2022年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式学案苏教版选修5

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1、2022年高中数学第三章不等式3.2一元二次不等式学案苏教版选修5 预习课本P7580，思考并完成以下问题 (1)什么样的不等式是一元二次不等式？ (2)如何求解一元二次不等式？ (3)怎样理解三个二次之间的关系？ 1一元二次不等式我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式叫做一元二次不等式，即形如ax2bxc0(0)或ax2bxc0(0)(其中a0)的不等式叫做一元二次不等式2一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的x的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如表判别式b24ac000)的

2、图象一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2)有两相等实根x1x2没有实数根ax2bxc0(a0) 的解集或xx2Rax2bxc0) 的解集1不等式9x26x10的解集是_解析：变形为(3x1)20，x.答案：2不等式2x35x20的解集是_解析：原不等式等价于x22x350，即(x5)(x7)0，即5x7.答案：x|5x2x的解集是_解析：由x22x52x得x24x50，因为方程x24x50的两根为1,5.故不等式x24x50的解为x5.答案：x|x54在R上定义运算：abab2ab，则满足x(x2)0的实数x的取值范围是_解析：根据定义，x(x2)x(x2)2

3、x(x2)x2x20，解得2x0；(2)25x210x10；(3)2x2x10的解集为x|x3或x0的解集为.(3)法一：方程2x2x10的解为x1，x21，函数y2x2x1的图象是开口向下的抛物线，与x轴的交点为和(1,0)，如图，观察图象知不等式的解集为.法二：在不等式两边同乘1，可得2x2x10，方程2x2x10的解为x1，x21；画出函数y2x2x1的图象如图所示观察图象，可得原不等式的解集为.一元二次不等式的2种方法(1)图象法：一般地，当a0时，解形如ax2bxc0(或0)或ax2bxc0(或0)的一元二次不等式，一般可分为三步：确定对应方程ax2bxc0的解；画出对应函数yax2

4、bxc的图象；由图象得出不等式的解集对于a0时的解题步骤求解；也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式，再求解(2)代数法：将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解，当p0，则xq或xp；若(xp)(xq)0，则pxq.有口决如下“大于取两边，小于取中间”活学活用1不等式x2x120的解集是_解析：由x2x120，解得x13，x24.不等式x2x120的解集是x|4x3答案：x|4x0; (2)x(4x)x(x3)3.解：(1)原不等式可化为2x23x20，(2x1)(x2)1.解法一：原不等式化为10，即0，所以x4与x3同号故有或解得x4或x3，所以原不等式的解集为x|x4法二

5、：原不等式化为0，等价于(x4)(x3)0，原不等式解集为x|x4简单的分式不等式在求解时多化为0，0的形式，在变形的过程中，要注意等价性，同时要注意不等式是否含有等号，如0或但不等价于f(x)g(x)0.活学活用不等式2的解集为_解析：2化为20，即0，即0.它等价于1x0.原不等式解集为x|1x0答案：x|1x0三个“二次”关系的应用典例已知一元二次不等式x2pxq0的解集为，求不等式qx2px10的解集解因为x2pxq0的解集为，所以x1与x2是方程x2pxq0的两个实数根，由根与系数的关系得解得所以不等式qx2px10即为x2x10，整理得x2x60，解得2x 3.即不等式qx2px1

6、0的解集为x|2x31一元二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程ax2bxc0的根，也是函数yax2bxc与x轴交点的横坐标2二次函数yax2bxc的图象在x轴上方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的；图象在x轴下方的部分，是由不等式ax2bxc0的x的值构成的，三者之间相互依存、相互转化 活学活用1已知x的不等式0的解集是(，1)，则a_.解析：0等价于(ax1)(x1)0.即ax2(a1)x10的解集为x|2x0的解集解：由题意知即代入不等式cx2bxa0，得6ax25axa0(a0)即6x25x10，解得xx的解集是_解析：由x2x，得x(x1)0，所以解

7、集为(，0)(1，)答案：(，0)(1，)2不等式(x2)0的解集为_解析：或x290，即或x3，即x3或x3.答案：(，333不等式组的解集为_解析：x210的解集为x|1x1，x23x0的解集为x|0x3，的解集为x|0x1答案：x|0x14关于x的不等式(ax2)(x1a)0的解集为A，若2A，则a的取值范围为_解析：因为2A，所以(2a2)(21a)0，得a(，1)(3，)答案：(，1)(3，)5不等式0的解集为_解析：不等式0等价于解得x2.答案：6函数ylog2(x24x3)的定义域为_解析：要使函数有意义，只需即解得3x3.答案：3,1)(3，)7若关于x的不等式2x28x4a0

