等差数列求和公式03877PPT课件

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1、1.1.数列前数列前n n项和的定义项和的定义一般地，称_为数列an的前n项和，用Sn表示，即Sn _.S Sn n与通项与通项a an n之间的关系：之间的关系：a1a2a3ana1a2a3an新课讲解第1页/共55页2. 2. 等差数列的前等差数列的前n n项和公式项和公式求和公式变形：求和公式变形：2) 1 (1nnaaanaS中中，AdBAaBnAnSn2)2(12第2页/共55页等差数列前等差数列前n n项和公式的函数特征项和公式的函数特征(2)当A0，B0时，Sn0是关于n的常数函数(此时a10，d0)；当A0，B0时，SnBn是关于n的正比例函数(此时a10，d0)；当A0，B0

2、时，SnAn2Bn是关于n的二次函数(此时d0)第3页/共55页题型一题型一与等差数列前与等差数列前n n项和有关的基本量的计算项和有关的基本量的计算(2)a14，S8172，求a8和d.(3)已知d2，an11，Sn35，求a1和n.【例例1】 在等差数列an中例题讲解第4页/共55页第5页/共55页第6页/共55页1. 在等差数列an中；(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a3a1540，求S17.跟踪练习第7页/共55页题型二利用题型二利用S Sn n与与a an n的关系求的关系求a an n解解(1)当n1时，a1S1325.当n2时，Sn132n1，又Sn32n，

3、anSnSn12n2n12n1.第8页/共55页化简得(an1an)(an1an2)0，因为an0，an1an2，又4S14a1(a11)2得a11，故an是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an2n1.第9页/共55页第10页/共55页(2)已知一个数列的前n项和为Snn2n1，求它的通项公式，问它是等差数列吗？解解(1)a1S15，当n2时，anSnSn1(2n23n)2(n1)23(n1)4n1，当n1时也适合，an4n1.1. (1)已知数列an的前n项和Sn2n23n，求an.跟踪练习第11页/共55页第12页/共55页第13页/共55页题型题型三三求数列求数列|an|的前的前n项

4、和项和【例例3】第14页/共55页3n104.n1也适合上式，数列通项公式为an3n104(nN*)由an3n1040，得n34.7.即当n34时，an0；当n35时，an0，此时TnSnn210n；当n5时，an0，此时Tn2S5Snn210n50.跟踪练习第17页/共55页方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略方法技巧等差数列中创新型问题的求解策略 关于等差数列的创新型试题，常以图表、数阵、新定义等形式出现【示例示例】 下表给出一个“等差数阵”：47()()()a1j712()()()a2j()()()()()a3j()()()()()a4jai1ai2ai3ai4ai5aij第18页/共

5、55页其中每行、每列都是等差数列，aij表示位于第i行第j列的数(1)写出a45的值；(2)写出aij的计算公式解解(1)通过观察“等差数阵”发现：第一行的首项为4，公差为3；第二行首项为7，公差为5.归纳总结出：第一列(每行的首项)是以4为首项，3为公差的等差数列，即3i1，各行的公差是以3为首项，2为公差的等差数列，即2i1.所以a45在第4行，首项应为13，公差为9，进而得出a4549.第19页/共55页(2)该“等差数阵”的第一行是首项为4，公差为3的等差数列：a1j43(j1)；第二行是首项为7，公差为5的等差数列：a2j75(j1)；第i行是首项为43(i1)，公差为2i1的等差数

6、列，因此，aij43(i1)(2i1)(j1)2ijiji(2j1)j.第20页/共55页 等差数列的求和公式等差数列的求和公式 ( (第二课时第二课时) )第21页/共55页1. 1. 等差数列前等差数列前n n项和的性质项和的性质(1)Sm，S2m，S3m分别为an的前m项，前2m项，前3m项的和，则Sm，S2mSm，S3mS2m也成等差数列，公差为_.(2)m2d新课讲解第22页/共55页(3)若S奇表示奇数项的和，S偶表示偶数项的和，公差为d，若 ，则S偶 S奇 =若 ，则kn2kd12 kn中偶中奇kaSakS) 1(kkSS1偶奇第23页/共55页思考：如果数列的前n项和公式SnA

7、n2Bn，其中A，B为常数，那么这个数列是否一定为等差数列？提示提示：由S Sn na a1 1a a2 2a a3 3a an n1 1a an n得S Sn n1 1a a1 1a a2 2a a3 3a an n1 1(n2)(n2)由得a an nS Sn nS Sn n1 1(n2)(n2)，S S1 1a a1 1，又S Sn nAnAn2 2BnBn，当n2n2时，a an nS Sn nS Sn n1 12An2AnA AB.B.当n n1 1时，a a1 1S S1 1A AB B符合上式，a an n2An2AnA AB(nNB(nN* *) )数列 a an n 是等差数

