直角三角形的判定赵

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1、淅川二中淅川二中 赵永红赵永红学习目标 知道什么是勾股数。 掌握勾股定理的逆定理。 经历勾股定理的逆定理的探索过程 会运用勾股定理的逆定理判定直角三角形 培养探索精神，体验数学与生活息息相关。 1、通过具体事例猜想从边的长度上怎样判断一个三角形是直角三角形？。 2、勾股定理的逆定理是什么？请你用逻辑推理的方法证明其正确性。 3、勾股定理的逆定理的作用是什么？ 4、怎样运用勾股定理逆定理判断一个三角形是否是直角三角形？ 5、什么是勾股数？请你说出三组勾股数 6、想一想, 现在你共有多少种方法可以判断一个三角形是直角三角形? 。一个三角形满足什么条件才能是直角三角形一个三角形满足什么条件才能是直角

2、三角形?(1)有有一个角是直角一个角是直角的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(2)有有两个角的和为两个角的和为90的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(3)如果一个三角形的三边如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足满足a2 +b2=c2, 那么这个三角形是直角三角形吗？那么这个三角形是直角三角形吗？ 1.画图画图：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：画出边长分别是下列各组数的三角形（单位：厘米）厘米） A：3、4、3 ；B：3、4、5；C：3、4、6；D：6、8、102.测量测量：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大角的：用你的量角器分别测量一下上述各三角形的最大

3、角的度数，并记录如下：度数，并记录如下： A：_ B：_ C：_ D:_ 3.判断判断:请判断一下上述你所画的三角形的形状请判断一下上述你所画的三角形的形状. A：_ B：_ C：_ D：_ 4.找规律找规律:根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边根据上述每个三角形所给的各组边长请你找出最长边 的平方与其他两边的平方和之间的关系的平方与其他两边的平方和之间的关系。 A：_ B：_ C：_ D：_ 5.猜想猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？的关系时，这个三角形才可能是直角三角形呢？

4、你的猜想是你的猜想是_。 明确分工明确分工,合作探究合作探究9008001200900锐角三角形锐角三角形直角三角形直角三角形钝角三角形钝角三角形直角三角形直角三角形3 32 2+3+32 24 42 23 32 2+4+42 2 = 5 52 23 32 2+4+42 2 6 62 26 62 2+8+82 2 = 10102 2 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a，b，c(c是最长边是最长边）满足满足a2+b2=c2，那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角形。直角三角形。（即一个三角形的两条较短的边的平方和即一个三角形的两条较短的边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角等于

5、最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。三角形。 ）最长边最长边(c)所对的角是直角所对的角是直角你言我语你言我语，合作探究，合作探究活动三活动三：议议，验验。议议，验验。已知：在已知：在ABC中，中，AB=c，BC=a，CA=b，并，并且且 111122211,ACCACBBCbaBA1111222BAABcBAcba111111BAABACCACBBCcABbCaab1A1B1C222cba（如图）求证：（如图）求证：C=90则有则有在在ABCABC和和 111CBA中，中，C= 1C=90ABC )(111SSSCBA 证明证明：作：作 111CBAbACaCB1111,1C使使=90

6、,合作互助合作互助,探究真理。探究真理。 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a，b，c(c是最长边是最长边）满足）满足a2+b2=c2，那么这个那么这个三角形是三角形是直角三角形。直角三角形。勾股定理勾股定理：如果如果直角三角形直角三角形两直角边分别为两直角边分别为a，b，斜边为，斜边为c，那么，那么a2+b2=c2. （即一个三角形的两条较短的即一个三角形的两条较短的边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角边的平方和等于最长边的平方，那么这个三角形是直角三角形。三角形。 ）最长边最长边(c)所对的角是直角所对的角是直角归纳总结归纳总结，展示成果。，展示成果。真命题真命题活动四活动

7、四：议议，比比。议议，比比。你知道吗你知道吗? 据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用据说，古埃及人曾用下面的方法画直角：他们用13个个等距的结把一根绳子分成等长的等距的结把一根绳子分成等长的12段，一个工匠同时握段，一个工匠同时握住绳子的第住绳子的第1个结和第个结和第13个结，两个助手分别握住第个结，两个助手分别握住第4个个结和第结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，其直角在第直角在第4个结处个结处. 你知道这是什么道理吗你知道这是什么道理吗?*(5)*(2)*(3)*(4)*(6)*(7)*(8)*(9)*(10)*(11)*(13)