8、在1x0即可即242844a0，解得a4.答案：(，4)8不等式1的解集为x|x2，那么a的值为_解析：1化为10，即0.等价于(a1)x1(x1)0.(a1)x2(a2)x10.1,2是方程(a1)x2(a2)x10的两个根解得a.答案：9求函数ylg(x22x3)的定义域解：依题意可得解得不等式组的解是2x1或3x0恒成立(1)当a0时，不等式为20，显然恒成立；(2)当a0时，有即所以0a2.综上可知，实数a的取值范围是0,2)层级二应试能力达标1不等式0的解为_解析：x(2x1)0，则AB_.解析：Ax|x25x40x|1x4，Bx|x25x60x|x3，所以ABx|1x2或3x4答案

9、：x|1x2或30的解集为(2,1)，则不等式ax2(ab)xca0的解集为(2,1)，a0，21，(2)1，ba，c2a，不等式ax2(ab)xca0为ax22ax3a0，(x3)(x1)0，x1.答案：(，3)(1，)4关于x的不等式axb0的解集是，则关于x的不等式0的解集是_解析：不等式axb0的解集是a0，且a2b0，则不等式0等价于0(x1)(x5)01x0的解集为，则2x2bxa0的解集为_解析：由题意知，是方程ax2bx20的两实根，由根与系数的关系得，解得2x2bxa0可化为2x22x120.即x2x60.(x3)(x2)0，解得2x3.2x2bxa0的解集为x|2x3答案：

10、x|2x36若关于x的不等式ax26xa20的解集是(1，m)，则m_.解析：根据不等式与方程之间的关系知1为方程ax26xa20的一个根，即a2a60，解得a2或a3，当a2时，不等式ax26xa20的解集是(1,2)，符合要求；当a3时，不等式ax26xa20的解集是(，3)(1，)，不符合要求，舍去故m2.答案：27已知集合Ax|x22x30，xR，Bx|x22mxm240，xR，mR(1)若AB0,3，求实数m的值；(2)若ARB，求实数m的取值范围解：由已知得Ax|1x3，Bx|m2xm2，(1)AB0,3，m2.(2)RBx|xm2ARB，m23或m25或m0的解集为(1，t)，记

11、函数f(x)ax2(ab)xc.(1)求证：函数yf(x)必有两个不同的零点；(2)若函数yf(x)的两个零点分别为m，n，求|mn|的取值范围解：(1)证明：由题意知abc0，且1，a1，ac0，对于函数f(x)ax2(ab)xc有(ab)24ac0，函数yf(x)必有两个不同的零点(2)|mn|2(mn)24mn284，由不等式ax2bxc0的解集为(1，t)可知，方程ax2bxc0的两个解分别为1和t(t1)，由根与系数的关系知t，|mn|2t28t4，t(1，)|mn|，|mn|的取值范围为(，)第二课时一元二次不等式的解法及其应用(习题课)解含参数的一元二次不等式典例已知a0，解关于

12、x的不等式(x2)(ax2)0.解当a0时，原不等式可化为(x2)0.(1)当0a1时，两根的大小顺序为21时，两根的大小顺序为2，原不等式的解集为.综上所述，当0a1时，原不等式解集为.解含参数的不等式时，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式再对参数进行讨论；若不易分解因式则可对判别式分类讨论；若二次项系数含有参数，则应先考虑二次项系数为零的情形，然后考虑二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；其次，对相应的方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集另外，注意参数的取值范围，并在此范围内进行分类讨论活学活用解关于x的不等式ax222xax(a0)解：原不等式可变形为ax2(a2)x20，(

13、1)当a0时，原不等式的解集为x|x1；(2)当a0时，原不等式可变形为(ax2)(x1)0，方程(ax2)(x1)0的解为x1，x21.所以不等式的解集为.综上，a0时，原不等式的解集为x|x1；a0时，原不等式的解集为.一元二次不等式的实际应用典例某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x.设年利润(出厂价投入成本)年销售量(1)写出本年度预计的年利润y与投入成

14、本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？解(1)依题意，得y1.2(10.75x)(1x)1 000(10.6x)1 000(0.06x20.02x0.2)，所以本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式为y1 000(0.06x20.02x0.2)(2)依题意，得1 000(0.06x20.02x0.2)(1.21)1 000，化简，得3x2x0，解得0x.所以为使本年度的年利润比上年有所增加，投入成本增加的比例x的范围是.解不等式应用题的4个步骤(1)认真审题，抓住问题中的关键词，找准不等关系；(2)引入数学符号，用不等

15、式表示不等关系，使其数学化；(3)求解不等式；(4)还原实际问题活学活用某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏，为了使这批台灯每天获得400元以上(不含400元)的销售收入，应怎样制订这批台灯的销售价格？解：设这批台灯的销售价定为x元，则30(x15)2x400，即x230x2000，因方程x230x2000的两根为x110，x220，所以x230x2000的解为10x20，又因为x15，所以15x0，(x2)mx24x4，因为x1,1，所以x20，所以m(x2)，所以m1.即m的取值范围为(，1)3变条件、变设问对任意m

