选修简单曲线的极坐标方程学习教案

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1、会计学1第一页，共26页。3 3、极坐标与直角坐标、极坐标与直角坐标(zh jio zu (zh jio zu bio)bio)的互化公式的互化公式复习复习(fx)(fx)1、极坐标系的四要素、极坐标系的四要素(yo s)2 2、点与其极坐标一一对应的条件、点与其极坐标一一对应的条件极点；极轴；长度单位；角度单位极点；极轴；长度单位；角度单位及它的正方向。及它的正方向。)0(tan,222 xxyyx sin,cos yx)2 , 0, 0 (1)、直角坐标是、直角坐标是 (x, y) 极坐标是极坐标是 (,)(2)、极坐标是、极坐标是 (,) 直角坐标是直角坐标是 (x, y) 第1页/共2

2、6页第二页，共26页。(1)曲线曲线C上点的坐标上点的坐标(zubio)都是这个方程都是这个方程f(x,y)=0的解的解;(2)以这个方程以这个方程f(x,y)=0的解为坐标的解为坐标(zubio)的点都的点都是曲线是曲线C上上. 在直角坐标系中在直角坐标系中,如果某曲线如果某曲线C可以用方程可以用方程f(x,y)=0表表示，曲线与方程满足示，曲线与方程满足(mnz)如下的关系如下的关系:在极坐标中在极坐标中,曲线曲线(qxin)上任一点的坐标上任一点的坐标是否符合方程是否符合方程f(,)=0 ；xyOM( (x, ,y) )rCx2+y2=r2第2页/共26页第三页，共26页。第3页/共26

3、页第四页，共26页。xyOM( (x, ,y) )2Cx2+y2=22M(,)M(2,)=2两种方程(fngchng)能不能互化第4页/共26页第五页，共26页。xC(a,0)O第5页/共26页第六页，共26页。C(a,0)OxM( , ) )1.(.cos2),(,即中以外的任意一点(y din)，那么OMAM 。 ，为圆上除点设，那么(n me)解：圆经过极点O 。设圆与极轴的另一个(y )交点是Aa|OA| cos OM在Rt DAMOAOMOA) 1 ()0 ,2(),2, 0(的坐标满足等式可以验证，点aAOA的点都在这个圆上。等式，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面坐标就是圆上

4、任意一点的极所以，等式) 1 (),() 1 (能否写出对应直角坐标方程两种方程能不能互化第6页/共26页第七页，共26页。C(a,0)Ox圆的极坐标方程圆的极坐标方程(fngchng)(fngchng)：M( , ) cos2a思路(sl)分析：（1）任取一点(y din)，标出与（2）找出边角共存的三角形（3）列出三角形的边角关系式（4）对特殊点作检验第7页/共26页第八页，共26页。求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程()中心在极点中心在极点(jdin)，半径为，半径为3；()中心在中心在(a,0)，半径为半径为a；()中心在中心在(a,/2)，半径为，半径为a； 3 a 若若raC

5、(a,0)OxM( , ) A 2acos AC(a, /2)OxM( , ) 2asin 第8页/共26页第九页，共26页。()中心中心(zhngxn)在在(a, )，半径为，半径为a AC(a, )OxM( , )0cos()a第9页/共26页第十页，共26页。以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为半径为半径(bnjng)的圆的方程是的圆的方程是 .2cos.2sin44.2cos1.2sin1ABCDC AC(a, )OxM( , )第10页/共26页第十一页，共26页。41)42()42(02222sin22cos224sinsin4coscos22222yxy

6、xyx即解：cos()4把极坐标方程转化为直角坐标系下的方程第11页/共26页第十二页，共26页。5),25,235(25)25()235(535sin5cos35sin5cos3522222半径是所以圆心为化为标准方程是即化为直角坐标为得两边同乘以解：yxyxyx5 3 co3s5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐标例 ：和半径。第12页/共26页第十三页，共26页。14sin练习：、曲线的极坐标方程 化为直角坐标方程2.曲线极坐标方程 cos( -)=1化为直角坐6标方程4)2(22 yx20 xy第13页/共26页第十四页，共26页。222223020 xyxyxyxyx（）直角坐标方程

