2022届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第1讲 函数图象与性质、函数与方程教案 理

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1、2022届高考数学二轮复习 第一篇 专题二 函数与导数 第1讲 函数图象与性质、函数与方程教案 理1.(2018全国卷,理3)函数f(x)=的图象大致为(B)解析:因为y=ex-e-x是奇函数,y=x2是偶函数,所以f(x)=是奇函数,图象关于原点对称,排除A选项.当x=1时,f(1)=e-0,排除D选项.又e2,所以1,排除C选项.故选B.2.(2018全国卷,理7)函数y=-x4+x2+2的图象大致为(D)解析:法一f(x)=-4x3+2x,则f(x)0的解集为-,-0,即f(x)单调递增区间为-,-,0,;f(x)2,所以排除C选项.故选D.3.(2018全国卷,理11)已知f(x)是定

2、义域为(-,+)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+f(50)等于(C)(A)-50(B)0(C)2(D)50解析:因为f(x)是奇函数,且f(1-x)=f(1+x),则f(x)=f(2-x)=-f(x-2)=-f(x-4)=f(x-4),所以函数f(x)是周期为4的周期函数.由f(x)为奇函数得f(0)=0.又因为f(1-x)=f(1+x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,所以f(2)=f(0)=0,所以f(-2)=0.又f(1)=2,所以f(-1)=-2,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=f(1)+f(2)+f(-1)+

3、f(0)=2+0-2+0=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(49)+f(50)=012+f(49)+f(50)=f(1)+f(2)=2+0=2.故选C.4.(2018全国卷,理9)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a.若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是(C)(A)-1,0)(B)0,+)(C)-1,+)(D)1,+)解析:令h(x)=-x-a,则g(x)=f(x)-h(x).在同一坐标系中画出y=f(x),y=h(x)图象的示意图,如图所示.若g(x)存在2个零点,则y=f(x)的图象与y=h(x)的图象有2个交点,平移y=h(x)的图象,可知当直线y=-x-a

4、过点(0,1)时,有2个交点,此时1=-0-a,a=-1.当y=-x-a在y=-x+1上方,即a-1时,有2个交点,符合题意.综上,a的取值范围为-1,+).故选C.5.(2017全国卷,理11)设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则(D)(A)2x3y5z(B)5z2x3y(C)3y5z2x(D)3y2x1),两边分别取对数得xln 2=yln 3=zln 5=ln k,所以2xln 2=2ln k,所以2x=.同理3y=,5z=,所以=1,所以2x3y,=1,所以2x2x3y.故选D.6.(2016全国卷,理12)已知函数f(x)(xR)满足f(-x)=2-f(x),若函数y=与y=f

5、(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym),则(xi+yi)等于(B)(A)0(B)m(C)2m(D)4m解析:因为f(-x)=2-f(x),所以f(-x)+f(x)=2.因为=0,=1,所以函数y=f(x)的图象关于点(0,1)对称.函数y=1+,故其图象也关于点(0,1)对称.所以函数y=与y=f(x)图象的交点(x1,y1),(x2,y2),(xm,ym)成对出现,且每一对均关于点(0,1)对称.所以xi=0,yi=2=m,所以(xi+yi)=m.故选B.7.(2017全国卷,理15)设函数f(x)=则满足f(x)+fx-1的x的取值范围是.解析:当x0时,f(x)

6、+fx-=x+1+x-+11,即x-,所以-x0.当01,即2x+x,显然成立,所以0时,f(x)+fx-=2x+1,也成立,所以x.由可得x-.答案:-,+1.考查角度全面考查函数的概念、表示方法,函数的单调性、奇偶性、周期性的应用,函数图象的识别判断和应用,考查函数与方程.2.题型及难易度选择题、填空题,易、中、难三种题型均有.(对应学生用书第911页) 函数的性质【例1】 (1)(2018天津滨河新区八校联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,对任意两个不相等的正数x1,x2,都有0,记a=,b=,c=,则()(A)acb(B)abc(C)cba(D)bca(2)(2018湖南省两市九月

