &二AP此式表明，蒸发速度与饱和水气压E与水汽压s之差以及分子扩散系数A成正比，而与 大气压成反比。饱和水气压与温度有关。两者的关系可由克拉伯龙-克劳修斯（Clapeyron-Clausius） 方程来描述：dE _ QEdT RT 2式中 E 为饱和水汽压， T 为绝对温度， Q 为凝结潜热， R 为水汽的比气体常数。参考书籍文献中的资料，得到凝结潜热Q=2.5xlO6J/kg，水汽的比气体常数R=461J/kg。再由T=273+C,对

8、上式进行积分，得到关于摄氏温度C的饱和水汽压表达式如下， 从而达到简化的目的。199CE = E e 273+c0式中，E0=6.11hPa （为C=0C时，纯水面上的饱和水汽压）。根据 E0 的值，计算出不同温度下的饱和水汽压，见表 1。表1各种温度下的饱和水汽压（hPa）C(C)-20-15-10-50510计算值1.301.962.904.246.118.6912.2C(C)15202530354045计算值16.9323.2431.5642.4356.4974.5397.47由表中数据可知，随温度的升高，饱和水汽压也升高。并且不同温度下，饱和水气 压的差异较大。综合饱和水气压以及道尔顿

9、定律方程可得到水分蒸发速度ro如下：19.9Ce = aE0 e 273+c P由上式可知，网球场所在地不同，水分的蒸发速度不同。除分子扩散系数外，其余因素： 温度、水汽压、大气压随场地的地理位置以及季节的不同而有所差异。而对于某一确定 网球场，从局部阵雨开始至草坪的最上层充分干燥，由于时间相对比较短，可以忽略这 段时间的温度、大气压和水汽压的变化。则认为在整个过程中，即随时间 t 的推移，蒸 发速度不变。3.3 渗透因素水在土的孔隙中渗透流动的性能称为土的透水性。土的透水性能主要取决于土的孔 隙特征，不同类型土的孔隙大小、形状、孔隙的数量及连通情况不同，其透水性有各自 的规律。粗粒土由于颗粒

10、粗大，孔隙大且连通情况好，透水能力强；细粒土，特别是黏土， 由于孔隙小而数量多，且受结合水的影响，透水能力弱。在绝大多数情况下，水在土层中以层流形式运动，服从 Darcy 定律：砂类土u=KI粘性土u=K（I-I0）式中u为渗透速度；K为渗透系数，表征土的透水性；I为水力坡降；10为起始水力坡 降。透水系数K是水力梯度I为1时的渗透速度，因为I是无因次的，故K具有水流速 度u的单位（cm/s）,它是反映土透水性的一个重要指标。图 1 网球场场地床土设计图图 1 展示了网球场场地床土设计图，由图得知网球场是由生长层、透水层、隔水层 构成。生长层厚15cm，透水层厚20cm，隔水层厚15cm。由于

11、透水层是由粗砂和砾石构成，水的透水效果好，比生长层的渗透能力强。再加 上网球场只有在草地的最上层（也就是生长层）充分干以后，才能继续进行比赛，且生 长层的厚度已达15厘米，因此仅考虑生长层的透水对草地最上层的影响。 由于网球场 的草地属于砂质类土壤，所以渗透速度使用Darcy定律中的适用于砂类土的公式：u=KI。渗透系数K的变化范围值见表2 土的渗透系数参考值。表 2 渗透系数参考值土的类型渗透系数（cm/s）致密黏土10-7粉质黏土10-6 10-7粉土、裂隙黏土10-4 10-6粉砂、细砂10-3 10-4中砂10-1 10-3粗砂102 10-1水力坡度I等于水位差除以水平渗流距离，即I

12、=H/L。 因此，水的渗透速度u=KH/L。针对网球场的草地，渗透系数K假设取中砂的中间值5X10-2 cm/s；水位差H（t）是 积水深度加上球场内外高差h,其中降水的深度H(t)与时间t有关；在球场建设中，为 了便于排水，排水沟都有个坡度，一般为 2/1000。因为渗透作用发生在排水沟上面，所 以坡度与排水沟一样。假设球场边界距离排水沟为lm，则高差h=l(m)*2/1000=0.2cm； 由于只需要场地中的水全部渗透到场地外就可以比赛了，所以 L 可以是一个很短的距 离，这里设为 1cm。综上，渗透速率如下：KHu 二L3.4 模型建立草地网球场在比赛途中常会遇到因天气突然变化而不得不中

