2022年高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.4切割线定理学案北师大版选修

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1、2022年高中数学第一章直线多边形圆1.2圆与直线1.2.4切割线定理学案北师大版选修课标解读1.掌握切割线定理及其推论2会用切割线定理及推论解决问题.1切割线定理(1)文字叙述过圆外一点作圆的一条切线和一条割线，切线长是割线上从这点到两个交点的线段长的比例中项(2)图形表示图1260如图1260，O的切线PA，切点为A，割线PBC，则有PA2PBPC.2切割线定理的推论(1)文字叙述过圆外一点作圆的两条割线，在一条割线上从这点到两个交点的线段长的积，等于另一条割线上对应线段长的积(2)图形表示如图1261，PAB与PCD是O的两条割线，则有PAPBPCPD.图12613切割线定理的逆定理(1

2、)文字叙述给定O外一点P，若割线PAB交O于A，B两点，点T在O上，且PT2PAPB，则PT是O的切线(2)图形表示图1262如图1262，PAB是O的割线，点T在O上，若PT2PAPB，则PT是O的切线1应用切割线定理及其推论的前提条件是什么？【提示】只有从圆外一点才可能产生切割线定理或其推论，切割线定理是指一条切线和一条割线，而其推论则是指两条割线，只有弄清前提，才能正确运用定理2应用切割线定理应注意什么？【提示】应用切割线定理应记清关系式，防止做题时出错(1)如图所示，把PC2PAPB错写成PC2POPB；(2)如图所示，把关系式PT2PBPA错写成PT2PBBA，把关系式PBPAPDP

3、C错写成PBBAPDDC.切割线定理图1263如图1263，设ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线交于点E，BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED2ECEB.【思路探究】由于EA2ECEB，故只需证EDEA.【自主解答】如题图，AE是圆的切线，ABCCAE.又AD是BAC的平分线，BADCAD，从而ABCBADCAECAD.ADEABCBAD，DAECAECAD，ADEDAE，故EAED.EA是圆的切线，由切割线定理知，EA2ECEB.而EAED，ED2ECEB.切割线定理给出线段之间的关系，在计算与证明有关线段关系时，应注意灵活运用图1264(xx衡阳六校联考)如图1264，圆O是ABC

4、的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD2，ABBC3，则AC的长为_【解析】由切割线定理知CD2BDADBD(3BD)，即(2)2BD23BD，解得BD4或BD7(舍去)BDCADC，DCBCAD，CADBCD，即，解得AC.【答案】切割线定理的推论图1265如图1265，PAB和PCD为圆的两条割线，交圆于A，B和C，D各点，若PA5，AB7，CD11.求ACBD.【思路探究】线段AC、BD分别在PAC和PBD中，可考虑它们的相似关系【自主解答】由切割线定理的推论知，PAPBPCPD即，又P为公共角，PACPDB.又PA5，AB7，CD11，PB12.由知512PC(PC11)，P

5、C4或PC15(舍去)，PDPCCD41115.由得，即ACBD13.1本题求解的关键是证明PACPDB，而证明的依据是切割线定理的推论2切割线定理的推论在证明、求值等方面有着广泛的应用，在证明三角形相似以及利用相似解决问题中起重要作用图1266(xx湖南高考)如图1266所示，过点P的直线与O相交于A，B两点若PA1，AB2，PO3，则O的半径等于_【解析】设O的半径为r(r0)，PA1，AB2，PBPAAB3.延长PO交O于点C，则PCPOr3r.设PO交O于点D，则PD3r.由圆的切割线定理的推论知，PAPBPDPC，13(3r)(3r)，9r23，r.【答案】定理的综合应用图1267如

6、图1267，P是O的直径CB的延长线上一点，PA和O相切于A，若PA15，PB5.(1)求tanABC的值；(2)弦AD使BADP，求AD的长【思路探究】求tanABC可利用ABC中边角关系求出；而AD的长，可综合利用切割线定理和图形中的相似三角形，建立边长关系求出【自主解答】(1)如图，连接AC，AB，BC为O的直径，BAC90.又PA是O的切线，BAPC.又PP，PABPCA，3.在RtABC中，tanABC3.(2)由切割线定理，得PA2PBPC，即PA2PB(PBBC)又PA15，PB5，BC40.设ABx，则AC3x.由勾股定理，AC2AB2BC2，即x2(3x)2402，得x4，x

7、4(舍去)如图，连接BD，在PAB和ADB中，PABD，PBAD，PABADB.，AD12.1在本题求解过程中，每一小题都用到了利用三角形相似寻找线段之间的关系2综合应用切割线定理及推论，利用三角形之间的关系，是解决直线与圆关系中的基本思路图1268如图1268，已知AC切O于C点，CP为O的直径，AB切O于D，与CP的延长线交于点B，若ACPC，求证：BD2BP.【证明】如图，连接OD.AB切O于D，AC切O于C，ODAB，ACBC，BODBAC，BC2BD.BPC为割线，BD2BPBC2BDBP，BD2BP.图1269(教材第21页练习12A组第5题)如图1269，已知RtABC的两条直角

8、边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径作圆与斜边AB交于点D.求BD的长图1270(xx重庆高考)如图1270，在ABC中，ACB90，A60，AB20，过C作ABC的外接圆的切线CD，BDCD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为_【命题意图】本题主要考查圆的几何性质、解直角三角形以及切割线定理等知识【解析】在RtACB中，ACB90，A60，ABC30.AB20，AC10，BC10.CD为切线，BCDA60.BDC90，BD15，CD5.由切割线定理得DC2DEDB，即(5)215DE，DE5.【答案】51PAB为过圆心O的割线，且PAOA4，PCD为O的另一条割线，且PCC

