二阶变系数线性微分方程的一些解法

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1、第九节 二阶变系数线性微分方程的某些解法常系数线性齐次方程和某些特殊自由项的常系数线性非齐次方程的解法已在第七节中简介，而对于变系数线性方程，规定其解一般是很困难的。本节简介解决此类方程的二种措施9.1 降阶法在第五节中我们运用变量替代法使方程降阶，从而求得方程的解，这种措施也可用于二阶变系数线性方程的求解。考虑二阶线性齐次方程 p(x) q(x)y0 (9.1)设已知其一种非零特解y，作变量替代，令 yuy1 (9.2)其中uu(x)为未知函数，求导数有 y1u求二阶导数有y12u代入(9.1)式得 y1（2p(x)y1）(p(x) q(x)y1)u0 (9.3)这是一种有关u的二阶线性齐次

2、方程，各项系数是x的已知函数，由于y1是(9.1)的解，因此其中 p(x) q(x)y10故(9.3)式化为 y1(2p(x)y1) 0再作变量替代，令z得 y1(2p(x)y1)z0分离变量 dzp(x)dx两边积分，得其通解 zep(x)dx 其中C2为任意常数积分得uC2ep(x)dxdxC1代回原变量得(9.1)的通解 yy1CC2ep(x)dxdx此式称为二阶线性方程的刘维尔(Liouville)公式。综上所述，对于二阶线性齐次方程，若已知其一种非零特解，作二次变换，即作变换yy1zdx可将其降为一阶线性齐次方程，从而求得通解。对于二阶线性非齐次方程，若已知其相应的齐次方程的一种特解

3、，用同样的变换，由于这种变换并不影响方程的右端，因此也能使非齐次方程减少一阶。例1. 已知y是方程y0的一种解，试求方程的通解解 作变换 yy1zdx则有 y1zzdxy12zzdx代入原方程，并注意到y1是原方程的解，有 y1(2)z0即 ctanxz积分得 z于是 y y1zdxdxC2 (C1ctanxC2) (C2sinxC1cosx)这就是原方程的通解。9.2 常数变易法在第三节求一阶线性非齐方程通解时，我们曾对其相应的齐次方程的通解，运用常数变易法求得非齐次方程的通解。对于二阶线性非齐次方程 p(x) p(x)yf(x) (9.4)其中p(x),q(x)，f(x)在某区间上持续，如

4、果其相应的齐次方程 p(x) q(x)y0的通解 yC1yCy2已经求得。那么也可通过如下的常数变易法求得非齐次方程的通解。设非齐次方程(9.4)具有形式 u1y1uy2 (9.5)的特解，其中u1u1(x)，u2u(x)是两个待定函数，对求导数得 u1y1u2y2y1uy2u2由于用(9.5)代入(9.4)，可拟定u1，u2的一种方程，为了同步拟定这两个函数，还须添加一种条件，为计算以便，我们补充一种条件：yuy2u20这样 u1y1u2y2u1y1u2y2u1y1u2y2代入方程(9.3)，并注意到y1，y2是齐次方程的解，整顿得 uy1uyf(x)与补充条件联列得方程组由于y1，y2线性

5、无关，即常数，因此()0设w(x)y1y2y2y1，则有w(x)0因此上述方程组有唯一解。解得 积分并取其一种原函数得 u1dx udx则所求特解为 y1dxy2dx所求方程的通解 yYC1y1C2y2y1dxy2dx上述求特解的措施也合用于常系数非齐次方程情形。例1. 求方程x的通解解 先求相应的齐次方程 0的通解，由 d()dx得 lnlnxlnC即 Cx得通解yC1x2C2因此相应齐次方程的两个线性无关的特解是x2和1。为求非齐次方程的一种解将C1，C2换成待定函数u1，u2，且u1，u2满足下列方程 解上述方程得 u1 u2x2积分并取其一原函数得 u1x，u2于是原方程的一种特解为

6、u1x2u21从而原方程的通解为 yC1x2C2第十节 数学建模(二)微分方程在几何、物理中的应用举例一、镭的衰变例1. 镭、铀等放射性元素因不断地放出多种射线而逐渐减少其质量，称为放射性物的衰变。由实验得知，衰变速度与现存物质的质量成正比，求放射性元素在时刻t的质量。解 用x表达该放射性物质在时刻t的现存物质，则表达x在时刻t的衰变速度，于是“衰变速度与现存质量成正比”可表达为kx这是一种以x为未知函数的一阶方程，它就是放射性元素衰变的数学模型。其中k0是比例常数，称为衰变常数，因元素的不同而异。方程右端的负号表达当时间t增长时，质量x减少，即t0时，0。解这个方程得通解 xCekt若已知当

7、tt0时，xx0，即xx0代入方程可得 Cx0e得特解 xx0e它反映了某种放射性元素衰变的规律。二、正交轨线已知曲线族方程F(x,y,C)，其中涉及了一种参数C，当C固定期就得到一条曲线，当C变化就得整族曲线，称为单参数曲线族。例如yCx2为一抛物线族。图6-3 如果存在另一族曲线G(x,y,C)0，其每一条曲线都与曲线族F(x,y,C)0的每条曲线垂直相交，即不同族中的曲线在交点处的切线互相垂直。则称G(x,y,C)0为F(x,y，C)0的正交轨线。将曲线族方程F(x,y,C)0对x求导与F(x,y,C)0联列并消去常数C，得曲线族上任一点的坐标(x,y)和曲线在该点的斜率y所满足的微分方

