数值计算方法--第4-1讲--拉格朗日插值

《数值计算方法--第4-1讲--拉格朗日插值》由会员分享，可在线阅读，更多相关《数值计算方法--第4-1讲--拉格朗日插值（32页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、插 值 法第第 二二 章章http:/210.31.198.78/eol/jpk/course/welcome.jsp?courseId=1220 插值法的一般理论 Newton插值 Lagrange插值 分段低次插值 Hermite插值、样条插值13425知知 识识 结结 构构 图图插插值值法法Lagrange插值插值NewtonNewton插值插值插插值值Hermite样条插值样条插值误差估计误差估计分段插值分段插值两点式两点式点斜式点斜式 等距节点等距节点 算算法法比比较较推广方法推广方法均差均差差分差分一般理论插值多项式 NewtonNewton 前插后插公式问题的引入插值法及其相关概

2、念一般插值多项式的原理一般插值的程序设计插值法概述实际问题试验数据观测数据内在规律函数关系期望期望期望 数学的期望与烦恼实验数据是否存在内在规律? 实验数据的内在规律是什么? 内在规律是否有函数解析式?反映内在规律的解析式是什么?x0121 .00 .8 4 1 30 .8 4 3 80 .8 4 6 11 .10 .8 6 4 30 .8 6 6 50 .8 6 8 6标准正态分布函数 (x)查查 函函 数数 表表插值引例插值引例引例引例1插值法概述 问题的引入求求 (1.014)xy机翼下机翼下轮廓线轮廓线求机翼下轮廓线上一点的近似数值该点的值是多少该点的值是多少?引例引例2插值法概述 问

3、题的引入求任一插值点*()ixx 处的插值.*y已知 n+1个节点(,) (0,1,),iixyin 其中ix互不相同，不妨设),10bxxxan插值问题的提法插值问题的提法插值法概述 插值问题的一般提法0 x1xnx0y1y*y*x 构造平面曲线使其通过所有节点，即：( )yG x ()iiyG x (0,1,., )in 插值法概述 插值法的基本思路 构造一个（相对简单的）函数使其通过所有节点，即：( )yG x ()iiyG x (0,1,.,)in 思路 目标求点*()ixx 处的插值*( *)yG x 0 x1xnx0y1y*y*x插值法的一般定义 ,)(上上有有定定义义在在区区间间

4、设设函函数数baxfy 且且已已知知在在点点bxxxan 10,:10nyyy上上的的值值分分别别为为使使）（函函数数,xP若存在一简单若存在一简单iiyxP )().(),(11210ni ,)()(的的插插值值函函数数为为则则称称xfxP称为插值称为插值点点nxxx,10称称为为插插值值区区间间，包包含含插插值值节节点点的的区区间间,ba的的方方法法称称为为插插值值法法。求求插插值值函函数数)(xP节点，节点，？ 插值法的概念插值法的概念插值函数插值插值法主要概念本本章章只只讨讨论论多多项项式式插插值值和分段插值。和分段插值。,)(10nnxaxaaxP 的的代代数数多多项项式式，即即是是

5、次次数数不不超超过过若若nxP)(分分段段插插值值。为为分分段段多多项项式式，就就称称为为若若)(xP三角插值。三角插值。为三角多项式，就称为为三角多项式，就称为若若)(xP插值法的一般定义 插值法的概念分段插值插值多项式三角插值主要概念一般插值多项式原理证设有 n+1个互不相同的节点),.2 , 1 , 0(),(niyxii 则存在唯一的多项式： )1(.)(2210nnnxaxaxaaxL 使得)2(),.2 , 1 , 0()(njyxLjjn 构造方程组)3(.22101121211000202010 nnnnnnnnnnyxaxaxaayxaxaxaayxaxaxaa 插值法原理一

6、般插值多项式原理 nnnnnxxxxxxA1111100 naaaX10 nyyyY10令： 方程组的矩阵形式如下： 0)(110 ninjjixxA由于由于)4(YAX 所以方程组（4）有唯一解。 .)(2210唯唯一一存存在在从从而而nnnxaxaxaaxL 证毕 【注1】只要n+1个节点互异，满足上述插值条件的多项式是唯一存在的。【注2】如果不限制多项式的次数，插值多项式并不唯一。 插值法原理证X=x0,x1,x2,x3=10,11,12,13;y=y0,y1,y2,y3=2.3026,2.3979,2.4849,2.5649;A=TransposeTablex0j,x1j,x2j,x3

7、j,j,0,3;MatrixForm%;AA=LinearSolveA,y/NX1=1,x,x2,x3;X1.AAN%/.x-11.75,10程序设计程序设计 插值法的程序设计A=0,-1,1.5,4.25,5.1,35.21g1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize10;InterpolationA,InterpolationOrder-2g2=Plot%x,x,0,5.1;Showg1,g2N%3.66,5绘制点图点的绝对直径插值、插入程序设计xy(3.66)19.716G Lagrange插值多项式的构造插值多项式的构造Lagrange插值的误差