8、列，首项为A AB B，公差为2 2A A. .第24页/共55页2. 2. 等差数列前等差数列前n n项和的最值项和的最值(1)在等差数列an中最大最大最小最小最小最小最大最大第25页/共55页题型一题型一等差数列前等差数列前n项和性质的应用项和性质的应用(2)一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和(3)两个等差数列an,bn的前n项和分别为Sn,Tn,1）若 , 求 ；2）若 ，求【例例1】 (1)设等差数列的前n项和为Sn，已知前6项和36，Sn324，最后6项的和为180(n6)，求数列的项数n.例题讲解3225nnbann77TS3225nnTSn

9、n77ba第26页/共55页第27页/共55页第28页/共55页第29页/共55页第30页/共55页规律：等差数列中，规律：等差数列中，Sm=n,Sn=m，则，则Sm+n= (m+n)第31页/共55页1. 1. 等差数列中，等差数列中，(1)a(1)am m=n=n， a an n=m=m，求证：，求证：a am+nm+n= 0= 0(2)S(2)Sm m=S=Sn n，求证：，求证：S Sm+nm+n= 0= 0(3)S(3)Sm m=n,S=n,Sn n=m=m，求证：，求证：S Sm+nm+n= = (m+n)(m+n)跟踪练习第32页/共55页3. 3. 等差数列中，等差数列中，S

10、S3030=90=90，a a3 3+a+a6 6+a+a9 9+a+a3030=36=36(1)(1)求求d (2)d (2)求求a a1 1+a+a4 4+a+a7 7+a+a28282. 2. 等差数列中，等差数列中，S S3 3=45=45，S Sn n=360, S=360, Sn-3n-3=225,=225,求求n n第33页/共55页【例2】一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32 27，求公差d.解解法一法一设此数列首项为a1，公差为d， S偶S奇6d，d5.第34页/共55页跟踪练习1.1.一个等差数列有奇数项，奇数项和为132132，偶数项和

11、为120120，求项数。第35页/共55页题型题型二二等差数列前等差数列前n项和的最值问题项和的最值问题第36页/共55页第37页/共55页第38页/共55页1. 已知等差数列an中，a19，a4a70.(1)求数列an的通项公式；(2)当n为何值时，数列an的前n项和取得最大值解解(1)由a19，a4a70，得a13da16d0，解得d2，ana1(n1)d112n.(2)法一法一a19，d2，跟踪练习第39页/共55页n210n(n5)225当n5时，Sn取得最大值法二法二由(1)知a19，d20，n6时，an0.S5最大第40页/共55页2.2.等差数列中，等差数列中，(1) (1) 求

12、求S Sn n最大值；最大值；(2)(2) 求求S Sn n最大值；最大值；(3) (3) 求求T Tn n=|a=|a1 1|+|a|+|a2 2|+|a|+|an n| | ,201a, 4d, 3d, 4d第41页/共55页已知等差数列an满足：a37，a5a726，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn.解解(1)设等差数列an的公差为d，因为a37，a5a726，所以有题型题型三三裂项相消法求数列的和裂项相消法求数列的和【例例3】第42页/共55页第43页/共55页1.已知数列an是等差数列，其前n项和为Sn，a36，S312.(1)求数列an的通项公式；跟踪练习第44页/共55页

13、(1)求数列an的通项公式；题型四等差数列的综合应用题型四等差数列的综合应用第45页/共55页第46页/共55页第47页/共55页1.1. 已知数列 an的前 n 项和为 Sn(Sn0)，且满足an2SnSn10(n2)，a112. (1)求证： 1Sn是等差数列； (2)求数列an的通项公式 跟踪练习第48页/共55页第49页/共55页误区警示误区警示分析问题不严密致误分析问题不严密致误【示示例例】第50页/共55页解中仅解不等式an0是不正确的，事实上应解an0，an10.第51页/共55页S10S15，S15S10a11a12a13a14a150，a11a15a12a142a130，a130.公差d0，a10，a1，a2，a11，a12均为正数，而a14及以后各项均为负数当n12或13时，Sn有最大值为S12S13130.第52页/共55页第53页/共55页跟踪练习1.1.等差数列中，等差数列中，求求(1) (1) 最大时的最大时的n n值；值； (2) (2) 的最大的最大n n值。值。|1110aa , 0, 011101110aaaanS0nS第54页/共55页感谢您的观看！第55页/共55页