13、止比赛。在此之后，草 地水分的干燥就成了必须考虑的为问题之一。水分在草地中的干燥过程主要分两个途径进行，一是水分的蒸发，二是水分的渗透。 本模型中也主要考虑这两个因子。模型中所涉及的主要影响量与表征量主要有以下四个：草地积水量 M(t)、降雨量 Y(t)、水分蒸发量X(t)和水分渗透量Z(t)。它们四者的关系关系可由下式表示：M(t)= Y(t)-X(t)-Z(t)这当中草地积水量受后面三者影响，同时其含量的多少对水分的渗透也有直接的影 响。降水量是一个固定斜率的变量，在设定雨速一定的情况下，其变化值只与时间有关。 题设中所考虑的情况还有降雨停止以后，在那时降雨量已不再改变而变成一个常量。水

14、分蒸发量是一个受温度、空气湿度、饱和水汽压以及大气压影响的自然量。当周围环境 一定的情况下，水分蒸发量也变成了一个斜率一定的变量，很容易求算。水分在土壤中 的渗透速度是决定水分干燥过程效率的最大贡献因子。通过渗透作用消耗的积水量也是 水量减少中最大一部分。水分渗透量也是有多个因子共同影响，这其中也包括本身需要 求解的草地积水量还有土壤相关的各种属性。在这考虑到题设中的条件，本模型共仿真模拟了两个时段的水分干燥过程。一个是 下雨过程中存在的水分干燥，另一个是降雨停止以后的水分干燥过程。标准的网球场长x为23.77m，宽为10.97m，其面积S则为260.76m2。设草地积水 量为M(t)=SH(

15、t)，H(t)表示草地中t时刻的积水厚度；此时的降水量因为正处下雨当时， 所以其将表示成一个固定斜率的变量vtS,其中v表示降雨速度，为了方便计算，模型中 假设其为匀速；水分蒸发量与降雨量一样在此处也是一个固定斜率的变量tr，其中 是水分表面的蒸发速度，r表示积水表面一个水分子的厚度，即其直径，由于只为一 定时间内的蒸发面积，要得到蒸发量，即蒸发的水分体积，考虑到蒸发时只蒸发表面的 水分，故与水分子的直径与时间相乘，从而得到蒸发量；而水分渗透量因为其本身受草 地内积水量的影响，其表达式即为一个随时间变化的积分式S J Sdt，其中u是表示水分 0 在土壤中的渗透速率。综上，公式的讲解和变量的设

16、定，第一阶段的仿真模拟即降雨时的水分干燥过程表 达式为：M (t) = vtS - S Jt udt0这其中，假设降雨时间为10，那么还模型所使用的范围即是t 10。第二阶段的仿真模拟即是降雨停止以后，此时的模型与前一阶段大致一样。主要区别在于降雨停止，那么降水量也不再增加，另外公式中的时间t也将扩大到爲以后，其 表达式为：M (t) = vt S -otr - SIt udt0综合下雨过程及下雨过后两个模型，得到：M(t)= vtS- otr-sj t udtvt S- otr-00(t t )0题设中还提到使用草地吹风机可加速草地的干燥过程，只不过其对草地有损害作用，所以建议不常使用。本模

17、型将其设为一个辅助手段也予以了考虑。机械装置只有在雨停之后使用，假设使用时间是t,装置的干燥速度是c得到更 改后的模型如下：vtS - otr - sjt udt4.1 干燥过程模拟M(t)= 0vt S- otr - at -00(t t )0四、模型求解由于网球场的面积一定，使用积水深度来反映从降雨开始直至草坪最上层充分干燥的 整个过程 ， 比 使 用 积水 量 更 能直 观的 反应 积水 的 变 化。 于 是 将 蒸发速 度19.9Co = aE0eEC Y以及渗透速度U =罟带入上式中，得到模型如下:KH口19.9CoE e8vt - Atr 0 273 + C+ K h K JtH(

18、t)dtL L 0H(t+ A t)= PS口 19.9C oE e8vt - Atr 0 273 + C+ K h K JtH(t)dtoPSL L o(t t0)H(0)=0显然此模型是递归的，在降雨开始的一瞬间时间 t 为零，积水量也为零。之后，随 着时间t的推移，积水量也随之变化。当H(t)再次等于零时，说明积水量为零，即草坪 的最上层已充分干燥。此时的 t 就为从降雨开始直至草坪干燥的总时间。若只考虑从降雨结束到草坪干燥的过程，则得到模型如下：19.9C svt - Atr 0 273 + C+ K h - K J t H(t)dt(t t )0PSLL 00H(t+ A t)=H(

