基本不等式案例的研究

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1、 “基本不等式”案例的研究 早上我们一块听了“许高”王瑞敏老师、“二高”苗付雨老师关于“基本不等式”的两节“同课异构”课，与昨天也恰好是一个女老师、一个男老师，一个是热情型的、一个是沉稳型的.我还是首先向两位老师的精心准备和辛勤劳动表示感谢与尊敬今天的交流方式与昨天一样：我、授课教师、听课教师三方互动，希望大家多发言；昨天谈过的今天我尽量不重复我发言的内容分为四部分： （1）案例研究的认识（2）不等式的教学分析 （3）案例分析的实施 （4）数形结合 1 案例研究的认识 1-1 什么叫案例 “案例”一词源于法学，就是一个案件，哈佛法学院将案例应用于法律人才的培养，产生案例教学；哈佛工商学院将其应

2、用于工商管理人才的教学，取得显著成效；之后，人们把“病例”用于医生培养，把“战例”用于军官培养，把“课例”用于教师培养，都叫做案例教学教师教育中的案例教学始于20世纪70年代，伴随案例教学而进行的分析、反思、提炼又促进了“案例研究”的发展这里有三个词：案例、案例教学、案例研究案例是一个教学实例，案例教学是一种教学方法，案例研究是一类研究方法三者既有联系又有区别 （1）案例（课例）的界定：数学教育上的案例是具有典型意义的教学过程的描述对于数学教学上的案例，我们更习惯叫做课例（或个案），在形式上，可以是体现教育理论与教学技能的课堂实录，可以是学生学数学的生动故事，可以是教师教数学的有趣设计，还可以

3、是教学实践中遇到的意外与困惑的事件为了教学研究的需要，课例的叙述可以对课堂信息的摄取有所侧重，对课堂之外的情况（如教师、学生的背景）及心理活动有所描述（动机、态度、思想、意图、需要等），这就使得用于教学分析的课例与记录教学实验的课例略有区别创作课例可以是一种“教育叙事”，用记叙文的体裁表示出来 （2）案例的作用：教学课例包含有充分多的信息（可以代表一类事物），蕴含一定程度的理论原理，反映了教学实践的经验与方法，渗透着对特定教学问题的深刻反思，可以帮助数学教师树立一种观念，明白一个道理，理解一个概念，学到一种方法；案例是了解教学的窗口，是问题解决的源泉，是教学理论的故乡，是教师发展的阶梯 （3）

4、案例的特征：典型性、研究性、启发性1-2 什么叫案例研究 （1）案例研究的界定：在对典型教育事件进行具体描述的基础上，通过分析、归纳和解释，概括出具有普遍性结论的研究方法，叫做案例研究 （2）案例研究的意义：在案例研究中，作为研究素材的一个或多个案例本身是研究的一部分，对案例的收集、整理和叙述本身体现着研究者的研究旨趣和研究立场，但是，案例素材本身并不是理论，需要研究者对案例素材进行分析、解释、判断和评价，形成特定的理论从这个意义上说，案例研究是从具体经验事实走向一般理论的一种研究工具（相当于生物学研究中的标本）案例研究突破了理论脱离实践的困境，建构了与实际问题紧密相连的知识体系，便于教师结合

5、自己的教学实际开展研究1-3 案例研究的视角 怎样开展案例研究呢？我们建议抓住三个主要视角 主要看数学功底与本质洞察.（1）数学的视角（主要看数学功底与本质洞察） 内容结构：数学内容充实、完整，逻辑线路明晰 知识构建：原有知识经验明确，有构建新知识的合理过程 数学概念：清晰、准确，有发生过程 数学论证：科学、正确，有思维揭示 数学思想：有数学思想方法的渗透、提炼或阐明 （2）教学的视角（主要看教学能力与风格特点） 教学目标：体现三维目标，定位准确，教学性质清楚 教学要求：恰当、适合学生的最近发展区 教学方法：创设发现情景，鼓励探索质疑，多向交流沟通，促成意义建构 教学过程：有序、完整，思路清晰

