2022年数列的综合应用教案

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1、学习必备欢迎下载高中数学专题复习数列的综合应用一、考点、热点回顾如何解数列应用题(1)解数列应用题一般要经历：设列解答四个环节(2)建立数列模型时，应明确是什么模型，还要确定要求是什么(3)建立数学模型的一般方法步骤：认真审题，准确理解题意，达到如下要求：明确问题属于哪类应用问题；弄清题目中的主要已知事项；明确所求的结论是什么.抓住数学关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数学关系用数学式子表达将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意引出满足题意的数学关系式(如函数、方程、不等式、数列等)二：典型例题题型一：等差、等比数列的综合应

2、用例 1：已知数列 an的前 n 项和21()2nSnkn kN,且 Sn的最大值为8.（1）确定常数k，求 an；（2）求数列922nna的前 n 项和 Tn。解:（1）当nkN时，212nSnkn取最大值，即22211822kkk，故4k，从而19(2)2nnnaSSn n，又1172aS，所以92nan（1）因为19222nnnnanb，1222123112222nnnnnnTbbb所以21211111222 144222222nnnnnnnnnnnTTT题型二：数列与函数的综合应用例2：函 数2()23fxxx。定 义 数 列nx如 下：112,nxx是 过 两 点(4,5),(,(n

3、nnPQxfx的直线nPQ与x轴交点的横坐标。（1）证明：123nnxx；（2）求数列nx的通项公式。解：（1）为2(4)4835f，故点(4,5)P在函数()f x的图像上，故由所给出的两点(4,5),(,()nnnPQxfx，可知，直线nPQ斜率一定存在。故有精选学习资料 -名师归纳总结-第 1 页，共 9 页学习必备欢迎下载直线nPQ的直线方程为()55(4)4nnfxyxx，令0y，可求得2284355(4)4422nnnnnnxxxxxxxxx所以1432nnnxxx下面用数学归纳法证明23nx当1n时，12x，满足123x假设nk时，23kx成立，则当1nk时，1435422kkk

4、kxxxx，由551152342512432442kkkkxxxx即123kx也成立综上可知23nx对任意正整数恒成立。下面证明1nnxx由22143432(1)4222nnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxx由2231120(1)43nnnxxx，故有10nnxx即1nnxx综上可知123nnxx恒成立。（2）由1432nnnxxx得到该数列的一个特征方程432xxx即2230 xx，解得3x或1x14333322nnnnnxxxxx14355(1)122nnnnnxxxxx两式相除可得11331151nnnnxxxx,而1132311213xx故数列31nnxx是以13为首项以15为公

5、比的等比数列精选学习资料 -名师归纳总结-第 2 页，共 9 页学习必备欢迎下载1311()135nnnxx,故1119 51433 51351nnnnx。【命题意图】本试题主要考查了数列的通项公式以及函数与数列相结全的综合运用。先从函数入手，表示直线方程，从而得到交点坐标，再运用数学归纳法进行证明，根据递推公式构造等比数列进而求得数列的通基。【点评】以函数为背景，引出点的坐标，并通过直线与坐标轴的交点得到数列的递推公式。既考查了直线方程，又考查了函数解析式，以及不等式的证明，试题比较综合，有一定的难度。做这类试题那就是根据已知条件，一步一步的翻译为代数式，化简得到要找的关系式即可。题型三：数

6、列与不等式的综合应用例 3：设数列na的前n项和为nS，满足1*1221()nnnSanN，且123,5,a aa成等差数列。（1）求1a的值；（2）求数列na的通项公式。（3）证明：对一切正整数n，有1211132naaa【解析】（1）12112221,221nnnnnnSaSa相减得：12132nnnaa12213212323,34613Saaaaaa123,5,a aa成等差数列13212(5)1aaaa（2）121,5aa得132nnnaa对*nN均成立1113223(2)nnnnnnnaaaa得：11223nnnnaa（3）当1n时，11312a当2n时，23311()()23222