19、0) = 0由于时间t以降雨开始作为零点，故降雨之后草地自然变干的时间为tn=t-t0,模型 中的积水深度同样要通过递归的方法得到结果。由此模型可知，干燥的时间受到多个因子的影响，其中包括降雨速度及时间、温度、 饱和水气压、水汽压、大气压、渗透途径长度、球场内外高差等。若考虑使用草地吹风机，则模型如下：口 19.9C E e.0 273+ Cvt- AtrCPS-sKK+ L h - lT H(t)dt(t to)H(t+ A t)= to)vt -Atr - 273 + CGt + h FH(t)dt0PSL L 0、H（0） = 0机械装置对积水的蒸发起到关键性的作用，它是蒸发的主要动力因

20、子，所以使用机 械装置之后干燥时间会迅速减少，也可以尽快继续进行比赛。通常使用草地吹风机雨后 的干燥时间不超过半个小时。由于在重大比赛中出现下雨的情况比较少，为尽快继续比 赛，往往使用干燥装置。但由于这种方法对草坪伤害很大，而草坪的维护费用又很贵， 所以为了保护草坪和节省费用这种方法并不常用。4.2 恢复比赛时间预测由已知条件，局部阵雨，雨速不变，持续下了半小时，总雨量是 1.8厘米可知：降 雨的时间t0=30min,降雨速度为总降雨量与降雨时间之比，其值为0.06cm/min。通过查阅文献资料得知，分子扩散系数A在10-4-10-5m2/s之间，由于没有更确切的 界定，此处采用此区间的中间值

21、进行计算，故取A=5X10-5m2/s。忽略不同地点大气压 的差别，将各地气压都取为标准大气压，即P=1.01X105Pa。水分子的直径r=4X10-5m， E0=6.11hPa（为C=0C时，纯水面上的饱和水汽压），网球场的面积S=260.76 m2。另夕卜， =5X10-2 cm/s，h=0.2cm，L=1cm （K、L、h三个量的取值已在渗透因素的部分中讨论 了，此处不作解释）。由于不同地点不同季节处的温度、饱和水气压、水汽压差别较大， 因此分开进行讨论。先以北京地区为例，取常温下的温度20C作为研究条件，即C=20C。此温度下饱 和水气压E=23.24 hPa。北京所在地的年平均水汽压

22、 曰0.6hPa，由上述条件，将所有量 带入模型中，通过MATLAB （程序见附件）进行仿真模拟，得到t从0到104分钟，At=1min，即间隔为一分钟的积水量数据，如表3，一个时间t对应一个积水量H。表 3 时间 t 与积水高度 H 对照表时间t (min)012345678910积水高度H (cm)00.050.110.160.210.260.310.350.40.440.48时间t (min)1112131415161718192021积水高度H (cm)0.530.570.610.640.680.720.750.790.820.850.89时间t (min)22232425262728

23、29303132积水高度H (cm)0.920.950.9811.031.061.081.111.081.041.01时间t (min)3334353637383940414243积水高度H (cm)0.980.940.910.880.850.830.80.770.750.720.7时间t (min)4445464748495051525354积水高度H (cm)0.670.650.620.60.580.560.540.520.50.480.46时间t (min)5556575859606162636465积水高度H (cm)0.450.430.410.40.380.360.350.330.3

24、20.310.29时间t (min)6667686970717273747576积水高度H (cm)0.280.270.250.240.230.220.210.20.180.170.16时间t (min)7778798081828384858687积水高度H (cm)0.150.150.140.130.120.110.10.090.090.080.07时间t (min)8889909192939495969798积水高度H (cm)0.060.060.050.040.040.030.020.020.010.010时间t (min)99100101102103104105106107108109

25、积水高度H (cm)00000000000对照表 3 数据，当时间 t 为 98min 时积水量为 0，表明此时草坪最上层已充分干燥。 由于数据只取两位小数且时间间隔为 1 分钟比较长，存在误差。用 MATLAB 输出确切 值t=99.6min,对时间进行修正并做出积水量H与时间t之间的函数图像，如图2。由于 模拟的过程包含了降雨的时间段，故此种情况下从降雨结束至完全干燥的时间tn 为69.6min。EeH趙腿崇爬图 2 积水深度时间分布图讨论不同温度对此模型的影响。以北京为例，取10C到40C中的不同温度进行讨 论。不同温度下的饱和水气压不同，水汽压依然取北京地区的年平均水汽压，带入模型 中