8、程 f(x,y,y)0这就是曲线族F(x,y,C)0所满足的微分方程。由于正交轨线过点(x,y)，且在该点与曲线族中过该点的曲线垂直，故正交轨线在点(x,y)处的斜率 k于是可知曲线族F(x,y,C)0的正交轨线满足方程 f(x,y,)0这是正交轨线的数学模型，其积分曲线族(通解)，就是所规定的正交轨线。例2 求抛物线族yCx2的正交轨线。解 对yCx2有关x求导，得y2Cx与原方程联列 消去C图6-4 得微分方程 y将代入y得所求抛物线的正交轨线微分方程 即 ydydx积分得 C2即抛物线族 yCx2的正交轨线是一种椭圆族，如图6-4。三、追迹问题例3. 开始时，甲、乙水平距离为1单位，乙从

9、A点沿垂直于OA的直线以等速v0向正比行走；甲从乙的左侧O点出发，始终对准乙以nv0(n1)的速度追赶，求追迹曲线方程，并问乙行多远时，被甲追到。 图6-5解 如图6-5建立坐标系，设所求追迹曲线方程为 yy(x)通过时刻t，甲在追迹曲线上的点为p(x,y)，乙在点B(1,v0t)。于是有 tany (10.1)由题设，曲线的弧长OP为 x0dxnv0t解出v0t代入(10.1)得 (1x)yyx0dx两边对x求导，整顿得 (1x)y这就是追迹问题的数学模型。这是一种不显含y的可降阶的方程，设yp，yp代入方程得 (1x)p或 两边积分得 ln(p)ln1xlnC即 p将初始条件 yx0px0

10、0代入上式，得C11，于是 y (10.2)两边同乘 y，并化简得 y (10.3)(10.2)与(10.3)两式相加，得 y ()积分，得 y (1x) (1x)C2代入初始条件 yx00得C2，所求追迹曲线方程为 y (n1) 甲追到乙时，即曲线上点P的横坐标x1，此时 y即乙行走至离A点个单位距离时即被甲追到。四、弹簧振动下面我们讨论机械振动的简朴模型弹簧振动问题，研究图6-6 悬挂重物的弹簧的振动，并假定弹簧的质量与重物的质量相比较可以忽视不计。如图6-6，一弹簧上端固定，下端与一质量为m的物体连接，弹簧对物体的作用力(恢复力)与弹簧的伸长度成正比(比例常数为k);物体在运过程中所受的

11、阻力与速度成正比(比例常数为)。此外，物体还与一种连杆连接，连杆对物体的作用力(逼迫力)为F(t)。下面建立物体运动方程(数学模型)。如图6-6，物体的平衡位置为原点，向下方向为Ox轴的正向，以xx(t)表达物体在时刻t的位置，由于物体共受到三个力的作用。(1)恢复力：一kx (负号表达恢复力与位移x方向相反)；(2)阻力： (负号表达阻力与速度的方向相反)；(3)逼迫力：F(t)由牛顿第二定律 Fma得 mF(t)kx或 x这就是物体运动的数学模型振动方程。为以便起见，记2 (0)，2 (0)，f(t)，则上述方程可写成 2xf(t) (10.4)1.自由振动，当f(t)0时称为自由振动。分

12、两种状况讨论(1)当0时称为无阻尼自由振动，其运动方程为 2x0图6-7 其通解 xC1costC2sintAsin（t）(其中A，tan)这是简谐振动,如图6-7，这里振幅A及初相角，可由物体的初始位置和初始速度决定。(2)当0时称为有阻尼自由振动，其运动方程为 2x0其特性方程为 r2r0下面就其根的三种情形分别讨论：()(大阻尼情形)，其根为 r特性方程有两个不相等的实根，由于它们都是负数，可令r11，r2，(10，20)因此方程的通解为xC1eC2e图6-8 图6-9 这里的位移x不是周期函数，因而物体不作任何振动，当t时x0，即随时间的无限增长而趋于平衡位置，如图6-8(当C1C20

13、，1C12C20的情形)()(临界阻尼情形)，特性方程有二重根，rr2，此时通解为 x（C1Ct）et这是位移x也不是周期函数，物体也不作任何振动，当t时x0，即随时间无限增长而趋于平衡位置，如图6-9(当C10，C2C10的状况)。()0(小阻尼情形)，特性方程有一对共轭复根 ri此时通解为 xAetcos(t)这里A，都是任意常数，可由振动的初始条件决定。由上式看到，振幅Aet随时间的增长而减少，其减少的快慢限度由系数决定。当t时，振幅Aet0，于是x0，即随时间t无限增长而趋于平衡位置。这种情形称为有阻尼的衰减振动，如图6-10所示图6-10 2.逼迫振动设外力 f(t)asin0t我们

14、只考虑无阻尼的逼迫振动，其振动方程为 2xasin0t它的通解为 xAsin(t)sint，当0时xAsin（t）cost，当0时。由解的形式可以看出，振动由两种运动所合成，一种是自由振动也称固有振动；另一种是由外力所致的振动，称为逼迫振动。前一种状况(当0时)逼迫振动的振幅为，当与0很接近时，振幅就很大；后一种状况(当0时)逼迫振幅为，当t时，振幅，这就是共振现象。因此当外力a0sint同系统处在共振状态时，将会引起振幅无限增大的振动，这在机械和建筑中一般是必须严格避免的。五、R、L、C电路中的电振荡S如图6-11所示的简朴串联电路，在电路中，电阻为R，电感为L，电容为C及电动势E(t)。由电学知识，在电阻R上的电压降为RI，在电感L上的电压降为L，在电容C上的电压降为Idt，根据克希霍夫第二定律，得到图6-11 LRIIdtE(t)将方程的两边有关t求导数得。 LRI这就是R、L、C电路中的电振荡方程，它与四中所指述的弹簧振动的运动方程(10.4)形式上完全同样，类似于弹簧振动的状况，在电路中也会发生共振，但是与机械系动不同的是，在电路系统中共振现象大有用处，例如收音机中的调谐电路。