7、222nnnnnnnaa231211111111311222222nnnaaa由上式得：对一切正整数n，有1211132naaa题型四：数列与几何的综合应用例 4：函数 y=x2(x0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x 轴交点的横坐标为ak+1,k 为正整数，a1=16，则 a1+a3+a5=_ 解析 考查函数的切线方程、数列的通项。精选学习资料 -名师归纳总结-第 3 页，共 9 页学习必备欢迎下载在点(ak,ak2)处的切线方程为：22(),kkkyaaxa当0y时，解得2kax，所以1135,1641212kkaaaaa。例 5:已知数列 an 的首项a11，且点An(an，an1

8、)在函数yxx 1的图象上(1)求数列 an的通项公式；(2)求证：弦AnAn1的斜率随n的增大而增大解析：(1)an1anan1且a11，1an111an，1an 11an 1，1an是以 1 为首项，1 为公差的等差数列，1an1(n1)1n，an1n.(2)证明：an1n，an11n1，an21n 2，弦AnAn1的斜率knan2an1an1an1n21n11n11nnn2，kn1knn1n3nn2nnnnnn2nn0.弦AnAn1的斜率随n的增大而增大题型五：数列与三角的综合应用例 6：数列na的通项公式12cosnnan，前n项和为nS，则2012S_。【3018】考点：数列和三角函

9、数的周期性。难度：中。分析：本题考查的知识点为三角函数的周期性和数列求和，所以先要找出周期，然后分组计算和。解答：1012cos)14(12)14(cos)14(14nnnan，1)24(1cos)24(12)24(cos)24(24nnnnan，10123cos)34(12)34(cos)34(34nnnan，精选学习资料 -名师归纳总结-第 4 页，共 9 页学习必备欢迎下载14412cos)44(12)44(cos)44(44nnnnan，所以14na24na34na644na。即30186420122012S。题型六：数列与概率的综合应用例 7：现有 10 个数，它们能构成一个以1 为

10、首项，3为公比的等比数列，若从这10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是【答案】35。【考点】等比数列，概率。【解析】以 1 为首项，3为公比的等比数列的10 个数为 1，3，9，-27，其中有 5 个负数，1个正数 1 计 6 个数小于 8，从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于8 的概率是63=105。题型七：数列的实际应用例 8：用分期付款方式购买家用电器一件，价格为1 150 元，购买当天先付150 元，以后每月这一天都交50 元，并加付欠款利息，月利率为1%，若付 150 元之后的第一个月算分期付款的第一个月，问分期付款的第10 个月该交付多少钱？全部付清后，实际共花了多少

11、钱？解析：购买当天付了150 元，余欠款1 000 元，按题意分20 次还清设每次付款依次构成数列 an，则a1501 000 0.01 60 元，a250(1 000 50)0.01 59.5 元，a350(1 000 502)0.01 59 元an 60(n1)0.5，an 是以 60 为首项，0.5 为公差的等差数列a106090.5 55.5 元20 期共还款S202060201920.5 1 105，故共花了 1 105 1501 255 元三、课后练习1、有 一 列 正 方 体，棱长 组 成 以1 为 首项、21为 公 比 的 等 比 数 列，体积分 别 记 为精选学习资料 -名师

12、归纳总结-第 5 页，共 9 页学习必备欢迎下载，nVVV21，则)(lim21nnVVV.【答案】78【解析】由正方体的棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，可知它们的体积则组成了一个以 1 为首项，81为公比的等比数列，因此，788111)(lim21nnVVV.【点评】本题主要考查无穷递缩等比数列的极限、等比数列的通项公式、等比数列的定义.考查知识较综合.2、数列nx满足：2*110,()nnnxxxxc nN（I）证明：数列nx是单调递减数列的充分必要条件是0c（II）求c的取值范围，使数列nx是单调递增数列。【解析】（I）必要条件当0c时，21nnnnxxxcx数列nx是单调递减

