椭圆的几何性质(第四课时)课件

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1、椭圆的几何性质(第四课时)第四课时第四课时椭圆的几何性质(第四课时)1.1.对于椭圆的原始方程对于椭圆的原始方程, ,变形后得到变形后得到 2222()()2xcyxcya+-+=222()acxaxcy-=-+22ycaaxc+=-2（x-c）新知探究新知探究再变形为再变形为这个方程的几何意义如何？这个方程的几何意义如何？椭圆的几何性质(第四课时)例例4、 解：解：如图，设如图，设d是点是点M到直线到直线L的距离，根据题意，所求轨的距离，根据题意，所求轨迹的集合是：迹的集合是：由此得由此得 ：222,xcycaaxc22222222()().ac xa ya ac22221(0).xyaba

2、b 这是一个椭圆的标准方程，所以点这是一个椭圆的标准方程，所以点M的的轨迹是长轴、短轴分别是轨迹是长轴、短轴分别是2a、2b的椭圆。的椭圆。点点M（x,y）与定点）与定点F（c,0）的距离）的距离 和它到定直线和它到定直线的距离比是常数的距离比是常数2:al xc(0).caca求求M点的轨迹。点的轨迹。|M FcPMda平方，化简得平方，化简得 ：222,:acb令可化得椭圆的几何性质(第四课时)若点若点F F是定直线是定直线l外一定点，动点外一定点，动点M M到点到点F F的距离的距离与它与它到直线到直线l l的距离的距离之之比比等于常等于常数数e e(0(0e e1)1)，则点，则点M

3、M的轨迹是椭圆的轨迹是椭圆. .M MF FH Hl新知探究新知探究动画动画椭圆的几何性质(第四课时)椭圆的几何性质(第四课时)回忆：直线与圆的位置关系回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离位置关系：相交、相切、相离2.判别方法判别方法 方法一：方法一：圆心到直线的距离圆心到直线的距离d与半径与半径r的大小关系的大小关系 方法二：方法二：联立直线与圆的方程得到二元一次方程组联立直线与圆的方程得到二元一次方程组 解的情况解的情况 (1)0直线与圆相交直线与圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与圆相切直线与圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)0直线

4、与椭圆相交直线与椭圆相交有两个公共点；有两个公共点； (2)=0 直线与椭圆相切直线与椭圆相切有且只有一个公共点；有且只有一个公共点； (3)k-3366-k0因为因为所以，方程（）有两个根，所以，方程（）有两个根，那么，相交所得的弦的那么，相交所得的弦的弦长弦长是多少？是多少？则原方程组有两组解则原方程组有两组解.- (1)由韦达定理由韦达定理51542121xxxx222212121212126()()2()2 ()425ABxxyyxxxxx x 椭圆的几何性质(第四课时)设直线与椭圆交于设直线与椭圆交于P1(x1,y1)，P2(x2,y2)两点，直线两点，直线P1P2的斜率为的斜率为k

5、弦长公式：弦长公式：221|1|1|ABABABkxxyyk知识点知识点2：弦长公式：弦长公式可推广到任意二次曲线椭圆的几何性质(第四课时)例例1：已知斜率为：已知斜率为1的直线的直线L过椭圆过椭圆 的右焦点，的右焦点，交椭圆于交椭圆于A，B两点，求弦两点，求弦AB之长之长题型二：弦长公式题型二：弦长公式222:4,1,3.abc解 由椭圆方程知( 3,0).F右焦点:3.lyx直线 方程为22314yxxy258 380yxx消 得：1122( ,), (,)A x yB xy设12128 38,55xxxx22212121211()4ABkxxkxxxx85椭圆的几何性质(第四课时)例例

6、2 2: :已已知知点点12FF、分分别别是是椭椭圆圆22121xy 的的左左、右右 题型二：弦长公式题型二：弦长公式椭圆的几何性质(第四课时)例例 2 2: :已已知知点点12FF、分分别别是是椭椭圆圆22121xy 的的左左、右右 椭圆的几何性质(第四课时)例例3 ：已知椭圆：已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.解：解：韦达定理韦达定理斜率斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题椭圆的几何性质(第四课时)例例 3