26、，计算出结果后得到表 4。表4 j匕京地区不同温度下的干燥时间C(C)10152025303540饱和水汽压E (hPa)12.216.9323.2431.5642.4356.4974.53干燥时间tn (min)69.669.669.669.669.669.669.6由表 5 的数据可知，虽然温度差异比较大，使得饱和水气压的值比较大，但是蒸发 相对于渗透而言，蒸发量相对较少。另外，蒸发本来为一很小的量，饱和水气压的差距， 不足以对干燥时间造成影响。再对不同地点对此模型的影响进行讨论。此时，温度取常温，即C=20C。地点以 北京、上海、广州、西安、峨眉五地作为研究对象。各地的年平均水汽压见表

27、6。同样 将数据代入模型中，计算后得到各地的干燥时间如表 6。表 6 常温下不同地点的干燥时间地区北京上海广州西安峨眉年平均水汽压8(hPa)10.616.322.112.516.6干燥时间tn (min)69.669.669.669.669.6由表 6 中的数据可知，不同地点的年平均水汽压虽然不同，但差异较小，对干燥时 间的影响也可以忽略。综上所述，不同地点以及不同时间几乎对干燥时间没有影响。所以， tn=69.9min， 即网球场的干燥时间约为雨停后的 69.6 分钟。五、模型评价与改进本次建模是要求对草地网球场水分干燥过程进行仿真模拟。此模型需要有网球场方 面的相关的专业知识。在建模准备

28、初期，通过对大量资料的阅读和了解，我们对于网球 场的相关规格、场地要求以及建设标准都有大致的掌握。其中包括草地网球场的土壤类 别、土壤成分和其相关属性，这些都为后面模型的建立打下了坚实的理论知识基础。其次，从题设方面入手，题中提到仿真模拟过程中涉及到水分蒸发与水分渗透这些 自然变化现象。出于从现实角度考虑，水分蒸发与水分渗透都是受多个因子影响的变量。 对水分蒸发的考虑，模型根据气象学与气候学的相关专业知识引用了道尔顿定律，将水 分蒸发率简化为只受分子扩散系数、饱和水汽压、实时水汽压与大气压等的影响。另外， 模型分别讨论了不同地点不同温度下的干燥时间，在一定程度上基本能完全反映出水分 蒸发量随时

29、间的变化量。使而水分的渗透，其本身比水分蒸发要复杂，模型则是依据高 等工程地质学的相关理论，选用了达西定律对其进行描述。另外在实际建模过程中，我们充分依据事实建立，使得模型具有较强的实际模拟性 和现实操控性。在模型假设方面我们也尽量从实际出发，使模型的理论依据较为真实可 信。而模型所用数据方面，由于题设并未给出具体的场地地址与季节气候，我们所选数 据都是来自于全国各地年平均数值，这使得模型的结果展示会出现一定的误差。但在实 际应用中，模型中的各项数据都将依据草地网球场当地的各项指标进行采集，由此所生 成的结果也将更加准确。参考文献1尚岳全，王清，蒋军，孙红月，地质工程学，清华大学出版社，200

30、6年4月2 赵树德，廖红建，徐林荣，高等工程地质学，机械工业出版社，2006 年 9 月3 周淑贞，张如一，张超，气象学与气候学，高等教育出版社，2004年2月4 贾生海，苏德荣，康天福，草坪网球场灌溉及排水技术，节水灌溉，1998 年底 4 期5 代革联，对水力梯度的理解及其应用分析，西北地质，第 18 卷第 4 期，1997 年6 肖瑞龙，刘卫东，肖利军，蒋金海，网球场草坪的建值，经济林研究，2003年附件：A=l*60*10人-1*4*10人-8/(2377*1097);E=23.24;e=10.6;P=1.01*10A3;k=5*10A-2*60;w=A*(E-e)/P;a=0.06;t1=0.1;h=0;L=1;T=0;H=0;for t=1:t1:120;if t=30;a=0;endI=(1097/2+L)*log(1097/2+L)-L*log(L)-1097/2-log(L)*1097/2)*(h+0.2)/(2377*1097/8); v=k*I;h=h+(a-w-v)*t1;if h=0v1=0;v2=0;h=0;endH=H h;T=T t;t=t+1;endfigure;plot(T,H,-)title(北京),xlabel(时间 t(分钟),ylabel(积水深度 H(cm)