2022届高考数学二轮复习 大题标准练（四）

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1、2022届高考数学二轮复习 大题标准练（四）1.已知an是等比数列,bn满足b1=-2,b2=5,且a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n.(1)求an的通项公式和前n项和Sn.(2)求bn的通项公式.【解析】(1)因为a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n,所以a1b1=2-4=-2,a1b1+a2b2=2+(4-3)42=18,a2b2=20,b1=-2,b2=5,a1=1,a2=4,因为an是等比数列,=4,所以an的通项公式为an=4n-1,所以an的前n项和Sn=.(2)由an=4n-1及a1b1+a2b2+anbn=2+(2n-3)4n,得b1+4b2+4n

2、-1bn=2+(2n-3)4nn2时,b1+4b2+4n-2bn-1=2+(2n-5)4n-1 -得,当n2时,4n-1bn=2+(2n-3)4n-2-(2n-5)4n-1=(6n-7)4n-1,所以n2时,bn=6n-7 .又当n=1时,b1=-2,所以bn的通项公式为bn=2.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ACC1A1与侧面CBB1C1都是菱形,ACC1=CC1B=60,AC=2 .(1)证明:AB1CC1.(2)若三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3,求二面角B1-AC-C1的余弦值.【解析】(1)取CC1的中点O,连接AO,AC1,B1C,B1O,由菱形的性质及ACC1=C

3、C1B1=60.得ACC1,B1CC1为正三角形.所以AOCC1,B1OCC1,且AOB1O=O.所以CC1平面AOB1,因为AB1平面AOB1,所以CC1AB1.(2)三棱锥A-A1B1C1的体积是三棱柱ABC -A1B1C1体积的三分之一,得四棱锥A-BCC1B1的体积是三棱柱ABC-A1B1C1体积的三分之二,即等于2.菱形BCC1B1的面积为=22sin 60=2.设四棱锥A-BCC1B1的高为h,则2h=2,所以h=,又AO=h,AO平面BCC1B1,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,),B1(,0,0),C(0,-1,0).=(,1,0),=(0,1,),设平面CAB1的

4、一个法向量为n1=(x,y,z),则取一个法向量为n1=(,-3,),显然n2=(1,0,0)是平面C1CA的一个法向量.则cos =.所以二面角B1-AC-C1的余弦值为.3.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.在购进机器时,可以一次性额外购买几次维修服务,每次维修服务费用200元,另外实际维修一次还需向维修人员支付小费,小费每次50元.在机器使用期间,如果维修次数超过购机时购买的维修服务次数,则每维修一次需支付维修服务费用500元,无需支付小费.现需决策在购买机器时应同时一次性购买几次维修服务,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内的维修次数,得下面统计表:维修次数

5、89101112频数1020303010以这100台机器维修次数的频率代替1台机器维修次数发生的概率,记X表示1台机器三年内共需维修的次数,n表示购买1台机器的同时购买的维修次数.(1)求X的分布列.(2)若要求P(Xn)0.8,确定n的最小值.(3)以在维修上所需费用的期望值为决策依据,在n=10与n=11之中选其一,应选用哪个?【解析】(1)由统计表并以频率代替概率可得,X的分布列为X89101112p0.10.20.30.30.1(2)因为P(X10)=0.1+0.2+0.3=0.60.8,所以n的最小值为11.(3)记当n=10时,在维修上所需费用为Y1元,则Y1的分布列为Y12 40

6、02 4502 5003 0003 500p0.10.20.30.30.1所以E(Y1)=2 4000.1+2 4500.2+2 5000.3+3 0000.3+3 5000.1=2 730(元).记当n=11时,在维修上所需费用为Y2元,则Y2的分布列为Y22 6002 6502 7002 7503 250p0.10.20.30.30.1所以E(Y2)=2 6000.1+2 6500.2+2 7000.3+2 7500.3+3 2500.1=2 750(元).因为E(Y1)0)的焦点为F,准线为l.已知点M在抛物线E上,点N在l上,MNF是边长为4的等边三角形.(1)求p的值.(2)若直线A

7、B是过定点Q(2,0)的一条直线,且与抛物线E交于A,B两点,过Q作AB的垂线与抛物线E交于C,D两点,求四边形ACBD面积的最小值.【解析】(1)由题意知 |MF|=|MN|,则MNl.设准线l与x轴交于点H,则MNHF,又MNF是边长为4的等边三角形,MNF=60,所以NFH=60,即p=2.(2)设直线AB的方程为x=my+2,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立得y2-4my-8=0,则y1+y2=4m,y1y2=-8,|AB|=|y1-y2|=4,设C(x3,y3),D(x4,y4),同理得|CD|=4,则四边形ACBD的面积S=|AB|CD|=8=8,令m2+=(2),则S=

8、8=8,所以S=8是关于的增函数,故Smin=48,当且仅当m=1时取得最小值48.5.已知函数f(x)=,g(x)=x+b,其中a0,b0.(1)若a=1,讨论F(x)=f(x)-g(x)的单调区间.(2)若b=2a-1,且x1,x2是(x)=xf(x)-g(x)的两个极值点,求证:当|x1-x2|时,|(x1)-(x2)|-4ln 2.【解析】(1)由已知得F(x)=f(x)-g(x)=-x-b,所以F(x)=-1= .当01时,因为1-x20,-ln x0,所以1-x2-ln x0,即a,得,由a0,解得a2,所以(x)在上递减,在上递增,在(-a,+)上递减.于是(x)在x=处取极小值

9、,在x=-a处取极大值(-a).从而|(x1)-(x2)|=(-a)-=aln (-a)+a2+aln 2-,令t=-a(2,+),则h(t)=|(x1)-(x2)|=-tln t+t2-tln 2-,则h(t)=2t-ln t-ln 2-1,令G(t)=h(t)=2t-ln t-ln 2-1,则G(t)=2-,因为t(2,+),所以G(t)=2-0,则G(t)递增,所以G(t)G(2)=3-2ln 20,即h(t)0,所以h(t)递增,于是h(t)h(2)=-4ln 2,即|(x1)-(x2)|-4ln 2.6.曲线C1的方程为+y2=1,曲线C2的参数方程为(为参数),曲线C3的方程为y=

10、xtan ,曲线C3与曲线C1,C2分别交于P,Q两点.在平面直角坐标系xOy中,以原点O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(1)求曲线C1,C2的极坐标方程.(2)求|OP|2|OQ|2的取值范围.【解析】(1)因为x=cos ,y=sin ,所以曲线C1的极坐标方程为+2sin2=1,即2=.由(为参数),消去,即得曲线C2的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,将x=cos ,y=sin 代入化简可得曲线C2的极坐标方程为=2sin .(2)曲线C3的极坐标方程为=由(1)得|OP|2=,|OQ|2=4sin2,即|OP|2|OQ|2= .因为0,所以0sin 1,所以|OP|2

11、|OQ|2(0,4).7.已知函数f(x)=|3x+1|+|3x-1|,M为不等式f(x)|a+b|.【解析】(1)f(x)=|3x+1|+|3x-1|6,当x-时,f(x)=-3x-1-3x+1=-6x,由-6x-1,所以-1x-;当-x时,f(x)=3x+1-3x+1=2,2时,f(x)=3x+1+3x-1=6x,由6x6解得x1,所以x1.综上,f(x)6的解集M=x|-1x1.(2)(ab+1)2-(a+b)2=a2b2+2ab+1-(a2+b2+2ab)=a2b2-a2-b2+1=(a2-1)(b2-1),由a,bM得|a|1,|b|1 所以a2-10,b2-10,所以|ab+1|a+b|.