精解三角函数的周期性
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1、 . . 精解三角函数的周期性一、正弦函数的周期三角函数,以正弦函数 y = sin x为代表,是典型的周期函数.幂函数 y = x 无周期性,指数函数 y = ax 无周期性,对数函数 y =logax无周期,一次函数 y = kx+b、二次函数 y = ax2+bx+c、三次函数 y = ax3+bx2 + cx+d无周期性.周期性是三角函数独有的特性.1、正弦函数 y=sin x 的最小正周期在单位圆中,设任意角的正弦线为有向线段MP.正弦函数的周期性动点P每旋转一周,正弦线MP的即时位置和变化方向重现一次.同时还看到,当P的旋转量不到一周时,正弦线的即时位置包括变化方向不会重现.因此,
2、正弦函数y=sinx的最小正周期2.2、y=sin(x)的最小正周期设0,y =sin(x)的最小正周期设为L .按定义 y = sin (x+L) = sin(x+ L) = sinx .令x = x 则有 sin (x + L) = sin x因为sinx最小正周期是2,所以有例如 sin2x的最小正周期为sin的最小正周期为3、正弦函数 y=sin(x+) 的周期性对正弦函数sinx的自变量作“一次替代”后,成形式y = sin (x+).它的最小正周期与y = sinx的最小正周期相同,都是.如的最小周期与 y = sin(3x)相同,都是.于是,余弦函数的最小正周期与sinx的最小正
3、周期相同,都是2.二、复合函数的周期性将正弦函数 y = sin x 进行周期变换xx,sinxsinx后者周期变为而在以下的各种变换中,如(1)初相变换sinx sin( x+);(2)振幅变换sin(x +)Asin( x+);(3)纵移变换 Asin( x +) Asin( x+)+m;后者周期都不变,亦即 Asin( x +) +m与sin(x)的周期相同,都是.而对复合函数 f (sinx)的周期性,由具体问题确定.1、复合函数 f(sinx) 的周期性例题 研究以下函数的周期性:(1)2 sinx; (2)(2)的定义域为2k,2k+,值域为0,1,作图可知, 它是最小正周期为2的
4、周期函数.解答 (1)2sinx 的定义域为R,值域为,作图可知,它是最小正周期为2的周期函数.说明 从基本函数的定义域,值域和单调性出发,通过作图,还可确定,logax,sinx,sin(sinx)都是最小正周期2的周期函数.2、y= sin3x 的周期性对于y = sin3x =(sinx)3,L=2肯定是它的周期,但它是否还有更小的周期呢?我们可以通过作图判断,分别列表作图如下.图上看到,y = sin3x 没有比2更小的周期,故最小正周期为2.3、y= sin2x 的周期性对于y = sin2x = (sinx)2,L=2肯定是它的周期,但它的最小正周期是否为2?可以通过作图判定,分别
5、列表作图如下.图上看到,y = sin2x 的最小正周期为,不是2.4、sin2nx 和sin2n-1x 的周期性y = sin2x 的最小正周期为,还可通过另外一种复合方式得到.因为 cos2x 的周期是,故 sin2x的周期也是.sin2x的周期,由cosx的2变为sin2x的. 就是因为符号法“负负得正”所致.因此,正弦函数sinx的幂符合函数sinmx,当m=2n时,sinmx的最小正周期为;m = 2n1时,sinmx的最小正周期是2.5、幂复合函数举例例1 求 y =|sinx|的最小正周期.解答 最小正周期为.例2求的最小正周期.解答 最小正周期为2.例3 求的最小正周期.解答
6、最小正周期为.说明 正弦函数sinx的幂复合函数.当q为奇数时,周期为2;q为偶数时,周期为.三、周期函数的和函数两个周期函数,如 sin x 和 cosx ,它们最小正周期相同,都是2. 那么它们的和函数,即 sinx + cos x的最小正周期如何?和函数的周期与原有函数的周期保持不变. 这个结论符合一般情况.对于另一种情况,当相加的两个函数的最小正周期不相同,情况将会如何?1、函数 sinx + sin2 x 的周期性sin x的最小正周期为2,sin2x的最小正周期是,它们之间谁依谁,或依赖一个第三者?列表如下.表上看到函数sinx+sin2x的最小正周期是2.2、函数 sinx +
7、sin2x 的周期性依据上表,作sinx+sin2x 的图像如右.从图上看到,函数的最小正周期为2. 由sinx,sin2x的最小正周期中的大者决定,因为前者是后者的2倍.从图上看到,sinx+sin2x仍然是个“振动函数”,但振幅已经不是常数了.3、函数sinx+sinx的周期性sinx的最小正周期为2,sinx的最小正周期是3. 们之间的和sinx + sinx的最小正周期也由“较大的”决定吗?即“和函数”的周期为3吗?不妨按周期定义进行检验. 设则x0 +3=因此3不是sinx + sinx的最小正周期.通过作图、直观看到,sinx+sinx的最小正周期为6,即sinx和sinx最小正周期的最小倍数.6 / 6
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