(完整)随机过程试题及解答

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1、2016随机过程(A)解答1、(15分)设随机过程X(t)二U -1 + V , t g (0o), U , V是相互独立服从正态分布N(2,9)的随机变量。1) 求X(t)的一维概率密度函数；2) 求 X ( t )的均值函数、相关函数和协方差函数。3) 求X(t)的二维概率密度函数；解:由于U , V是相互独立服从正态分布N(2,9)的随机变量，所以X(t)二U -1 + V也服从正态分布，且：m(t) = E X (t)= E U -1 + V = t - E u + E v = 2t + 2D(t) = D X (t ) = D U -1 + V = 12 D U + D V = 9t

2、 2 + 9(x2t2故: (1)2)X(t)的一维概率密度函数为：f (x)- e 18(t2 +1) , x t 3莎 7 2 + 1X(t)的均值函数为：m(t) 2t + 2 ;相关函数为：R(s, t) = E X (s) - X (t )= E (U - s + V) - (U -1 + V)st - E 2+ (s +1) - E U-V + E V 2st 13 + (s +1) 4 +13协方差函数为：B(s,t) R(s,t) 一m(s) -m(t) 9st + 9 3)相关系数:P = P (s, t) B( s, t)9st + 9st +1D(s)飞:DWv9s2 +

3、 9 9t2 + 9s2 +1 X(t)的二维概率密度函数为：f (x ,x ) s ,t 12118兀 * s 2 +1 、: 12 +1 、： 1 p 2(x 一2s2)2 2 p ( x 一2s-2)(匚 一2t2) ( 2t2)2 1 一1 * 一 、(2+ 2讥 2(1P 2)|_ 9( s2 +1)9J2 +1 阴 2 +14( t2 +1)2、(12分)某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人,在12时顾客的平均到达率线性增 长到最高峰每小时80人，从1 2时到1 5时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在1 0 ： 001 4 ： 00 之间无顾客到达商店的概率

4、是多少？在 10:0014：00 之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多 少？解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。将8时至15 时平移到07时，则顾客的到达速率函数为：4 + 19t, 0 t 4 九(t) 80,4 t 7在10： 0014：00之间到达商店顾客数X-X服从泊松分布，其均值:m(6) m(2) f X (t )dt f (4 + 19t )dt + f 80dt 282224在 10：0014：00 之间无顾客到达商店的概率为：P xX0 (282)0 - e-282 e-2820!在 10：0014：00 之间到达商店顾客数的数学期望和方差相等，均为：m(6) - m(

5、2)二 2823、(13 分)设移民到某地区定居的户数是一个泊松过程,平均每周有 8户定居，如果一户 4人的概率为 0.2， 如果一户 3 人的概率为0.3，一户2 人的概率为0.3，一户1 人的概率为0。2,并且每户的人口数是相互 独立的随机变量，求在8 周内移民到该地区人口数的数学期望与方差。解：已知移民到某地区定居的户数N(t)是一个强度九二8的泊松过程，第i户的人口数Y (i二1,2,)是相互i独立同分布的随机变量，在t周内移民到该地区人口数：Y11234X(t)=弋丫是一个复合泊松过程，Y的分布为：-门 iiP|0.2 0.3 0.3 0.2EY 二 2.5EY2 二 7.3由公式：

6、E(X(t)=XtEY,D(X(t)=ltEY2可得在 5周内移民到该地区人口数的数学期望与方差为:E(X (5) = 8 x 8 x 2.5 = 160,D(X (5) = 8 x 8 x 7.3 = 467.24、(15分)设马尔可夫链的转移概率矩阵为：0.2 0.3 0.5、P = 0.1 0.5 0.40.6 0.2 0.2丿(1) 求马尔可夫链的平稳分布及各状态的平均返回时间.(2)求两步转移概率矩阵P及当零时刻初始分布为：PX =1=0.2, PX = 2=0.2, PX =3=0.6, 0 0 0 时，经两步转移后的绝对分布。1)解： 此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在

7、平稳分布兀T = 兀,兀,兀满足:123兀=0.2 兀 + 0.1兀 + 0.6 兀1123兀=0.3 兀 + 0.5 兀 + 0.2 兀21231=13兀=0.5 兀 + 0.4 兀 + 0.2 兀3兀+兀+兀13234解得：兀=,兀 =一110321033234故平稳分布兀T = 323437兀=310337110311031103各状态的平均返回时间：H =H =1兀1322兀2343兀3370.20.30.50.20.30.50.370.310.32(1) P =P P =0.10.50.40.10.50.4=0.310.360.33、0.60.20.2丿、0.60.20.2丿、0.2