6、，使用多媒体，激励性评价 教学效果：突出了重点、突破了难点，实现了教学目标（3）观念的视角（主要看与时俱进的数学教育中国道路）已经进行了十几年的数学新课改课堂，我们的眼光不要停留在十几年前，观察课堂、寻找特色，应该与时俱进，有新的认识： 新课改所倡导的教学理念经过十几年的贯彻，必然会与数学学科特征有机结合，产生出既区别于其他学科、又区别于传统的数学教学新特色其实质是创新新输入的课改理念经过十几年的贯彻，必然会与数学教育的中国道路相互作用，促进中国数学教育在新课程背景下的现代发展其实质还是创新如今的数学教学大体上都是：以问题情景作为课堂教学的平台，以“数学化”作为课堂教学的目标，以学生通过自己努

7、力得到结论（或发现）作为课堂教学内容的重要构成，以“师生互动”作为课堂学习的基本方式就是说，数学现实、数学化、再创造、师生互动是四个关键词最重要的是能从这些视角里看清基本事实，并用这些事实去分析相关的数学处理、解释相关的教学行为当然，课例分析的共识有的只能作为教师的营养，间接进入课堂，而有的则可以直接进入课堂，这两方面都将促进教学的发展课例分析不应是“空对空”的“纸上谈兵”，而应该是“实对实”的“行动研究”2 不等式的教学分析2-1 不等式的定义关于不等式的定义，通常有两种提法定义1 表示不等关系的式子，叫做不等式这个定义采用了“否定等式”的方法，没有正面指出“不等关系”的具体含义随着学习的深

8、入会表现出它的局限性当然，在实数范围内，任意两个实数有且只有三种关系，因而，否定，即当然是指或从教材所出现的内容看，定义1 的“不等关系”包含：，等关系 现在问：是不是不等式？在求函数的定义域时，确实遇到过这样的式子：定义域为（否定形式） 且 正面肯定形式是 也就是说，我们可以把：看成是不等式，即 或； 或或 但是，学习复数之后，并不表明或同样 一匹马一头牛，奇数偶数，能是数学上的不等式吗？事实上，不等关系并非永远等价于大小关系，对相等关系的否定，并不一定是对大小关系的肯定，而不等式的本质不仅是对相等关系的否定，而且是对大小关系的肯定因此，不等式的如下定义比较好：定义2 用不等号“”“”连接起

9、来的式子叫做不等式这里说的“式子”可以随着学习的深入而逐步扩展外延（用数学运算符号和括号把数和表示数的字母连结而成，这里所说的“数学运算符号”是指初等运算初等运算包含有限次的加、减、乘、除、正整数次乘方、开方(或有理数次乘方)这些运算都叫做代数运算;此外，还包括无理数次乘方、对数、三角和反三角等运算这些运算都叫做初等超越运算）与定义1相比，这个定义的优点是：（1）直接指出不等的本质是大小关系，至于，则作为，与的逻辑“或”（2）采取了肯定的叙述方式，更适合中学下定义的习惯（3）直接指出概念的外延，更易于学生掌握例如，是或的意思（不小于），在的关系中用了不等号 ，故称为不等关式又如，虽然表示了两个

10、量的不等关系，但不能写成或，因而不是用“”，“”连结起来的式子，就不是不等式那么，“”，“”又是什么意思呢？证明一个不等式证到什么程度算是证出来了呢？ 1-2 不等关系的基本出发点 （1）充要条件：这个充要条件把实数的大小关系转化为实数的符号（正、负号）这是不等式证明或求解的基本出发点（作差比较法）那么，“实数的符号（正、负号）”又是怎么规定的呢？ （2）符号法则“充要条件”把实数的大小关系转化为实数的符号，因而正负数的大小性质，也是不等性质的基础，整理如下： 在数轴上（水平放置），位于右侧点表示的实数大于位于左侧点表示的实数，位于左侧点表示的实数小于位于右侧点表示的实数，同一点表示的两个实数

