1[1]32函数的极值与导数

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1、1.3.2 函数的极值与导数函数的极值与导数aoht 0h a ht问题：如图表示高台跳水运动员的高度问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间随时间 变化的函数变化的函数 的图象的图象 2( )4.96.510h ttt单调递增单调递增单调递减单调递减0)( th0 )(th归纳归纳: 函数函数 在点在点 处处 ,在在 的附近的附近, 当当 时时,函数函数h(t)单调递增，单调递增， ; 当当 时时,函数函数h(t)单调递减单调递减, 。( )h tata0)( ahat at 0)( th0)( thyxaob yf x （3 3）在点）在点 附近附近, , 的导数的符号有什么规律的导数的

2、符号有什么规律? ?,a b yf x （1）函数）函数 在点在点 的函数值与这些点附近的的函数值与这些点附近的 函数值有什么关系函数值有什么关系? yf x,a b（2 2）函数）函数 在点在点 的导数值是多少的导数值是多少? ? yf x,a b(图一图一)问题：问题：0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bfyxaob yf x(图一图一)0)( xf0)( xf0)( xf0)( af0)( bf极大值极大值f(b)点点a a叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值点极小值点,f(a a)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极小值极小值.点点b b叫做函数叫做函数y=f(x

3、)的的极大值点极大值点，f(b b)叫做函数叫做函数y=f(x)的的极大值极大值.极小值点极小值点、极大值点极大值点统称统称极值点极值点，极大值极大值和和极小值极小值统称为统称为极值极值.极小值极小值f(a)思考：思考：极大值一定大于极小值吗？极大值一定大于极小值吗？xy yfxohgfedc(图二图二)（1）极值是一个）极值是一个局部概念局部概念。由定义，极值只是某个。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值）函数的极

4、值不是唯一的不是唯一的。即一个函数在某区间。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间）极大值与极小值之间无确定的大小关系无确定的大小关系。即一个。即一个函数的极大值未必大于极小值。函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点）函数的极值点一定出现在区间的内部一定出现在区间的内部，区间的端，区间的端点不可能成为极值点。点不可能成为极值点。 yfx6x5x4x3x2x1xabxy 课后练习课后练习1.1.如图是函数如图是函数 的图象的图象, ,试找出函数试找出函数 的的 极值点极值点, ,并指出哪些是极大值点并指出

5、哪些是极大值点, ,哪些是极小值点？哪些是极小值点？o yf x yf x答：答：x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函数数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ?导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ? 是是 为可导函数为可导函数 的极值点的的极值点的必要不充分条件必要不充分条件。0)( af( )yf xxaxyOy = x3yc xyO 下面分两种情况讨论下面分两种情况讨论:

6、 : （1 1）当）当 ，即，即x x2,2,或或x x-2-2时时; ;（2）当）当 ，即，即-2 x2时。时。例例4：求函数求函数 的极值的极值. 31443f xxx 31443f xxx 2422fxxxx 0fx 0,fx 解解: : 0fx 当当x x变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： ,fxf x x fx f x, 2 2,22,28343当当x=-2x=-2时时, f(x, f(x) )的极大值为的极大值为 28( 2)3f 423f 令令解得解得x=2,或或x=-2.0022单调递增单调递增单调递减当当x=2时时, f(x)的极小值为的极小值为22(4)

7、(4)检查检查 在在 的根左的根左, ,右两边值的符号右两边值的符号, ,如果左正右负如果左正右负( (或左负右正或左负右正),),那么那么f(xf(x) )在这个根在这个根取得取得极大值极大值( (或极小值或极小值) )归纳归纳：求函数求函数y=f(x)极值的方法是极值的方法是:(1)确定函数的确定函数的定义域定义域(2)求方程求方程 的的全部解全部解(3)用用 的全部根顺次将函数的全部根顺次将函数 的定义的定义域分成若干开区间域分成若干开区间,并并列成表格列成表格.( )0f x( )0f x( )yf x( )0f x( )fx巩固练习巩固练习：1、求函数、求函数 的极值的极值 33f