7、调研)定义在R上的函数f(x),满足f(x+5)=f(x),当x(-3,0时,f(x)=-x-1,当x(0,2时,f(x)=log2x,则f(1)+f(2)+f(3)+f(2 018)的值等于()(A)403(B)405(C)806(D)809(3)(2018湖南省永州市高三一模)定义maxa,b,c为a,b,c中的最大值,设M=max2x,2x-3,6-x,则M的最小值是()(A)2(B)3(C)4(D)6解析:(1)设0x10,所以函数g(x)=在(0,+)上单调递减,因为f(x)是定义在R上的奇函数,所以g(x)是定义在(-,0)(0,+)上的偶函数,因此a=g(4.10.2)g(0.4

8、2)g(0.5),c=g(log0.24.1)=g(log54.1)(g(1),g(0.5),即ac0,0等.(2)注意函数周期性的几种呈现形式,如下均是以2为周期的函数的呈现形式f(x-2)=f(x),f(x-1)=f(x+1),f(x+1)=-f(x),f(x+1)=.(3)函数的奇偶性的主要用途是实现函数值f(a),f(-a)的转化,注意其图象的对称性的应用.热点训练1:(1)(2017天津卷)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为()(A)abc(B)cba(C)bac(D)bca

9、(2)(2017山东卷)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x-3,0时,f(x)=6-x,则f(919)=.解析:(1)依题意a=g(-log25.1)=(-log25.1)f(-log25.1)=log25.1f(log25.1)=g(log25.1).因为f(x)在R上是增函数,可设0x1x2,则f(x1)f(x2).从而x1f(x1)x2f(x2),即g(x1)0,20.80,30,且20.821=log24log25.1log25.120.80,所以cab.故选C.(2)因为f(x+4)=f(x-2),所以f(x+2)+4)=f(x+2)-2),即f(

10、x+6)=f(x),所以f(x)是周期为6的周期函数,所以f(919)=f(1536+1)=f(1).又f(x)是定义在R上的偶函数,所以f(1)=f(-1)=6,即f(919)=6.答案:(1)C(2)6函数的图象【例2】 (1)(2018陕西省西工大八模)函数y=ex(2x-1)的示意图是()(2)(2018泸州模拟)已知偶函数f(x)=且f(x-8)=f(x),则函数F(x)=f(x)-在区间-2 018,2 018的零点个数为()(A)2 020(B)2 016(C)1 010(D)1 008解析:(1)y=2ex+ex(2x-1)=ex(2x+1),令y0,得函数y=ex(2x-1)

11、在-,+上递增,令y0,得函数y=ex(2x-1)在-,-上递减,又因为x=0时,y=-1,所以排除B,C,D.故选A.(2)当4x8时,f(x)=f(8-x),故而f(x)在(0,8)上的函数图象关于直线x=4对称;因为f(x-8)=f(x),所以f(x)的周期为T=8,作出y=f(x)和y=在(0,8)上的函数图象如图所示,由图象可知f(x)在一个周期内与y=有4个交点,所以F(x)在0,2 018上有2524+2=1 010个交点,又f(x)与y=是偶函数,所以F(x)在-2 018,2 018的零点个数为1 0102=2 020.故选A.函数图象主要有两类问题.(1)函数图象的识别:基

12、本方法是根据函数的性质(奇偶性、单调性、周期性)以及特殊点的函数值,采用排除法找到符合要求的函数图象.(2)函数图象的应用:利用函数图象解决函数的零点个数的判断(见热点三),利用函数图象的对称性求解函数值之和或者自变量之和等,常见的结论是“如果f(a-x)=f(a+x)对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称;如果f(a-x)+f(a+x)=2b对任意x恒成立,则函数y=f(x)的图象关于点(a,b)中心对称,以及上述两个结论的各种等价形式”.热点训练2:(1)(2018淮北一模)函数f(x)=+ln |x|的图象大致为()(2)(2018广西钦州第三次质检)设函数f(x)=