11、相等 正数大于0，也大于负数；负数小于0，也小于一切正数 正数中，绝对值大的较大，负数中，绝对值大的较小 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，零的相反数是零 两个正数之和必是正数，两个负数之和仍是负数 同号相乘得正，异号相乘得负；反之，两个数的积为正，则该两数同号；两个数的积为负，则该两数异号 一个数的倒数与其本身同号 一个数乘（除）以一个正数，不改变符号 任何实数的平方都不小于0，（）（非负数）由，有，继续有诸多变形 （）（非负数） 全量大于任一部分如 等号成立当且仅当又由 得 ，等号成立当且仅当这些性质是不等式性质和证明的基础 1-3 不等式的性质不等式性质（定理和推论）基本上都是用“

12、充要条件”来证的，（也即作差比较法），而推理则用多用综合法 （1）学生的心理是，一方面认为性质“显然”，另一方面又是第一次做不等式证明，不知道怎么证“显然”的心理是可以理解的第一，定理确实很简单，像是常识第二，有的性质以前学过，当时没有证明第三，有的性质以前已不自觉用过了 正因为这些性质比较简单，所以可以使用的原理就比较少，难下手，想不到就利用实数的一些正负性质另外，第一次证明，用什么方法证也不知道（2）这是培养逻辑推理能力的重要机会 许多同学在这些证明中想当然，最好能像平面几何证明的开头一样，要求步步有据 同时加强正反对比，反例说明很有作用如（学生的错误） ； ; ; ，; ，； ，（3）这

13、些不等式的性质虽然简单，但学生往往记不住，原因是零碎，性质之间缺乏逻辑关系，可作这样的分类 1-4 基本不等式 （1）几何背景1 由数到形的过程： 转化1： 构造图形：将与线段长度（距离）互化，将 （）与面积互化，将（）与体积互化，将与勾股定理沟通. 转化2：正方形的面积4个直角三角形的面积 （全量大于它的任一部分）于是，由形到数的过程或代数变形，有 但 （基本不等式的一个根源，并与配方法沟通）所以 （放缩法的推理） (2)基本不等式的几何背景2.构造图形：将与线段长度（距离）互化， 将转化为线段， 将转化为线段，构造是关键，可以理解为直角三角形斜边不小于直角边.进一步，对，有 ， 在变换（）

14、， ， ，由 与三角函数沟通 (3)不等式的有用变形. 变形1：（） 例1-1 柯西不等式证明 时显然成立对，取，有 ，得 变形2 ： 除以例1-2 1984年高中数学联赛 设 都是正数，求证证明 由（），求和 变形3： 除以 例1-3 （）已知，为两两各不相同的正整数，求证对任何正整数，下列不等式成立证明 由，求和 变形4：（）例1-4 （）设为正实数且满足，试证 证明 由 ，同理 ， ，相加 左边变形5：例1-5 证明不等式证明 记，由，求和 ，得 ，即 变形6：为参数例1-6 已知为实数且，试证 证明 由变形6有 相加 为使所求不等式成立，令 ，得变形7：或由变形7可解决许多无理不等式问

15、题 定理从两个方面提供重要方法，证明定理的方法是经典方法，用定理去证明结论的方法是重要方法（定理法）；要会定理的正用、逆用、连用、变用、巧用、活用，并且知道每种变形适用于哪种题型3 案例分析的实施31 研讨1：怎么组织定理的教学过程的. 授课教师发言.我想补充的是：定理学习的三个阶段学生是怎么学习定理的呢？我们说有三个阶段，教师的设计要与这个学习过程相匹配第一阶段是输入阶段即给学生提供新的学习内容，创设符合学习内容的情境，提示新旧知识之间联系的线索使学生在心理上产生学习新知识的需要，这是输入阶段的关键 第二阶段是新旧知识相互作用阶段产生学习的需要之后，学生原有的知识与新的学习内容就发生作用，这