8、*(12)*(1)ABC“古埃及人画直角古埃及人画直角”的理论根据的理论根据.解：解：如图，设每两个结的距离为如图，设每两个结的距离为a（a0），），.则则AC=3a，BC=4a，AB=5a 解释：解释：22222(3 )(4 )25ACBCaaa 222525ABaa222ACBCABABC是是 直角三角形直角三角形原来如此原来如此即所画三角形满足三即所画三角形满足三边之比为边之比为=3:4:5 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形角形是否是否是直角三角形。是直角三角形。（1）7，24 ，25 ； （2）37，12，35（3）13，9，11

9、 （1）最长边是25， 22562522272425 以以7，24，25为边的三角形为边的三角形 是直角三角形。是直角三角形。 22724625（哪条边所对的角是直角？）（哪条边所对的角是直角？）(4) , , 1如果一个三角形的如果一个三角形的三条边三条边a，b ， c 满足满足a2=c2b2，那么这个三角形那么这个三角形是是直角三角形直角三角形吗？吗？活动四活动四：做做，用用。做做，用用。尝试应用尝试应用，体验快乐。，体验快乐。3232如果一个三角形的三条边如果一个三角形的三条边a，b ， c 满足满足a2=c2b2，那么这个三角形是那么这个三角形是直角三角直角三角形。形。通过验证这个等式

10、是否成立来判断通过验证这个等式是否成立来判断是否是直角三角形可以使计算简便。是否是直角三角形可以使计算简便。知识拓展知识拓展方法点拨：方法点拨： 、确定：确定最大边、确定：确定最大边、验证：三边之间、验证：三边之间两边的平方和（或差）两边的平方和（或差） 是否是否等于等于第三边的平方第三边的平方若若等于等于则则是是直角三角形。且直角三角形。且最大最大边所对角边所对角是是直角。直角。 若若不等不等则则不是不是直角三角形。直角三角形。 、结论、结论: 像这些像这些,能够成为直角三角形三条边能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为长的三个正整数，称为勾股数勾股数.(3) a =15 b =20

11、c = 25 (2) a = 5 b =12 c =13 设设三边长三边长a,b,c分别为下列各组数，试判断分别为下列各组数，试判断相应的相应的是否是否是直角三角形。是直角三角形。(1) a = 3 b = 4 c = 5 (4) a =7 b =24 c = 25 是是是是是是是是观察规律观察规律，采撷新知。，采撷新知。活动四活动四：用用，做做。用用，做做。例例4.已知已知ABC中且中且AB= - 1 , BC=2n, AC= + 1 (n是大于是大于1的正整数的正整数). ABCABC是是直角三角形吗直角三角形吗?若是，哪一条边所对的角是若是，哪一条边所对的角是直角直角？请说明理由请说明理

12、由.2n2n典例剖析典例剖析，示范引路，示范引路： n是大于是大于1的正整数的正整数AC= + 1是最大边是最大边2n又又ABAB2 2 + BC+ BC2 2 = =（n n2 2-1-1）2 2+ +（2n2n）2 2 = = n n4 4-2n-2n2 2+1+4n+1+4n2 2 = = (n(n2 2+1)+1)2 2 = = ACAC2 2 ABC是直角三角形，边是直角三角形，边AC所对的角是直角所对的角是直角活动四活动四：用用，做做。用用，做做。若若n是大于是大于1的正整数的正整数 +1, 2n，1是一组勾股数是一组勾股数吗？吗？2n2n结合导学提纲结合导学提纲,看你的任务都完成

13、了没有看你的任务都完成了没有?对于本节你还有哪些疑问和想法吗对于本节你还有哪些疑问和想法吗? 思考交流，思考交流，质疑解难。质疑解难。活动五：忆忆活动五：忆忆, , 疑疑疑疑. .活动六：忆忆活动六：忆忆, , 说说说说. . 梳理归纳，梳理归纳，总结方法。总结方法。 如果三角形的三边长如果三角形的三边长 a，b，c(c是最长边是最长边）满足）满足a2+b2=c2，那么这那么这个三角形是个三角形是直角三角形直角三角形,且且边边c所对的角所对的角是是直角。直角。、确定、确定 、验证、验证 、结论、结论3、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为、能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾

14、股数勾股数(1)有有一个角是直角一个角是直角的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(2)有有两个角的和为两个角的和为90的三角形是直角三角形；的三角形是直角三角形；(3)满足满足两边的平方和两边的平方和等于等于第三边的平方第三边的平方三角形是三角形是直角三角形直角三角形4、直角三角形判定方法、直角三角形判定方法:1. 如果线段如果线段a,b,c能组成直角三角形能组成直角三角形, 则它们的比则它们的比可能是可能是 ( )A.3:4:7; B. 5:12:13; C. 1:2:4; D. 1:3:5.2. 将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数将直角三角形的三边的长度扩大同样的倍数,则得到的

