二次函数应用(分段函数)

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1、 二次函数的应用二次函数的应用-分段函数分段函数 二次函数的应用关键在于建立二次函数的二次函数的应用关键在于建立二次函数的数学模型，这就需要认真审题，理解题意，数学模型，这就需要认真审题，理解题意，利用二次函数解决实际问题，应用最多的是利用二次函数解决实际问题，应用最多的是根据二次函数的最值确定最大利润、最节省根据二次函数的最值确定最大利润、最节省方案等问题方案等问题1.1.（20122012湖北黄湖北黄冈冈1212分）分）某科技开某科技开发发公司研制出一种新型公司研制出一种新型产产品，每件品，每件产产品的成品的成本本为为2400 2400 元，元，销销售售单单价定价定为为3000 3000

2、元在元在该产该产品的品的试销试销期期间间，为为了促了促销销，鼓励商，鼓励商家家购买该购买该新型新型产产品，公司决定商家一次品，公司决定商家一次购买这购买这种新型种新型产产品不超品不超过过10 10 件件时时，每件，每件按按3000 3000 元元销销售；若一次售；若一次购买该购买该种种产产品超品超过过10 10 件件时时，每多，每多购买购买一件，所一件，所购买购买的全的全部部产产品的品的销销售售单单价均降低价均降低10 10 元，但元，但销销售售单单价均不低于价均不低于2600 2600 元元(1)(1)商家一次商家一次购买这购买这种种产产品多少件品多少件时时，销销售售单单价恰好价恰好为为26

3、00 2600 元元?(2)(2)设设商家一次商家一次购买这购买这种种产产品品x x 件，开件，开发发公司所公司所获获的利的利润为润为y y 元，求元，求y y(元元)与与x x(件件)之之间间的函数关系式，并写出自的函数关系式，并写出自变变量量x x 的取的取值值范范围围(3)(3)该该公司的公司的销销售人售人员发现员发现：当商家一次：当商家一次购买产购买产品的件数超品的件数超过过某一数量某一数量时时，会出，会出现现随着一次随着一次购买购买的数量的增多，公司所的数量的增多，公司所获获的利的利润润反而减少反而减少这这一情况一情况.为为使商家一使商家一次次购买购买的数量越多，公司所的数量越多，公

4、司所获获的利的利润润越大，公司越大，公司应应将最低将最低销销售售单单价价调调整整为为多少多少元元?(?(其它其它销销售条件不售条件不变变)2 2、(_(_年黄冈调研年黄冈调研 本题满分本题满分1212分分)某公司生产一种健身自行车在市场上受某公司生产一种健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部出售，该公到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部出售，该公司的年生产能力为司的年生产能力为1010万辆，在国内市场每辆的利润万辆，在国内市场每辆的利润y1(y1(元元)与其销量与其销量x(x(万辆万辆)的的关系如图所示；在国外市场每辆的利润关系如图所示

5、；在国外市场每辆的利润y2(y2(元元)与其销量与其销量x(x(万辆万辆)的关系为：的关系为：230320(06)180(610)xxyx (1)(1)求国内市场的销售总利润求国内市场的销售总利润z z1 1(万元万元)与其销量与其销量x(x(万辆万辆)之间的函数关系式，并指出自变量的取值范之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围围 (2)(2)求国外市场的销售总利润求国外市场的销售总利润z z2 2(万元万元)与国内市场与国内市场的销量的销量x(x(万辆万辆)之间的函数关系式，并指出自变量的之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围取值范围 (3)(3)求该公司每年的总利润求该公司每年的总利润

6、w(w(万元万元)与国内市场的与国内市场的销量销量x(x(万辆万辆)之间的函数关系式之间的函数关系式?并帮助该公司确定并帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少万辆时，该公司的国内、国外市场的销量各为多少万辆时，该公司的年利润最大年利润最大?x（万盒）0604050100跟跟 踪踪 练练 习习2.2.（_年山东省菏泽市）我市一家电子计算器专卖店每只进价年山东省菏泽市）我市一家电子计算器专卖店每只进价1313元，元，售价售价2020元，多买优惠元，多买优惠 ；凡是一次买；凡是一次买1010只以上的，每多买只以上的，每多买1 1只，所买的全只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买部计算器每

7、只就降低元，例如，某人买2020只计算器，于是每只降价只计算器，于是每只降价0.100.10(20-10)=1(20-10)=1(元元),),因此，所买的全部因此，所买的全部2020只计算器都按照每只只计算器都按照每只1919元计元计算，但是最低价为每只算，但是最低价为每只1616元元.(1).(1).求一次至少买多少只，才能以最低价购买？求一次至少买多少只，才能以最低价购买？(2).(2).写出该专卖店当一次销售写出该专卖店当一次销售x(x(时，所获利润时，所获利润y(y(元元)与与x(x(只只)之间的函数之间的函数关系式，并写出自变量关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3

8、3）若店主一次卖的只数在）若店主一次卖的只数在1010至至5050只之间，问一次卖多少只获得的利润只之间，问一次卖多少只获得的利润最大？其最大利润为多少？最大？其最大利润为多少？1 1一家计算机专买店一家计算机专买店A A型计算器每只进价型计算器每只进价1212元，售价元，售价2020元，多买优惠：凡是一次元，多买优惠：凡是一次买买1010只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买只以上的，每多买一只，所买的全部计算器每只就降低元，例如，某人买2020只计算器，于是每只降价只计算器，于是每只降价0.100.10（20-1020-10）1 1（元），因此，所买的全部（元），