13、2sin2x与函数y=的图象在区间-,上交点的横坐标依次为x1,x2,xn,则xi等于()(A)4(B)2(C)0(D)6解析:(1)当x0时,函数f(x)=+ln x,此时,f(1)=+ln 1=1,而选项A的最小值为2,故可排除A,只有B正确.故选B.(2)函数y=-与y=2sin2x的图象有公共的对称中心,0,从图象知它们在区间-,上有八个交点,分别为四对对称点,每一对的横坐标之和为1,故所有的横坐标之和为4.故选A.函数与方程考向1判断函数零点个数【例3】 (1)(2018江西九校联考)已知函数f(x)=(e为自然对数的底数),则函数y=f(f(x)-f(x)的零点的个数为()(A)2

14、(B)3(C)4(D)5(2)(2018福建泉州5月质检)设函数f(x)=则函数F(x)=f(x)+x的零点个数是.解析:(1)令u=f(x),对函数y=f(f(x)-f(x)求零点,由f(u)-u=0,得f(u)=u,所以或解得u=e或u=-2.当u=e时,由f(x)=e得或前一式解得x=e,后一式解得有两个负解.u=-2时,即f(x)=-2,无解或有两解,总之,共有解1+2+2=5(个),即函数有5个零点,故选D.(2)在同一个坐标系中画出函数f(x)=的图象和直线y=-x,如图所示.而函数F(x)=f(x)+x的零点个数即为函数f(x)=的图象和直线y=-x的交点的个数,从图中发现,一共

15、有两个交点,所以其零点个数为2.答案:(1)D(2)2(1)函数零点可以化为两个函数图象的交点问题解决,即通过把方程f(x)=0化为g(x)=h(x),则f(x)零点的个数即为函数y=g(x),y=h(x)图象的交点个数,这是解决函数零点问题的基本方法.(2)复合函数的零点问题常使用换元方法,把复合函数化为一个简单的函数,先研究这个简单函数的零点情况,再根据换元表达式研究原来的函数零点情况.考向2根据零点个数确定参数范围【例4】 (1)(2018安徽淮南二模)已知函数f(x)=则方程f(x)=kx恰有两个不同的实根时,实数k的取值范围是()(A)0,(B)0,(C),(D),(2)(2018福

16、建莆田第二次质检)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且满足f(x)=若函数F(x)=f(x)-m有六个零点,则实数m的取值范围是()(A)-,(B)-,00,(C)-,0(D)-,0解析:(1)因为方程f(x)=kx恰有两个不同实数根,所以y=f(x)与y=kx有两个交点,k表示直线y=kx的斜率,当x1时,y=f(x)=ln x,所以y=;设切点为(x0,y0),则k=,所以切线方程为y-y0=(x-x0),又切线过原点,所以y0=1,x0=e,k=,如图所示,结合图象,可得实数k的取值范围是,.故选C.(2)x0时,画出函数的图象如图所示,当0x2时,很容易画出图象,利用导数研究函数y

17、=(x2)的图象的走向,从而确定出其在2,3)上单调递减,在3,+)上单调递增,但是其一直落在x轴下方,因为f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数F(x)=f(x)-m有六个零点,等价于有三个正的零点,相当于函数f(x)的图象与直线y=m在y轴右侧有三个交点,观察图象可知m的取值范围是-,0,故选D.根据函数零点个数确定参数取值集合的基本思想是数形结合,即把方程f(x)=0化为g(x)=f(x),通过函数y=g(x),y=h(x)的交点个数确定参数值的集合.把方程f(x)=0化为g(x)=h(x)的基本思想是(1)如果参数能够分离,且分离参数后,另一端的函数性质较易研究,则采用分离参数的方法.

18、(2)如果参数不易分离,或者分离参数后另一端的函数性质较难研究,则尽可能把参数与x的一次式放在一起,这样含参数的函数图象为直线,利用直线与函数图象的交点确定参数范围.热点训练3:(1)(2018江西省新余一中二模)用a表示不大于实数a的最大整数,如1.68=1,设x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,则x1+x2等于()(A)2(B)3(C)4(D)5(2)(2018昆明一模)已知函数f(x)=若方程f(x)=2有两个解,则实数a的取值范围是()(A)(-,2)(B)(-,2(C)(-,5)(D)(-,5(3)(2018四川成都模拟一)已知函数f(x)=则函数F(x)=