16、种相互作用有两个最基本的形式同化和顺应同化是使新内容纳入原有数学认知结构，从而扩大原有认知结构的过程当原有认知结构不能同化新内容时，就要改造原有的认知结构，以使新内容能适应这种认知结构，这就是顺应本课例学习，主要是同化，表现为从“实数平方的非负性不等式”，及从本课例中把定理的发现与定理的证明统一起来值得肯定第三阶段是操作阶段这里说的操作是指数学思维活动，主要有例题与练习等活动，这使刚产生的新的数学认知结构变得完善，其基本形式是学生解决数学问题，让学生在定理证明的基础上，进行问题解决的练习，从中得到体验，并获得经验这就使新知识与原有知识的联系更加密切，使数学活动经验的积累更加丰富，从而起到了完善

17、新认知结构的作用基本结构：“图形不等式证明应用”可见：能力：推理论证 思想：数形结合32 研讨2：这节课的教学目标是什么？实现了没有？ 王瑞敏一、教学目标把反思总结，整合新知的有关内容放进教学目标；特别是，推理论证能力要放进去：1.理解重要不等式与基本不等式及其证明. 2.能对基本不等式进行灵活变形，并应用基本不等式解决简单的最值问题. 3.切实把握好应用基本不等式求最值问题的前提条件.二、教学重点：利用基本不等式求最值问题.教学难点：如何凑成两个数的和或积是定值.三、教学方法: 1.题组训练法 2.学生展写、展评，教师指导老师根据学生回答情况完善如下：一个不等式教学目标说两个不等式：教学目标

18、：1.理解重要不等式与基本不等式及其证明.：当时，（当且仅当时，等号成立）两种思想：数形结合思想、归纳类比思想应该有推理论证。三个注意：基本不等式求函数的最大(小)值是注意：“一正二定三相等”意图在于通过反思、归纳，培养概括概括是指从某些具有若干相同属性的事物中抽象出本质属性，扩大到具有这些相同属性的一切事物.能力；帮助学生总结经验教训，巩固知识技能，提高认知水平.苗付雨【教学目标】1知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等。2过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；3情态与价值：通过本节的学习，体会数学来

19、源于生活，提高学习数学的兴趣【教学重点】应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式的证明过程；【教学难点】基本不等式等号成立条件利用基本不等式.授课教师发言（略）。我想补充的是：（1）四个知识点不等式两点定积求和的最小值，定和求积的最大值，两点（2）能力：推理论证：分析法（由未知，找需知，靠拢已知），综合法（由已知，找可知，靠拢未知），作差法，配方法、放缩法，构造法等（3）思想：数形结合（4）重点：四个知识点，推理能力的培养（5）难点：构造法（渗透数形结合），应用中“一正二定三相等”问了学生，是从定理上理解的，还可以从最大（小）值的含义上理解最大值首先是值，同时比所有的值都大 （定值

20、）且存在定义域的使 推理论证能力：根据已知的事实和已获得的正确数学命题，论证某一数学命题真实性的初步的推理能力推理包括合情推理和演绎推理，论证方法既包括按形式划分的演绎法和归纳法，也包括按思考方法划分的直接证法和间接证法通常是运用合情推理进行猜想，再运用演绎推理进行证明网上流行这样一道小学一年级的题目,据说难倒了很多人：每个汉字代表一个数码，不同的汉字代表不同的数码，已知“大白+大白=白胖胖”，求大、白、胖个代表什么数码每个读完一年级的人都具备了解这道题的知识，所以，成功解题的关键在思维能力和解题经验对比等式两边的差异可以看到，异同点1：左边有“大”没有 “胖”，右边有“大”没有 “胖”，能沟

21、通左右两边联系的是“白”；异同点2：左边是二位数，右边是三位数，故相加必有进位由于最大的二位数相加（99+99）其百位才进位1，所以右边百位数的“白”只能是1，进而，右边的 “白”也是1，立即算出右边的“胖=白+白=1+1=2”，即右边的三位数是122，除以2得左边的二位数是61所以，“大”是6、“白”是1、“胖”是2概括：是指从某些具有若干相同属性的事物中抽象出本质属性，扩大到具有这些相同属性的一切事物.概括与抽象是相关的，概括的水平也就是抽象的水平.能略去同类事物的具体差异，而抽象其共同本质或特征加以反映.它不同于感觉或知觉，概括是认识的第二阶段：理性认识.抽象概括能力：对具体的、生动的实