9、因此，所买的全部2020只计只计算器都按每只算器都按每只1919元的价格购买但是最低价为每只元的价格购买但是最低价为每只1616元元（1 1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？（2 2）写出专买店当一次销售）写出专买店当一次销售x x（x x1010）只时，所获利润）只时，所获利润y y元）与元）与x x（只）之间的（只）之间的函数关系式，并写出自变量函数关系式，并写出自变量x x的取值范围；的取值范围；（3 3）一天，甲买了）一天，甲买了4646只，乙买了只，乙买了5050只，店主却发现卖只，店主却发现卖4646只赚的钱反而比卖只赚的钱反而比卖50

10、50只只赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠赚的钱多，你能用数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只条件不变的情况下，店家应把最低价每只1616元至少提高到多少？元至少提高到多少？3.3.（20102010辽宁）某服装厂批发应季辽宁）某服装厂批发应季T T恤衫，其单价恤衫，其单价y(y(元元)与批发数量与批发数量x x（件）件）(x(x为正整数为正整数)之间的函数关系如图所示之间的函数关系如图所示.(1)(1)直接写出直接写出y y与与x x的函数关系式；的函数关系式；(2)(2)一个批发商一次购进一个批发商一

11、次购进200200件件T T恤衫，所花的钱数是多少元？恤衫，所花的钱数是多少元？(其他费用其他费用不计不计)；(3)(3)若每件若每件T T恤衫的成本价是恤衫的成本价是4545元，当元，当10O10OX500X500件件 (x(x为正整数为正整数)时时，求服装厂所获利润，求服装厂所获利润w(w(元元)与与x(x(件件)之间的函数关系式，并求一次批发多之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大少件时所获利润最大,最大利润是多少？最大利润是多少？364月2040（台）12月（第4题图）7 7(2007(2007黄冈黄冈本题满分本题满分1111分分)我市高新技术开发区的某公司，用我市高新技术

12、开发区的某公司，用480480万元购万元购得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金得某种产品的生产技术后，并进一步投入资金15201520万元购买生产设备，进万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费4040元元.经过市场经过市场调研发现：该产品的销售单价，需定在调研发现：该产品的销售单价，需定在100100元到元到300300元之间较为合理元之间较为合理.当销当销售单价定为售单价定为100100元时，年销售量为元时，年销售量为2020万件；当销售单价超过万件；当销售单价超过100100元，但不超元，但不超过过200

13、200元时，每件新产品的销售价格每增加元时，每件新产品的销售价格每增加1010元，年销售量将减少万件；元，年销售量将减少万件；当销售单价超过当销售单价超过200200元，但不超过元，但不超过300300元时，每件产品的销售价格每增加元时，每件产品的销售价格每增加1010元，年销售量将减少元，年销售量将减少1 1万件万件.设销售单价为设销售单价为x x（元），年销售量为（元），年销售量为y y（万件）（万件），年获利为，年获利为w w（万元）（万元）.（年获利（年获利=年销售额年销售额生产成本生产成本投资成本）投资成本）（1 1）直接写出）直接写出y y与与x x之间的函数关系式；之间的函数关系

14、式；（2 2）求第一年的年获利）求第一年的年获利w w与与x x间的函数关系式，并说明投资的第一年，该间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少公司是盈利还是亏损？若盈利，最大利润是多少（3 3）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏）若该公司希望到第二年底，除去第一年的最大盈利（或最小亏损）后，两年的总盈利不低于损）后，两年的总盈利不低于18421842元，请你确定此时销售单价的范元，请你确定此时销售单价的范围围.在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？在此情况下，要使产品销售量最大，销售单价应定为多少元？若亏损，最少亏损是

15、多少？若亏损，最少亏损是多少？解：（解：（1 1）这个显然是一个分段函数，）这个显然是一个分段函数，y=-0.08x+28 y=-0.08x+28 （100 x100 x200200）y=-0.1x+32y=-0.1x+32，（200 x300 200 x300）（2 2）投资成本为）投资成本为480+1520=2000480+1520=2000万元万元 y=-0.08x+28y=-0.08x+28，（100 x100 x200 200）w=xy-40y-2000=w=xy-40y-2000=（x-40 x-40）（）（-0.08x+28-0.08x+28）2 2（x-195x-195）2 2

16、-78 78 可见第一年在可见第一年在100 x100 x200200注定亏损，注定亏损，x=195x=195时亏损最少，为时亏损最少，为7878万元万元 y=-0.1x+32y=-0.1x+32，(200 x300)(200 x300)w=xy-40y-2000=w=xy-40y-2000=（x-40 x-40）（）（-0.1x+32-0.1x+32）2 2（x-180 x-180）2 2-40 40 可见第一年在可见第一年在200 x300200 x300注定亏损，注定亏损，x=200 x=200时亏损最少，为时亏损最少，为8080万元万元 综上可见，综上可见，x=195x=195时亏损最

17、少，为时亏损最少，为7878万元万元（3 3）两年的总盈利不低于）两年的总盈利不低于18421842元，可见第二年至元，可见第二年至少要盈利少要盈利1842+78=19201842+78=1920万元，既然两年一块算，万元，既然两年一块算，第二年我们就不用算投资成本那第二年我们就不用算投资成本那20002000万元了万元了第二年：第二年：1 100 x20000 x200时时第二年盈利（第二年盈利（x-195x-195）2 2+19221920+19221920解不等式得到：解不等式得到：190 x200190 x200 200 x300 200 x300时时第二年盈利（第二年盈利（x-180 x-180）2 2+19601920+19601920 解不等式得到：解不等式得到：160 x200160 x200，联合联合200 x300200 x300，也就只有，也就只有x=200 x=200 综上有综上有190 x200190 x200为解为解这时候再看这时候再看y=-0.08x+28y=-0.08x+28，可见，可见x=190 x=190时，时，y y最大，为最大，为12.812.8所以定价所以定价190190元时候，销售量最大元时候，销售量最大