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1、上海市2020届高三数学专题教案：函数的周期性一、知识梳理1、若T为非零常数，对于定义域内的任一x，恒成立 则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。2、如果函数对于一切都有，那么 周期为 二、例题 例1、若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且 则关于 对称；的周期为 ；=，则 。y2xBA1O例2、（1）已知函数对于一切都有求的一个 周期。（2）设函数是最小正周期为的偶函数，它在区间上的图像为如图所示的线段，求在区间上时的表达式例3、设是定义在上，以2为周期的周期函数，且为偶函数，在区间2，3上，=,则求的表达式。例4已知函数的定义域为，且满足（1）试证明函数2是的一个周期；（2）
2、当（3）对（2）中的函数例5、已知函数的图像关于直线x=1及x=4都对称 （1）、求证：是周期函数，并求出周期（2）、把（1）的结论推广到一般结论（不必证明）练习：1、函数对任意，有，求2设函数在上满足，且在闭区间上，只有（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程在闭区间上的根的个数，并证明你的结论3设是定义在上的偶函数，其图像关于直线对称，对任意都有（1）设，求，；（2）证明是周期函数P58 第1、2、4作业：P62第4题，P64第1、2题 反函数一、知识梳理1.反函数定义：若函数y=f（x）（xA）的值域为C，由这个函数中x、y的关系，用y把x表示出来，得到x=（y）.如果对于y在C中的任何
3、一个值，通过x=（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x=（y）就表示y是自变量，x是自变量y的函数.这样的函数x=（y）（yC）叫做函数y=f（x）（xA）的反函数，记作x=f1（y）.在函数x=f1（y）中，y表示自变量，x表示函数.习惯上，我们一般用x表示自变量，y表示函数，因此我们常常对调函数x=f1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f1（x）.2.原函数与反函数的关系：（1）、几何关系：互为反函数的两个函数y=f（x）与y=f1（x）在同一直角坐标系中的图象关于直线y=x对称. （2）、代数关系：原函数的自变量（定义域）为反函数的函数值（值域）3.求反函数的步骤：（1）解关于
4、x的方程y=f（x），得到x=f1（y）.（2）把第一步得到的式子中的x、y对换位置，得到y=f1（x）.（3）求出并说明反函数的定义域即函数y=f（x）的值域. 4常用结论：（2）如果y=f（x）是奇函数，那么y=f1（x）也是奇函数，反之亦然。（3）y=f（x）与y=f1（x）有相同的单调性。（4）在定义域上是单调的函数一定有反函数，反之不然。二、例题:【例1】、求下列函数的反函数1.y=（x1） 2. y=log2（x+1）+1（x0）3 f（x）=（x） 4、f（x）=x2（x（，2）【例2】 求函数f（x）=的反函数.【例3】.若函数f（x）=，求f1（）【例4】若函数y（x，xR）
5、的图象关于直线yx对称，求a的值.【例5】.已知函数f（x）=2（）（a0，且a1）.（1）求函数y=f（x）的反函数y=f1（x）；（2）判定f1（x）的奇偶性；（3）解不等式f1（x）1.练习、1.函数y=+1（x1）的反函数是A.y=x22x+2（x1）B.y=x22x+2（x1）C.y=x22x（x1）D.y=x22x（x1）2.记函数y=1+3x的反函数为y=g（x），则g（10）等于A.2 B.2 C.3 D.13、函数y=e2x（xR）的反函数为A.y=2lnx（x0） B.y=ln（2x）（x0）C.y=lnx（x0）D.y=ln（2x）（x0）4.函数y=x22ax3在区间1
6、，2上存在反函数的充要条件是A.a（，1B.a2，+）C.a1，2D.a（，12，+）图15函数的反函数的图像与轴交于点（如图1所示），则方程在上的根（ ）(A) (B) (C) (D) 6.已知函数y=log2x的反函数是y=f1（x），则函数y=f1（1x）的图象是7.若点（2，）既在函数y2axb的图象上，又在它的反函数的图象上，则a=_，b=_.8.已知函数y=f（x）是奇函数，当x0时，f（x）=3x1，设f（x）的反函数是y=g（x），则g（8）=_.9.已知函数f（x）=a+bx1（b0，b1）的图象经过点（1，3），函数f1（x+a）（a0）的图象经过点（4，2），试求函数f1（x）的表达式.10.已知函数f（x）=（）2（x1）.（1）求f（x）的反函数f1（x）；（2）判定f1（x）在其定义域内的单调性；（3）若不等式（1）f1（x）a（a）对x，恒成立，求实数a的取值范围.
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