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1、分式竞赛专项训练1 分式的概念分母中具有字母的有理式叫做分式.分式的分母不能为零;只有当分式的分母不为零，而分式的分子为零时，分式的值为零.典型例题(1)当为什么值时，分式故意义?(2)当为什么值时，分式的值为零?解题方略(1) 要使分式故意义，应有分母不为零这个分式有两个分母和，它们都不为零，即且，于是当且时，分式故意义，(2) 要使分式的值为零，应有且，即且，于是当时，分式的值为零画龙点睛1. 要使分式故意义，分式的分母不能为零.2. 要使分式的值为零，应有分式的分母不为零，而分式的分子等于零，以上两条，缺一不可.举一反三1. (1)要使分式故意义的的取值范畴是( ) (A) (B) (
2、C) (D)(2)若分式的的值为零，则的值为( )(A) (B)或 (C) (D)2. (1)当 时，分式的值为零;(2) 当 时，分式3. 已知当时，分式无意义;当时，分式的值为零，求.融会贯穿4. 若，求值的范畴.2 分式的基本性质分式的基本性质是:分式的分子和分母都乘以或除以同一种不等于0的整式，分式的值不变.分式的基本运算，例如变化分子、分母或分式的符号以及通分、约分等，都要用到这个性质.本节重要解说它在解答某些分式计算综合题时的应用.典型例题若，求的值解题方略由于，因此将等式的左边分子、分母同步除以，得，因此有因此画龙点睛对于具有形式的分式，要注意如下的恒等变形:举一反三1. (1)
3、不变化分式的值，使分式的分子和分母的系数都化为整数;(2)不变化分式的值，使分式的分子和分母的最高次项系数是正数: 2. 已知，求的值.3. 已知，求的值.融会贯穿4. 已知，求的值.3 分式的四则运算 分式的四则运算和分数的四则运算是一致的，加减法的核心是通分和约分.综合运算时要遵循先乘除后加减，以及先做括号内的，再做括号以外的顺序.典型例题 计算：解题方略原式画龙点睛 在进行分式的四则运算时，要注意运算顺序.在化简时，因式分解是重要的恒等变形措施;在解答求值问题时，一般应当先化简分式，再将字母相应的值代入计算.举一反三1. 先化简，再求值：，其中.2. 计算： 3. (1)已知实数满足，求
4、的值 (2)已知、为实数，且，设，试比较、 的大小关系.融会贯穿4. 甲、乙两位采购员同去一家肥料公司购买两次肥料，两次肥料的价格有变化，两位采购员的购货方式也不同:甲每次购买800公斤;乙每次用去600元，而不管购买多少肥料.请问谁的购货方式更合算?4 分式的运算技巧裂项法我们懂得，多种分式的代数和可以合并成一种分式，如反过来，由右边到左边的计算往往可以使某些复杂的分式计算变得简捷常用的裂项有:，典型例题 已知，求、的值解题方略 由，可得，解得画龙点睛已知等式右边通分并运用同分母分式的减法法则计算，运用分式相等的条件求出、的值即可.举一反三1. 若在有关的恒等式中，为最简分式，且有，求，.2
5、. 化简：3. 计算：融会贯穿4. 已知，当时永远成立，求以、为三边长的四边形的第四边的取值范畴.5 具有几种相等分式问题的解法 有一类化简求值问题，已知条件中具有若干个相等的分式，其本质是几种比的比值相等的问题.解决此类问题常将这个相等的比用一种字母表达，从而将其转化为一种整式的问题来解决.典型例题 已知，且，求的值解题方略由得从而设，则，三式相加得，即，因此，或若，则，符合条件；若，则与题设矛盾，因此不成立因此画龙点睛1. 将相等的比用一种字母表达，是解决具有连等分式问题的常用解法.2. 在得到等式后.不要直接将等式的两边除以，由于此式也许等于0.3. 在求出值后.要注意验证，看与否与已知
6、条件矛盾.举一反三1. (1)已知，求值；(2)已知，求的值2. 若，求的值3. 已知实数、满足，并且，则直线一定通过( )(A)第一、二、三象限 (B)第一、二、四象限 (C)第二、三、四象限 (D)第一、三、四象限融会贯穿4. 已知，且，求的值6 整数指数幂一般地，当是正整数时，这就是说是的倒数.引入了负整数指数幂后，指数的取值范畴就推广到全体整数.典型例题 已知，求的值解题方略画龙点睛 将所求的代数式转化为以、为底的乘方，进而代入相应的值进行计算.举一反三1. 计算(1)(2)(3)2. 水与我们平常生活密不可分，科学家研究发现，一种水分子的质量大概是kg，8 g水中大概有多少个水分子?