19、f(f(x)-f(x)-1的零点个数是()(A)7(B)6(C)5(D)4解析:(1)因为x1,x2分别是方程x+ex=4,x+ln(x-1)=4的根,所以x1,x2分别是g(x)=x+ex-4及h(x)=x+ln(x-1)-4的零点,由于g(x)是单调递增函数,又g(1)0,所以1x1,由h(x)在定义域内递增且h(3)0,所以3x2,所以4x1+x25,所以x1+x2=4,故选C.(2)函数f(x)=当x1时,方程由f(x)=2,可得ln x+1=2,解得x=e,函数有一个零点,x1时,函数只有一个零点,即x2-4x+a=2,在x1时只有一个解.因为y=x2-4x+a-2开口向上,对称轴为

20、x=2,x1时,函数是减函数,所以f(1)2,可得-3+a2,解得abc(B)cba(C)bca(D)bac解析:(1)易知函数f(x)在0,+)上单调递减,又函数f(x)是定义在R上的偶函数,所以函数f(x)在(-,0上单调递增,则由f(1-x)f(x+m),得|1-x|x+m|,即(1-x)2(x+m)2,即g(x)=(2m+2)x+m2-10在xm,m+1上恒成立,则解得-1m-,即m的最大值为-.(2)函数y=f(x+1)的图象关于直线x=-1对称,将y=f(x+1)的图象向右平移1个单位得到y=f(x),则f(x)关于直线x=0即y轴对称,则函数f(x)是偶函数,当x0时,f(x)=

21、-x3+ln(1-x),为减函数,所以当x0时f(x)为增函数,因为log36=1+log32,log48=1+log42,log510=1+log52,且log32=,log42=,log52=,又0log23log240,即log32log42log520,则1+log321+log421+log521,即log36log48log5101,因为当x0时f(x)为增函数,所以f(log36)f(log48)f(log510),即abc.故选A.【例2】 (1)(2018洛阳一模)函数y=f(x)与y=g(x)的图象如图所示,则函数y=f(x)g(x)的图象可能是()(2)(2018张掖一模

22、)f(x)=的部分图象大致是()解析:(1)因为y=f(x)有两个零点,并且g(x)没有零点;所以函数y=f(x)g(x)也有两个零点M,N,不妨设MN,又因为x=0时,函数值不存在,所以y=f(x)g(x)在x=0时的函数值也不存在,当x(-,M)时,y0;当x(0,N)时,y0,只有A中的图象符合要求,故选A.(2)因为f(-x)=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,排除A;因为x(0,1)时,xsin x,x2+x-20,故f(x)1时,方程x(x-2)2+a=7x也有两个不等实根,令g(x)=x(x-2)2+a-7x=x3-4x2-3x+a,则g(x)=3x2-8x-3,令g(x)=

23、0,解得x1=-,x2=3,可知函数g(x)在区间(1,3)上单调递减,在区间(3,+)上单调递增,若使函数g(x)有两个零点,必有g(1)=-6+a0,g(3)=-18+a0,解得6a18,故选C.(2)画出函数f(x)的图象,如图所示,令f(x)=t,因为ff(x)=0,所以f(t)=0,由图象可知,f(t)=0有四个解,分别为t1=2,t2=3,-1t30,1t42,由图象可知,当t1=2时,f(x)=2有两个根,即ff(x)=0有2个零点;由图象可知,当t2=3时,f(x)=3有一个根,即ff(x)=0有1个零点;由图象可知,当-1t30时,f(x)=t有三个根,即ff(x)=0有3个零点;由图象可知,当1t42时,f(x)=t有两个根,即ff(x)=0有2个零点;综上所述,ff(x)=0有8个零点.所以选C.(3)当a=1时,f(x)=由f(x)=0得或解得x=0或x=-1-,函数f(x)只有两个零点,舍去;当a1时,若x0,则f(x)=(a-1)ex-x,所以f(x)=(a-1)ex-10,所以f(x)f(0)=a-10;当x1时,若x1时,g(x)0,g(x)0,因为要使函数f(x)有三个零点,需使函数g(x)有两个零点,因此0a-1,所以1a1+.综上,a的取值范围为1,1+.