7、的极坐标方程为（）直角坐标方程 的极坐标方程为（）直角坐标方程的极坐标方程为（）直角坐标方程的极坐标方程为例：cos3 sin0cossin10 3cos3第14页/共26页第十五页，共26页。sin(4)练习：说明下列极坐标方程表示什么曲线（） cos( -)4(2) cos(- )3(3) 3 第15页/共26页第十六页，共26页。22例1:第16页/共26页第十七页，共26页。直线直线(zhxin)(zhxin)的极坐标的极坐标方程方程第17页/共26页第十八页，共26页。答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程(fngchng)就

8、是就是找出曲线上动点的坐标找出曲线上动点的坐标与与之间之间的关系，然后列出方程的关系，然后列出方程(fngchng)(,)=0 ，再化简并，再化简并讨论。讨论。怎样怎样(znyng)求曲线的极坐标方程求曲线的极坐标方程？第18页/共26页第十九页，共26页。例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线的极坐标方程。的极坐标方程。4 oMx4 分析分析(fnx)：如图，所求的射线如图，所求的射线上任一点的极角都上任一点的极角都是是 ，其，其/ 4 极径可以极径可以(ky)取任意的非负数。故取任意的非负数。故所求所求直线直线(zhxin)的极坐的极坐标方程为标方程为(0)4 新课讲

9、授新课讲授第19页/共26页第二十页，共26页。1、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的射线的极的射线的极坐标方程。坐标方程。54 易得易得5(0)4 思考思考(sko)：2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极坐标方程。坐标方程。4 544 或或第20页/共26页第二十一页，共26页。 和前面的直角坐标系里直线方程的和前面的直角坐标系里直线方程的表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示形式比较起来，极坐标系里的直线表示起来很不方便，要用两条射线表示起来很不方便，要用两条射线(shxin)组合而成。原因在哪？组合而成。原因在哪？0 为了弥补这个不足，可以考虑允许极为了弥补这

10、个不足，可以考虑允许极径可以取全体实数。则上面的直线径可以取全体实数。则上面的直线(zhxin)的极坐标方程可以表示为的极坐标方程可以表示为()4R 和和5()4R 第21页/共26页第二十二页，共26页。例题例题(lt)2、求过点、求过点A(a,0)(a0)，且，且垂直于极轴的直线垂直于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。解：如图，设点解：如图，设点( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任意外的任意(rny)一点，连接一点，连接OMox AM在在 中有中有 Rt MOAD DcosOMMOAOA即即cosa 可以验证可以验证(ynzhng)，点，点A的坐标也满的坐标也满足上式。足

11、上式。a第22页/共26页第二十三页，共26页。求直线的极坐标方程求直线的极坐标方程(fngchng)步骤步骤1、根据、根据(gnj)题意画出草题意画出草图；图；2、设点、设点 是直是直线上任意一点；线上任意一点；( , )M 3、连接、连接(linji)MO；4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简；, 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。o AMa第23页/共26页第二十四页，共26页。例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线(zhxin) 过过点点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线(z

12、hxin) 的极的极坐标方程。坐标方程。 11(,) lloxMP 1 1 解：如图，设点解：如图，设点( , )M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM为直线上除为直线上除则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM1OP 1xOP 在在中中MOPD D1,()OMPOPM 由正弦由正弦(zhngxin)定理得定理得11sin()sin() 11sin()sin()显然显然(xinrn)点点P的坐标也是的坐标也是它的解。它的解。第24页/共26页第二十五页，共26页。2.直线(zhxin)的几种极坐标方程1) 1) 过极点过极点(jdin)(jdin)2) 2) 过某个定点，且垂直于极轴过某个定点，且垂直于极轴3) 3) 过某个定点，且与极轴成一定过某个定点，且与极轴成一定 的角度的角度第25页/共26页第二十六页，共26页。