7、通过进一步研究科学家又发现，一种水分子是由2个氢原子和一种氧原子构成的.已知一种氧原子的质量约为kg，求一种氢原子的质量.3. 已知，求(1)；(2)；(3)融会贯穿4. 如图，点、在数轴上表达的数分别是0、0. 1.将线段(提成100等份，其分点由左向右依次为、，;再将线提成100等份，其分点由左向右依次为、，;继续将线段提成100等份，其分点由左向右依次为、，.则点所示的数用科学记数法表达为 7 分式方程的解法 分母中具有未知数的方程是分式方程.一般我们采用去分母的措施，将其变形为整式方程来解答.典型例题 解方程解题方略解法一 去分母，得因此验根知为原方程的解.解法二 方程两边加1，得即因
8、此解得验根知为原方程的解.解法三 原式可化为因此如下同解法二画龙点睛1. 一般我们采用去分母的措施来解分式方程，先将其变形为整式方程，再用解整式方程的措施来解答.2. 除了用去分母的措施来解分式方程外，采用部分分式的措施，即将分式分解为一种整式和一种分式之和，这样可以使解方程的过程变得简朴.3. 解完分式方程后，要进行检查，这是一种必不可少的环节.由于在去分母时容易产生增根.举一反三1. (1)解方程 (2)解方程 2. (1)解方程 (2)解方程3. 若解方程是会有增根，求它的增根融会贯穿4. 已知方程 (是常数，)的解是或，求方程 (是常数，且)的解.8 列分式方程解应用题和整式中的一元一
9、次方程同样，列分式方程所解的应用题也涉及工程问题、行程问题、经济问题等，本节简介列分式方程解应用问题的措施.典型例题某市今年1月1日起调节居民用水价格，每立方米水费上涨25%，小明家去年12月份水费是18元，而今年5月份的水费是36元，已知小明家今年5月份的用水量比去年12月多6立方米，求该市今年居民用水的价格.解题方略设该市去年居民用水价格为元/m3，则今年用水价格为元/m3.根据题意得:，解得：经检查：是原方程的解.因此因此该市今年居民用水的价格为2. 25元/m3.画龙点睛列分式方程解应用题的环节与列一元一次方程解应用题环节基本上是一致的:审查题意，设未知数;找出等量关系，列出方程;解分
10、式方程并验根;写出答案.举一反三1. 某服装厂准备加工300套表演服，加工60套后，采用了新技术，使每天的工作效率是本来的2倍，成果共用了9天完毕任务，请问:该厂本来每天加工多少套表演服?2. 便民服装店的老板在株洲看到一种夏季衫，就用8000元购进若干件，以每件58元的价格发售，不久售完.又用17 600元购进同种衬衫，数量是第一次的2倍，每件进价比第一次贵了4元，服装店仍按每件58元发售，所有售完.问该服装店这笔生意共赚钱多少元?3. 从甲地到乙地共50 km，其中开始的10 km是平路，中间的20 km是上坡路，余下的20 km又是平路，小明骑自行车从甲地出发，通过2小时10分钟达到甲、
11、乙两地的中点，再通过1小时50分钟达到乙地，求小明在平路上的速度(假设小明在平路上和上坡路上保持匀速).融会贯穿4. 某工程队(有甲、乙两组)承包一项工程，规定若干天内完毕. (1)已知甲组单独完毕这项工程所需时间比规定期间多30天，乙组单独完毕这项工程所需时间比规定期间多12天，如果甲乙两组先合做20天，剩余的由甲组单独做，正好按规定的时间完毕，那么规定的时间是多少天? (2)实际工作中，甲乙两组合做完毕这项工程的后，工程队又承包了新工程，需要抽调一组过去，从准时完毕任务考虑，你觉得留下哪一组更好?阐明理由.参照答案1 分式的概念1. (1)B (2) C2. (1) (2) 或3. 64.
12、 2分式的基本性质1. (1)(2)2. 由已知，得，因此原式3.4. 将分子和分母同步除以，得3 分式的四则运算1.当时，原式2.3. (1) 由知因此原式(2) 因此4. 设两次购买肥料的单价分别为元/公斤和元/公斤(、为正数，且)，则甲两次购买肥料的平均单价为： (元/公斤).乙两次购买肥料的平均单价为： (元/公斤).由于，又，因此因此甲的平均单价比乙的高，因此乙的购货方式更合算某些4 分式的运算技巧裂项法1.且，因此，从而可得，2. 原式3. 原式4. 由于因此因此，解得，因此四边形的第四边的取值范畴应满足，解得5 具有几种相等分式问题的解法1. (1)设，则(2)设则解得2. 设则
13、因此，得当时，原式当时，原式3.于是由于因此直线的图象通过第一、三、四象限故选择D4. 设，故因此又 因此6 整数指数幂1. (1)(2)(3)2. 个 kg3. (1)由于，且 因此因此(2) (3)4. 表达的数为 表达的数为 表达的数为7 分式方程的解法1. (1)原方程分母因式分解为去分母得解得检查知为原方程的根(2) 原方程式变形为整顿得解得检查知为原方程的根2. (1) 原方程分母因式分解为去分母得解得检查知为原方程的根(2)原方程化为解得检查把代入最简公分母，因此是原方程的根3. 去分母，得如果增根为，则，如果增根为，则，无解，因此4. 将方程整顿得因此，或故或8 列分式方程解应
14、用题1. 设服装厂本来每天加工套表演服.根据题意，得解得经检查是原方程的根.2. 设原进价为元一件，则第二次进价为元一件，依题意得解得经检查是原方程的根服装店这笔生意第一次购进件，第二次购进件，服装店这笔生意共赚钱(元).3. 设小明在平路上的速度是 km/h，根据题意，得，解得经检查是原方程的根，且符合题意.4. (1)设规定的时间是天，则甲单独完毕需要天，乙单独完毕需要，由题意，得，解得经检查是原方程的根，因此规定的时间是24天;(2)由题意，由于规定期间是24天，因此甲单独完毕需要(天)，乙单独完毕需要(天).留下甲完毕需要的时间是: ，不能在规定期间完毕任务;留下乙完毕需要的时间是: 能在规定期间完毕任务.因此留下乙组好.
初中数学竞赛指导分式竞赛专题训练含答案