13、数列充分条件数列nx是单调递减数列22121110 xxxxccx得：数列nx是单调递减数列的充分必要条件是0c（II）由（I）得：0C当0c时，10naa，不合题意当0c时，22132,201xcxxccxcc2211010nnnnnxxcxxcxxc22211111()()()(1)nnnnnnnnnnxxxxxxxxxx当14c时，1211102nnnnnxcxxxx与1nnxx同号，由212100nnnnxxcxxxx21limlim()limnnnnnnnxxxcxc精选学习资料 -名师归纳总结-第 6 页，共 9 页学习必备欢迎下载当14c时，存在N，使121112NNNNNxxx

14、xx与1NNxx异号与数列nx是单调递减数列矛盾得：当104c时，数列nx是单调递增数列3、21lim5nnnn25。【解析】22151 5/12limlimlim5555nnnnnnnnnnn4、数列na满足1(1)21nnnaan，则na的前60项和为【解析】na的前60项和为1830可证明：14142434443424241616nnnnnnnnnnbaaaaaaaab112341 51 51 41 01 01 51 618 3 02baaaaS5、已知 na 是等差数列，其前n项和为nS，nb 是等比数列,且1a=1=2b，44+=27ab，44=10Sb.()求数列 na与nb 的通

15、项公式；()记112231nnnnnTa bababab；证明：+12=2+10nnnTab+()nN.【参考答案】（1）设数列na的公差为d，数列nb的公比为q；则34434412732322710246210abddqSbqadq得：31,2nnnanb（2）1211 223112112222()22nnnnnnnnnnnaaTa bababa baaaa111213132352222nnnnnnnannncc12231112 ()()()2()nnnnnnTcccccccc1022(35)1021212102nnnnnnnbaTba精选学习资料 -名师归纳总结-第 7 页，共 9 页学习

16、必备欢迎下载【点评】该试题命制比较直接，没有什么隐含的条件，就是等比与等差数列的综合应用，但方法多样，第二问可以用错位相减法求解证明，也可用数学归纳法证明，给学生思维空间留有余地，符合高考命题选拔性的原则.6、已知数列na的前n项和为nS，且22nna aSS对一切正整数n都成立。（）求1a，2a的值；（）设10a，数列110lgnaa的前n项和为nT，当n为何值时，nT最大？并求出nT的最大值。解析 取 n=1,得,2a211212aassa取 n=2,得,222122aaa又-，得2122)(aaaa（1）若 a2=0,由知 a1=0,(2)若 a21012aa，易知,由得：;22,122

17、1aa;22,2121aa5分（2）当 a10 时,由（I）知，;22,1221aa当nnssan2222）时，有（,(2+2)an-1=S2+Sn-1 所以，an=)2(21nan所以111)2()12()2(nnnaa令1112100lg21)2lg(1,10lgnnnnnbaab则所以，数列 bn是以2lg21为公差，且单调递减的等差数列.则 b1b2b3 b7=01lg810lg当 n8 时，bnb8=128100lg2101lg21所以，n=7 时，Tn取得最大值，且Tn的最大值为T7=2lg22172771）（bb12 分7、设函数()2cosf xxx，na是公差为8的等差数列，

18、125()()()5f af af a，则2313()f aa a（D）A、0B、2116C、218D、21316精选学习资料 -名师归纳总结-第 8 页，共 9 页学习必备欢迎下载解析 数列 an是公差为8的等差数列，且125()()()5f af af a5)coscos(cos2521521aaaaaa）（,0)coscos(cos521aaa即55223521aaaa）（得43,4,2513aaa2313()f aa a1613163)cos2(22251233aaaa点评 本题难度较大，综合性很强.突出考查了等差数列性质和三角函数性质的综合使用，需考生加强知识系统、网络化学习.另外，,0)coscos(cos521aaa隐蔽性较强，需要考生具备一定的观察能力.8、有一种细菌和一种病毒，每个细菌在每秒钟末能在杀死一个病毒的同时将自身分裂为2个，现在有一个这样的细菌和100 个这样的病毒，问细菌将病毒全部杀死至少需要几秒钟？解：依题意12122 2n1100，12n1 2100，2n101，n7，则所求为7 秒钟精选学习资料 -名师归纳总结-第 9 页，共 9 页