9、D，则PC长为()A4B.C24 D2【解析】由题意知PAPBPCPD，设PCx，则PD2x，2xx412，x2，即PC2.【答案】D图12712如图1271所示，已知PA是O的切线，切点为A，PA2，AC是O的直径，PC与O交于点B，PB1，则O的半径R_.【解析】由切割线定理知PA2PBPC，即22PC，PC4，AC2PC2PA2422212，AC2，O的半径R.【答案】3PA为O的切线，A为切点，PO交O于B，PB4，PO8.5，则PA_.【解析】PB4，PO8.5，OB4.5.由切割线定理知，PA241352，PA2.【答案】2图12724如图1272所示，从O外一点A引圆的切线AD和

10、割线ABC，已知AD2，AC6，O的半径为3，则圆心O到AC的距离为_【解析】由切割线定理知，AD2ABAC，即(2)26AB，AB2，BCACAB4，圆心到AC的距离d.【答案】一、选择题1.图1273如图1273，AD，AE，BC分别与圆O切于点D，E，F，延长AF与圆O交于另一点G.给出下列三个结论：ADAEABBCCA；AFAGADAE；AFBADG.其中正确结论的序号是()ABC D【解析】CFCE，BFBD，BCCEBD.ABBCCA(ABBD)(ACCE)ADAE，故结论正确连接DF，则FDADGA.又AA，ADFAGD.AD2AFAG.又AEAD，ADAEAFAG.故结论正确，

11、容易判断结论不正确，故选A.【答案】A2PT切O于点T，割线PAB经过O点交O于A、B，若PT4，PA2，则cosBPT()A. B.C. D.【解析】如图所示，连接OT，根据切割线定理，可得PT2PAPB，即422PB，PB8，ABPBPA6，OTr3，POPAr5，cosBPT.【答案】A图12743如图1274，点P在O直径AB的延长线上，且PBOB2，PC切O于C点，CDAB于D点，则CD()A2 B.C2 D4【解析】如题图，连接OC，由切割线定理知，PC2PAPB，PC2(24)212，PC2，PO4.又OCPC，CD.【答案】B图12754如图1275，ABC中，C90，O的直径

12、CE在BC上，且与AB相切于D点，若COOB13，AD2，则BE等于()A. B2C2 D1【解析】连接OD，则ODBD，RtBODRtBAC，设O的半径为a，OCOB13，OEOC，BEEC2a，BO3a，BD2a，BC4a，由题知AD、AC均为O的切线，AD2，AC2.，即a，BE2.【答案】B二、填空题5(xx北京高考)图1276如图1276，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交于D，若PA3，PDDB916，则PD_，AB_.【解析】由于PDDB916，设PD9a，则DB16a.根据切割线定理有PA2PDPB.又PA3，PB25a，99a25a，a，PD，PB5.在RtP

13、AB中，AB2PB2AP225916，故AB4.【答案】4图12776(xx周口模拟)如图1277，直线PQ与O相切于点A，AB是O的弦，PAB的平分线AC交O于点C，连接CB，并延长与PQ相交于Q点，若AQ6，AC5，则弦AB的长是_【解析】PQ为切线，PACABC.AC是PAB的平分线，BACPAC.ABCBAC，ACBC5，由切割线定理，可得AQ2QBQC，62QB(QB5)，解得QB4.QABQCA，QABQCA，解得AB.【答案】三、解答题图12787已知如图1278所示，AD为O的直径，AB为O的切线，割线BMN交AD的延长线于点C，且BMMNNC，若AB2，求：(1)BC的长；(

14、2)O的半径r.【解】(1)不妨设BMMNNCx.根据切割线定理，得AB2BMBN，即22x(xx)解得x，BC3x3.(2)在RtABC中，AC，由割线定理，得CDACCNCM，CD，r(ACCD)().8如图1279，自圆O外一点P引切线与圆切于点A，M为PA中点，过M引割线交圆于B、C两点求证：MCPMPB.图1279【证明】PA与圆相切于A，MA2MBMC.M为PA中点，PMMA，PM2MBMC，.BMPPMC，BMPPMC，MCPMPB.图12809如图1280，在ABC和ACD中，ACBADC90，BACCAD，O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E.(1)求证：

15、DC是O的切线；(2)若EB6，EC6，求BC的长【解】(1)证明AB是O的直径，ACB90，点C在O上连接OC，可得OCAOACDAC，OCAD.又ADDC，DCOC.OC为半径，DC是O的切线(2)DC是O的切线，EC2EBEA.又EB6，EC6，EA12，AB6.又ECBEAC，CEBAEC，ECBEAC，即ACBC.又AC2BC2AB236，BC2.10如图所示，两圆内切于点T，大圆的弦AB切小圆于点C，TA、TB与小圆分别相交于点E、F，FE的延长线交两圆的公切线TP于点P.求证：(1)；(2)ACPFBCPT.【证明】(1)设小圆的圆心为点O，连接OC.AB切小圆于点C，OCAB.132，EFAB，OCEF，.(2)EFAB，.AB切小圆于点C，AC2AEAT，BC2BFBT，.PT是公切线，PTF90，TF是O的直径，TEPF，PTFTEF，ACPFBCPT.