22、例，在抽象概括的过程中，发现研究对象的本质；从给定的大量信息材料中，概括出一些结论，并能用其解决问题或作出新的判断33 研讨3：若干事项的处理 (1)学生6做例2 (1)设，则的最小值.时缺了验证等号，可不可以让本人反思？ (2) 学生9第二次发言，总结了三点，都是知识性的，可不可启发他想“过程与方法” （3）板书出现笔误，是公开还是不公开？例1已知x、y都是正数，求证：(1)2； （4）图形有局限性，认知基础异化为认知障碍（苗老师很好） （5）投影解体过程不要太快（6）提问要具体：图标有几个图形？学生不敢回答，不知是不是剖分图形.（7）可否说明一下，不等式中的字母，可以是单个，也可以是代数式

23、（8）已知x、y都是正数，求证：（xy）（x2y2）（x3y3）x3y3.涉及连用三次，可以根据学生水平决定.4 数形结合4-1 数形结合的认识 （1）基本含义：这是从数与形两个方面来认识和处理数学问题的一种思想 （2）初步理解：数学是研究空间形式和数量关系的一门科学，数与形是中学数学中被研究得最多的两个侧面，数形结合是一种极富数学特点的信息转换它把代数方法与几何方法中的精华都集中了起来，既发挥代数方法的一般性、解题过程的程序化、机械化优势，又发挥几何方法的形象直观特征，形成一柄双刃的解题利剑，数轴和坐标系，函数及其图象，曲线及其方程，复数及其复平面，向量、以及坐标法、三角法、构造图形法等都是

24、数形结合的辉煌成果具体解题中的数形结合，是指对问题既进行几何直观的呈现，又进行代数抽象的揭示，两方面相辅相成，而不是简单地代数问题用几何方法、或几何问题用代数方法，这两方面都只是单流向的信息沟通，惟双流向的信息沟通才是完整的数形结合（3）数与形基本特征的对照 数 形抽象形式化直观形象化顺时离散性共时整体性外在逻辑性内在直觉性清晰、严密、精确操作、模糊、生动、依赖直观渐进识别跳跃激活线状结构平面结构4-2 数形结合的途径（1）通过坐标系：包括直角坐标系、极坐标系和复平面；如代数式表示点到点的距离；代数式可看作是点与点两点连线的斜率；方程可化“形”为两曲线交点的横坐标问题；根据函数的图像性质将数化

25、为“形”，由图形的直观性解决问题；点集可化“形”为曲线；是复数、对应的点之间的距离，是一条射线；由方程的曲线结合曲线的几何意义；不等式可化“形”为两曲线的位置关系（2）转化：通过分析数式的结构，将与距离互化，将 （）与面积互化，将（）与体积互化，将与勾股定理沟通 , 将 与余弦定理沟通，将与三角形三边沟通；数 式 结 构图 形 结 构12345678910111213（3）构造：可以构造几何模型，构造函数或构造一个图等4-3 原则三个原则：（1）等价性原则，是指代数性质与几何性质的转换应该是等价的，否则解题会出现漏洞有时，由于图形的局限性，不能完整地表现数的一般性，这时的图形性质只是一种直观而显浅的说明，但它同时也是抽象而严格证明的诱导；（2）双向性原则，就是既进行几何直观的分析，又进行代数抽象的探索，两方面相辅相成，仅对代数问题进行几何分析或者仅对几何问题进行代数分析都是一种天真的误解；（3）简单性原则，找到解题思路之后，至于用几何方法还是用代数方法、或者兼用两种方法来叙述，取决于哪种方法更加优美、更加简单、或更便于达到教学目的，而不是像一种流行的模式那样代数问题用几何方法，几何问题用代数方法