8、估计插值的误差估计Lagrange插值多项式的震荡插值多项式的震荡Lagrange插值的程序设计插值的程序设计Lagrange插值插值法的基函数法的基函数拉格朗日插值已知 n+1个节点, 1 ,0(),(njyxjj 其中jx互不相同，不妨设),10bxxxan 1110( )nnnnnP xa xaxa xa的插值多项式要求形如 插值多项式的基函数例如：nxxxx,.,132 n 次多项式的基（函数）naaaa,.,210n 个系数nnxaxaxaxaa .332210n 次多项式多项式族的构成0011()(),yf xyf x ，使使它它满满足足，要要求求线线性性插插值值多多项项式式)(1

9、xL100111(),().L xyL xy:如图所示如图所示0 x1x0y1y)(xfy )(1xLy 拉格朗日插值 插值多项式的基函数1n 先讨论先讨论 简单情形，简单情形， 假定给定区间假定给定区间 及端点函数值，及端点函数值，01,xx若令若令0 x1x100( )lx1( )l x1001( ),xxlxxx 0110( )xxlxxx 线性插值基函数10 01 1()()()Lxy lxy lx 线性插值多项式拉格朗日插值 插值多项式的构造( )1010010( )()yyL xyxxxx 点斜式点斜式011010110( )xxxxL xyyxxxx 两点式两点式 0001101

10、11,()0;0,1.lxlxlxlx 在节点在节点 和和 上满足：上满足：0 x1x1n )()(kkkkkkxxxxyyyxL 111),(点斜式点斜式11111)( kkkkkkkkyxxxxyxxxxxL)(两两点点式式若令若令,)(11 kkkkxxxxxlkkkkxxxxxl 11)(上上满满足足条条件件及及在在节节点点1 kkxx . 1, 0;0)(, 11111 kkkkkkkkxlxlxlxlkx1 kx10)(xlk)(1xlk 线性插值线性插值基函数基函数)()()(111xlyxlyxLkkkk 线性插值多项式拉格朗日插值 线性插值多项式的构造,)(11 kkkkxx

11、xxxlkkkkxxxxxl 11)(111( )( )( )k kkkL xy lxylx 两个插值点对应一次基函数，n+1个插值点对应 n 次基函数 n 次基函数应当怎样构造 ？拉格朗日插值 L-插值多项式的基函数观察与思考观察与思考拉格朗日插值 插值多项式的基函数上上满满足足条条件件个个节节点点在在次次多多项项式式若若njxxxnnjxln 101), 1 ,0()( ), 1 , 0,(., 0;, 1)(nkjjkjkxlkj .,)(,),(),(11010次次插插值值基基函函数数的的为为节节点点次次多多项项式式个个就就称称这这nxxxxlxlxlnnnn ,)(11 kkkkxx

12、xxxlkkkkxxxxxl 11)(),(),(),1111 kkkkkkyxyxyx通通过过三三点点（使使它它满满足足要要求求二二次次插插值值多多项项式式假假定定插插值值节节点点为为),(,2,11xLxxxkkk ,)()( 11111 kkkkkkkxxxxxxxxxl）（于于是是,)()()(1111 kkkkkkkxxxxxxxxxl猜猜想想：.)()()(11111kkkkkkkxxxxxxxxxl 观察与思考观察与思考拉格朗日插值 插值多项式的基函数推而广之推而广之拉格朗日插值 拉格朗日拉格朗日 插值多项式插值多项式nixxxxxxxxxxxxxxxxxlniiiiiiniii

13、1 , 0,)()()()()()()(:110110 用用基基函函数数法法构构造造jjnjiyxLjijixl )(,0,1)(即即为为则则)()(0 xlyxLiniin 拉格朗日拉格朗日(Lagrange) 插值多项式插值多项式1011().()().().nkkkkkkknxxxxxxxxx （）).()()(101nnxxxxxxx 拉格朗日插值 拉格朗日拉格朗日 插值多项式插值多项式特别函数101()().()()nnnkkknkxLxyxxx 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式011011()()()()( )()()()()iiniiiiiiinxxxxxxxxl xxxxx

14、xxxx 01101111()()()()()()()()()()( )()()iiiniiiiiiinninixxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 0( )( )nni iiLxy l x 拉格朗日插值 拉格朗日拉格朗日 插值多项式插值多项式101()().()()nnnkkknkxLxyxxx 拉格朗日插值多项式拉格朗日插值多项式 优 点 结构紧凑理论分析方便 改变一个节点改变一个节点则全部的插值基函数则全部的插值基函数都改变都改变, ,基函数没有基函数没有承袭性承袭性 缺 点 插值主程序插值主程序程序设计程序设计fx_:=ExpxA=Tablex,fx,x,0,0.8,0.2

15、/Ng1=ListPlotTableA,Prolog-AbsolutePointSize18;InterpolationA,InterpolationOrder-3g2=Plot%x,x,0,0.8Showg1,g2N%0.12,20N%0.72,20Nf0.12,20Nf0.72,20 插值多项式多的程序设计程序设计程序设计 拉格朗日插值法的通用程序拉格朗日插值法的通用程序 插值多项式多的程序设计程序设计程序设计 拉格朗日插值法的通用程序拉格朗日插值法的通用程序插值点坐标列xx=1,2,3,4,5插值点函数值序列yy=1,3,6,10,16Lagranger插值多项式为：1242438 x47 x210 x3x4运行结果：