16、1,1，函数f(x)x2(m4)x42m的值恒大于零，求x的取值范围解：由f(x)x2(m4)x42m(x2)mx24x4，令g(m)(x2)mx2 4x4.由题意知在1,1上，g(m)的值恒大于零，所以解得x3.故当x3时，对任意的m1,1，函数f(x)的值恒大于零解决不等式恒成立问题的2种思路(1)转化成含有参数的不等式，借助对应函数图象，找到满足题目要求的条件，构造含参数的不等式(组)，求得参数范围；(2)分离参数，通过求函数的最值，进而确定参数的范围 层级一学业水平达标1若a0的解集是_解析：x24ax5a20化为(x5a)(xa)0，a0，5aa或x5a.答案：x|xa2已知a1 的

17、解集是_解析：不等式1可化为0，不等式等价于(a1)(x2)0.a0，不等式等价于(x2)0.2.原不等式的解集为.答案：3如果Ax|ax2ax10，则实数a的取值范围为_解析：当a0时，有10，故A成立；当a0时，要使A，须满足0a21，即a22a30.1a0在R上恒成立， 则实数a的取值范围是_解析：x2ax2a0恒成立0，即a242a0，解得0a8.答案：(0,8)6若不等式x2(a1)xa0的解集是4,3的子集，则a的取值范围是_解析：原不等式即(xa)(x1)0，当a1时，不等式的解集为a,1，此时只要a4即可，即4a1时，不等式的解集为1，a，此时只要a3即可，1a3.综上可得4a

18、3.答案：4,37不等式x22x5a23a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为_解析：x22x5(x1)24的最小值为4，所以x22x5a23a对任意实数x恒成立，只需a23a4，解得1a4.答案：1,48如果不等式0对一切xR恒成立，从而原不等式等价于2x22mxm0对一切实数x恒成立(62m)28(3m)4(m1)(m3)0，解得1m0恒成立，求实数a的取值范围解：令f(x)x2ax222，(1)当a0时f(x)在(0，)为单调递增的f(0)20，故a0时，x2ax20恒成立(2)当a0时f(x)x2ax2的对称轴为x.当x(0，)时，f(x)min2.若x2ax20在x(0，)恒成立

19、，只要20即可，0a0在(0，)恒成立，则实数a的取值范围为(，2)10已知不等式ax23x64的解集为x|xb(1)求a，b；(2)解不等式ax2(acb)xbc4的解集为x|xb，x1与xb是方程ax23x20的两个实数根，且b1.由根与系数的关系，得解得(2)原不等式ax2(acb)xbc0，可化为x2(2c)x2c0，即(x2)(xc)2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|2xc；当c2时，不等式(x2)(xc)0的解集为x|cx2；当c2时，不等式(x2)(xc)2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|2xc；当c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为x|cx2；当

20、c2时，不等式ax2(acb)xbc0的解集为.层级二应试能力达标1不等式x22x3a23a2在R上的解集为，则实数a的取值范围是_解析：x22x(a23a5)0的解集为，44(a23a5)0，a23a40，1a0恒成立，则x的取值范围为_解析：设f(a)x2(a6)x93a(x3)ax26x9，由已知条件得即x5.即x的取值范围为(，0)(5，)答案：(，0)(5，)3关于x的不等式ax22xa0的解集为R，则实数a的取值范围是_解析：当a0时，易知条件不成立；当a0时，要使不等式ax22xa0的解集为R，必须满足解得a1.答案：(1，)4关于x的不等式x2axc0的解集为(m，m6)，则实

21、数c_.解析：由x2axc0，得2c，即x，6.解得c9.答案：95在R上定义运算：xyx(1y)若不等式(xa)(xa)1对任意实数x都成立，则a的取值范围为_解析：(xa)(xa)1对任意实数x成立，即(xa)(1xa)0恒成立，14(a2a1)0，a.答案：6若0，不等式的解集是，显然不适合题意；(2)m0，()当m1时，不等式化为(x1)20，对于x1均成立；()当1m0时，不等式的解集是，要使不等式0(m0)对一切x4恒成立，必须4，结合1m0，解得1m；()当m70n3n(n1)n，整理，得n211n2900，得n12.4，因为nN，故取n13.答：经过13个月改革后的累计纯收入高

22、于不改革时的累计纯收入8已知不等式mx22xm10，(1)若对任意实数x不等式恒成立，求m的取值范围(2)若对一切m2,2不等式恒成立，求x的取值范围解：(1)不等式mx22xm10恒成立，即函数f(x)mx22xm1的图象全部在x轴下方当m0时，不等式变为12x0，对任意实数x不恒成立，故m0不满足；当m0时，函数f(x)mx22xm1为二次函数，需满足图象开口向下且方程mx22xm10无解，即则m无解综上可知不存在这样的m，使不等式恒成立(2)设g(m)(x21)m(12x)，当x210时，即x1，检验得x1时符合题意，当x21时，则其为一个以m为自变量的一次函数，其图象是直线，由题意知该直线当2m2时在x轴下方，即解，得x，解，得x.由，得x，且x1，综上得x的取值范围为.