8、xxx解解: : 令令 ，得，得 ，或，或 下面分两种情况讨论：下面分两种情况讨论：（1）当）当 ，即，即 时；时；（2）当）当 ，即，即 ，或，或 时。时。当当 变化时，变化时， 的变化情况如下表：的变化情况如下表： 33f xxx x fx f x, 1 1,11,20011单调递增单调递减单调递减当当 时时, , 有极小值，并且极小值为有极小值，并且极小值为 2. 0fx 当当 时时, 有极大值，并且极大值为有极大值，并且极大值为 23 3fxx 23 30fxx 1x 1.x 0fx 11x 1x 1x 2)(xf)(xf2.1x1x x ,fxf x课堂总结课堂总结: 一、方法一、方

9、法: : (1)(1)确定函数的定义域确定函数的定义域(2)(2)求导数求导数f f (x(x) )(3)(3)求方程求方程f f (x(x) ) =0=0的全部解的全部解(4)(4)检查检查f f (x(x) )在在f f (x(x) ) =0=0的根左的根左, ,右两边值的符号右两边值的符号, ,如果左正如果左正右负右负( (或左负右正或左负右正),),那么那么f(xf(x) )在这个根取得极大值在这个根取得极大值( (或极小值或极小值) )二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题值，并

10、能应用函数的极值解决函数的一些问题作业：作业：今天我们学习函数的极值今天我们学习函数的极值, ,并利用导数求函数的极值并利用导数求函数的极值思考：思考：已知函数已知函数 在在 处取得极值处取得极值 求函数求函数 的解析式的解析式 322f xaxbxx2,1xx f x f x解解： 在在 取得极值，取得极值， 即即 解得解得 2322fxaxbx2,1xx 124203220abab11,32ab 3211232f xxxx0) 1 (, 0)2( ff已知函数已知函数 其中其中 323( )43coscos ,16f xxx,02xR为参数，且(1)当当 时时,判断函数判断函数 是否有极值

11、是否有极值cos0()fx(2)要使函数要使函数 的极小值大于零的极小值大于零,求参数求参数 的的取值范围取值范围( )f x谢谢 谢谢 大大 家家 yfx6x5x4x3x2x1xabxy （1 1）如图是函数）如图是函数 的图象的图象, ,试找出函数试找出函数 的的 极值点极值点, ,并指出哪些是极大值点并指出哪些是极大值点, ,哪些是极小值点？哪些是极小值点？o（2）如果把函数图象改为导函数）如果把函数图象改为导函数 的图象的图象? ? yfx yf x yf x答：答： yfx1、x1,x3,x5,x6是函数是函数y=f(x)的极值点，其中的极值点，其中x1,x5是函是函数数y=f(x)

12、的极大值点，的极大值点，x3,x6函数函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。2、x2,x4是函数是函数y=f(x)的极值点的极值点,其中其中x2是函数是函数y=f(x)的极大值点，的极大值点，x4是函数是函数y=f(x)的极小值点。的极小值点。导数值为导数值为0 0的点一定是函数的极值点吗的点一定是函数的极值点吗? ?（1）极值是一个）极值是一个局部概念局部概念。由定义，极值只是某个。由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小。（2）函数的极值）函数的极值不是唯一的不是唯一的。即一个函数在某区间。即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。上或定义域内极大值或极小值可以不止一个。（3）极大值与极小值之间）极大值与极小值之间无确定的大小关系无确定的大小关系。即一个。即一个函数的极大值未必大于极小值。函数的极大值未必大于极小值。（4）函数的极值点）函数的极值点一定出现在区间的内部一定出现在区间的内部，区间的端，区间的端点不可能成为极值点。点不可能成为极值点。（5） 是是 为可导函数为可导函数 的极值点的的极值点的必要不充分条件必要不充分条件。0)( af( )yf xxa