15、三角形则得到的三角形 ( )A.是直角三角形是直角三角形 B. 可能是锐角三角形可能是锐角三角形C. 可能是钝角三角形可能是钝角三角形 D. 不可能是直角三角形不可能是直角三角形BA拓展训练拓展训练，开阔视野，开阔视野。活动七：练练活动七：练练, , 说说说说. .一组勾股数扩大相同倍数后一定还是勾股数一组勾股数扩大相同倍数后一定还是勾股数5 . 三角形的三边分别是三角形的三边分别是a,b,c, 且满足等式且满足等式 (a+b)2-c2=2ab, 则此三角形是则此三角形是: ( )A. 直角三角形直角三角形 B. 锐角三角形锐角三角形C. 钝角三角形钝角三角形 D. 等腰直角三角形等腰直角三角

16、形3. 已知已知ABC中，中，BC=41, AC=40, AB=9, 则此则此 三角形为三角形为_三角形三角形, _是最大角是最大角.4.以以ABC的三条边为边长向外作正方形的三条边为边长向外作正方形, 依次依次 得到的面积是得到的面积是25, 144 , 169, 则这个三角形则这个三角形 是是_三角形三角形.A直角直角直角直角 AABCDABCD1334512 6、 一个零件的形状如左图所示，按规定这个零一个零件的形状如左图所示，按规定这个零件中件中A和和DBC都应为直角。工人师傅量得这都应为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个个零件各边尺寸如右图所示，这个 零件符合要求零件

17、符合要求吗？吗？活学活用活学活用，服务生活。，服务生活。7、工厂生产的产品都有一定的规格要求，如、工厂生产的产品都有一定的规格要求，如图所示：该模板中的图所示：该模板中的AB、BC 相交成相交成直直角才符角才符合规定。你能测出这个零件是否合格呢？合规定。你能测出这个零件是否合格呢？(身边身边只有刻度尺只有刻度尺)ABC 以小组为单位，每位同学自己找一组以小组为单位，每位同学自己找一组勾股数，哪一组找的最快最多就算获胜。勾股数，哪一组找的最快最多就算获胜。同学们：同学们： 通过这节课你们的表现老师发现你们都是通过这节课你们的表现老师发现你们都是学习数学的天才。数学是一门很有趣也很有学习数学的天才

18、。数学是一门很有趣也很有用的学科，它的内容都来源于我们身边，它用的学科，它的内容都来源于我们身边，它又服务于我们的生活，相信大家能更加发挥又服务于我们的生活，相信大家能更加发挥你们的聪明才智，利用数学知识让我们的生你们的聪明才智，利用数学知识让我们的生活更美好！活更美好！. 已知已知ABC的三条边长分别为的三条边长分别为a、b、c,且且a= - ,b=2mn, c= + (mn,m,n是正整数是正整数).三角形是直角三角形吗三角形是直角三角形吗?请说明理请说明理由由.2m2n2m2n ABC是直角三角形是直角三角形. m是大于是大于n的正整数的正整数c= + 是最大边是最大边2n又又aa2 2

19、 + b+ b2 2 = =（ - - ）2 2+ +（2mn2mn）2 2 = m= m4 4- 2m- 2m2 2n n2 2 +n +n4 4 + 4m + 4m2 2n n2 2 = = (m(m2 2+n+n2 2) )2 2 = = c c2 22m2m2n变式练习变式练习，开阔视野，开阔视野。、观察下列表格：、观察下列表格：列举列举猜想猜想3 3、4 4、5 53 32 2=4+5=4+55 5、1212、13135 52 2=12+13=12+137 7、2424、25257 72 2=24+25=24+251313、b b、c c13132 2=b+c=b+c请你结合该表格及

20、相关知识，求出请你结合该表格及相关知识，求出b b、c c的值的值. .即即b=b= ，c=c= 8485拓展提高拓展提高，开发思维，开发思维。、古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果、古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果m表示大于的整数，表示大于的整数，a=2m，b=m2-1,c=m2+1,那么那么a、b、c为勾股数，你认为对吗？为勾股数，你认为对吗？ 一个零件的形状如左图所示，已知一个零件的形状如左图所示，已知A=90，按规定这按规定这个零件中个零件中DBC都应该为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸都应该为直角。工人师傅量得这个零件各边尺寸如右图所示，这个零件符合要求吗？如右图所示，这个零件符合要求