8、60.320.42103103103丿已知初始分布： PT (0) = (0.20.2 0.6)，所以经两步转移后的绝对分布为：0.370.31 0.32、PT (2) = Pt (0) P=(0.20.2 0.6) 0.310.360.33 = (0.2920.3260.382)0.26 0.32 0.42 丿（完整）随机过程试题及解答5、（10 分）假定在路口只有红、绿灯（没有黄灯），开车时这个路口如果红灯则下个路口仍红灯的概 率为 0.1，而如果这个路口绿灯则下个路口仍绿灯的概率为 0.6，试求路口遇红灯的极限概率,以及红 灯和绿灯状态的平均返回时间。解：设红灯为状态1,绿灯为状态2,可

9、以求出其转移概率矩阵为：P二(0.1 0.9 0.4 0.6 丿兀二 0.1兀 + 0.4 兀1 1 2 兀二 0.9兀 + 0.6兀2 1兀+兀 =11路口遇红灯的极限概率为兀_ 41 _ 13此马尔科夫链为非周期、不可约、有限状态，存在平稳分布兀T二兀,兀满足:1249解得：兀_,兀_一11321349故平稳分布兀T _13 13红灯和绿灯状态的平均返回时间：13_ 132 兀 926、（15分）设马尔可夫链的状态空间I二123,4,5，转移概率矩阵为:(0.00.30.10.2P_0.00.00.00.4、0.00.00.0 0.7 0.0、0.3 0.2 0.20.4 0.0 0.60

10、.0 0.6 0.00.2 0.0 0.8丿（1）试对状态进行分类,并说明各状态的类型；（2）求各常返闭集的平稳分布，及各状态的平均返回时间。解：马尔可夫链的状态空间I _123,4,5可以分解为C _ 1,2,4和C _ 3,5的并。其中C为非常返状态; 1 2 1C 为不可约、非周期、正常返闭集,从而存在平稳分布。2对于C _3,5，转移概率矩阵为:2(0.4 0.6、0.2 0.8丿其平稳分布满足:兀 _ 0.4兀 + 0.2k335 兀 _ 0.6兀 + 0.8兀535K +K _ 135解得：兀_ 1,兀_ 3345413故C2 = 3,5的平稳分布“T = ，0,4,0,4各常返状

11、态的平均返回时间：卩=丄=4,卩3 兀37、(10分)一质点在1, 2, 3点上作随机游动。若在时刻t质点位于这三个点之一，则在t,t + h)内，它都以概率5h + o(h)分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率p (t) ij及平稳分布。解:质点随机游动t时刻的位置X (t)是一个马尔科夫过程，其状态空间：I = 1,2,3, p ( h )5h + o (h)Q 矩阵元素为：q = lim j = lim= 5, (i 丰 j)ij hT0 hhT0hq =-(q +q ) =-10，(其中约定状态：0=3，4=1)ii(-1055即:i ,i-15-1

12、05i,i+15 5-10丿柯尔莫哥洛夫向前微分方程为：p (t) = 5(p(t) + p(t) -10p (t)i, ji, j-1i, j +1i, j由于： p (t)+ p (t)+ p(t) =1i, j -1i , ji, j +1i, ji , j解此一阶线性微分方程得：i , jp (t) = C e-15t + ,C 为待定常数. i, j3得到： p (t) =5(1- p (t)-10p (t) =-15p (t)+5i , j1一3又因：p (0)=r 丰j1,i丰j313i,j1, i = j1 e-15t + 故转移概率p (t)为：p (t)=i ji , j3

13、2 e-15t +, i = 13 31平稳分布为：兀=lim p (t) = ,(j = 1,2,3)j t * 门 38、(10分)设随机过程X(t) = sin2(t + 0), -g t v+s，其中0是服从区间0,兀上的均匀分布的随机变 量。试回答：X(t)是否为(宽)平稳过程?研究X的均值函数和相关函数是否具有各态历经性。解:E X (t )= E sin2(t + 0)卩11=J 一sin2(t + 0)d0 = 兀20Ex(t)-X(t-T)= E sin2(t + 0)-sin2(t-t +0)=1 + lcos(2T)4 8兀1J 一sin2(t + 0) sin2(t-T +0)d0冗0故所以，X(t)是(宽)平稳过程.(X (t) = li m 丄 f sin2 (t + 0)dt 二1f2tT2故 X (t) 的均值函数具有各态历经性.(x (t)- x (t-t) = l.i m 丄 fT s_tsin2(t + 0)sin 2(t _t + 0)dtT T8_t故 X (t) 的相关函数具有各态历经性.