21、吗？ 学以致用学以致用DCBA13cm12cm3cm4cmDCBA在在RtABC中中， BAC=90 AC=3cm，AB=4cm由勾股定理得由勾股定理得：2232345BCACAB2222512169BCBD2213169CD 222CBBDCDBCD是直角三角形是直角三角形CD所对的角是直角，所对的角是直角， 即即DBC=90所以，这个零件符合要求所以，这个零件符合要求cm 如图，是一块四边形绿地示意图，其中如图，是一块四边形绿地示意图，其中AB长长24米，米，BC长长20米，米，CD长长15米，米，DA长长7米，米， C=90，求：绿地求：绿地ABCD的面积。的面积。CBAD2420157

22、25ABC6810如图：已如图：已RtABC的三边长分别是的三边长分别是6、8、10，分别以它的，分别以它的三边为直径向上作三三边为直径向上作三个半圆，求图中个半圆，求图中深蓝深蓝色色部分的面积。部分的面积。SSSSSSSSS+ + SS + SS + = + += SS思考思考1:ABC三边三边a,b,c为边向外作正方形，为边向外作正方形，若若S1+S2=S3成立，则成立，则ABC是什么三角形？是什么三角形？为什么？为什么？ABCabcS1S2S3acb思考思考2:已知已知ABC是直角三角形是直角三角形,以以a,b,c为边向外作正方形，为边向外作正方形，有有S1+S2=S3？为什么？为什么？

23、a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2直角三角形直角三角形直角三角直角三角形形a a2 2 + b+ b2 2 = c= c2 2随堂练习随堂练习 设三角形的三边分别等于下列各组数，试判断各三角形设三角形的三边分别等于下列各组数，试判断各三角形是不是直角三角形？如果是请指明哪一个条边所对的角是是不是直角三角形？如果是请指明哪一个条边所对的角是直角？直角？（1）12，16，20 （2）8，12，15 （3）5，6，8 解：解：（1）是直角三角形）是直角三角形。222121620边边20所对的角是直角所对的角是直角（2）不是直角三角形）不是直角三角形22281215（3）不是直角三角

24、形）不是直角三角形222568(一一)选择题：选择题： 练练 习习 2下列命题中，假命题是下列命题中，假命题是 ( )(A)三个角的度数之比为三个角的度数之比为1 : 3 : 4的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(B)三个角的度数之比为三个角的度数之比为1 : : 2的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(C)三边长度之比为三边长度之比为1 : : 2的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形(D)三边长度之比为三边长度之比为 : : 2的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 3322B (1)有一个角是直角；有一个角是直角；(2)两个锐角的和为两个锐角的和为90(互余互余 )；(3)

25、两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方 .反之反之,一个三角形满足什么条件一个三角形满足什么条件 才能是直角三角形呢才能是直角三角形呢?（即：直角三角形的两直角边为（即：直角三角形的两直角边为a，b斜边为斜边为c，则则222abcbacCBA 小结：小结：直角三角形的判定方法：直角三角形的判定方法：1、定义（角）：有一个角是、定义（角）：有一个角是90的三角形是直角三的三角形是直角三 角形角形。2、勾股定理的逆定理（边）：如果三角形、勾股定理的逆定理（边）：如果三角形 的三边长的三边长a、b、c（c为最大边）满足为最大边）满足222abc则，这个三角形是则，这个三角形是直

26、角三角形直角三角形ADCB6. 四边形四边形ABCD中已知中已知AB=3, BC=4, CD=12, DA=13, 且且ABC=90ABC=900 0, ,求这个四求这个四边形的面积边形的面积. .7、请你写出三组勾股数；、请你写出三组勾股数；8、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什、一组勾股数的倍数一定是勾股数吗？为什么么?1、 已知已知a，b，c为为ABC的三边的三边,且且 满足满足 a2+b2+c2+338=10a+24b+26c. 试判断试判断ABC的形状的形状.思维训练思维训练2如果如果ABC的三边分别为的三边分别为a、b、c且且满满足足 a2b2c2506a8b10c， 判定判定A

27、BC的形状的形状. 这个三角形是直角三角形这个三角形是直角三角形 已知已知a.b.c为为ABC的三边的三边,且满足且满足 a2c2 b2c2=a4 b4,试判断试判断ABC的形状的形状.解解 a2c2- b2c2 = a4 b4 (1) c2(a2 b2) = (a2+ b2) (a2- b2) (2) c2 = a2 + b2 (3) ABC是直角三角形是直角三角形问问: (1) 上述解题过程上述解题过程,从哪一步开始出现错误从哪一步开始出现错误?请写出该步的代号请写出该步的代号(2) 错误原因是错误原因是(3) 本题正确的结论是本题正确的结论是(3)a2- b2可能是可能是0直角三角形或等腰三角形直角三角形或等腰三角形作业：作业：