7、已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率出中点坐标和斜率点点作差作差题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题椭圆的几何性质(第四课时)知识点知识点3：中点弦问题：中点弦问题点差法：点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率差构造出中点坐标和斜率112200( ,),(,),(,)A x yB xyABM xy设中点，0120122,2xx

8、xyyy则有：1212AByykxx又2211221xyab2222221xyab两式相减得：2222221211()()0bxxayy1122( ,), (,)A x yB xy在椭圆上，椭圆的几何性质(第四课时)2222221211()()0bxxayy由2221122212yybxxa 即2111221211AByyxxbkxxayy 2020 xbay 直线和椭圆相交有关弦的中点问题，常用设而不求的思想方法 椭圆的几何性质(第四课时)例例3已知椭圆已知椭圆 过点过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程平分，求此弦所在直线的方程.所以所以 x2

9、+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得，整理得x+2y-4=0从而从而A ,B在直线在直线x+2y-4=0上上而过而过A,B两点的直线有且只有一条两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点中点”这这一一 条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题题型三：中点弦问题椭圆的几何性质(第四课时)例例4、如图，已知椭圆、如图，已知椭圆 与直线与直线x+y-1=0交交于于A、B两点，两点， AB的中点的中点M与椭圆中心连线的与椭圆中心连线的斜率是斜率是 ，试求，试求a、b的值。的

10、值。221axby2 2,AB 22oxyABM22110axbyxy 解:2)210yab xbxb 消 得:(2)(1)0bab b=4-4(abab1122( ,), (,)A x yB x y设121221,bbxxx xabab(,)baABMab ab中点22121 21()4ABkxxx x又MOakb222ba 2212 22 ()4bbabab12,33ab 椭圆的几何性质(第四课时)练习练习：1、如果椭圆被、如果椭圆被 的弦被（的弦被（4，2）平分，那）平分，那 么这弦所在直线方程为（么这弦所在直线方程为（ ）A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=

11、0 D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆与椭圆 恰有公共点，则恰有公共点，则m的范围的范围（ ） A、（、（0，1） B、（、（0，5 ） C、 1，5）（5，+ ） D、（、（1，+ ） 3、过椭圆、过椭圆 x2+2y2=4 的左焦点作倾斜角为的左焦点作倾斜角为300的直线，的直线， 则弦长则弦长 |AB|= _ , DC193622yx1522myx165椭圆的几何性质(第四课时)练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆

12、的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的直线方程.22:(1)195xy解椭圆(2,0)F2lyx直线 ：2225945yxxy由2143690 xx得：1212189,714xxxx2212126 111()47kxxxx弦长椭圆的几何性质(第四课时)练习：练习： 已知椭圆已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为，椭圆的右焦点为F，(1)求过点求过点F且斜率为且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点判断点A(1,1)与椭圆的位置关系与椭圆的位置关系,并求以并求以A为中点为中点椭圆的弦所在的直线方程椭圆的弦所在的

13、直线方程.22:(2)5 19 145 解(1,1)A在椭圆内。1122( ,),(,)AMNM x yN x y设以 为中点的弦为且12122,2xxyy22115945xy22225945xy22221212590 xxyy两式相减得： （） （）1212121259MNyyxxkxxyy 59 51(1)9AMNyx 以 为中点的弦为方程为:59140 xy椭圆的几何性质(第四课时)3、弦中点问题弦中点问题的两种处理方法：的两种处理方法： （1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理； （2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。）设

14、两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。 1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：、弦长的计算方法：弦长公式：弦长公式： |AB|= = （适用于任何曲线）（适用于任何曲线） 21212411yyyyk ）（21221241xxxxk ）（小小 结结解方程组消去其中一元得一元二次型方程解方程组消去其中一元得一元二次型方程 0 相交相交椭圆的几何性质(第四课时)椭圆的几何性质(第四课时)椭圆的几何性质(第四课时)12:( 2,0),(2,0)FF解 椭圆的焦点为200(2,0)60(,)FxyF xy设关于直线的对称点0000( 1)

15、1226022yxxy 由0064xy解得：(6,4)F124 5FFa2 5a2c 4b 2212016所求椭圆方程为：xy椭圆的几何性质(第四课时)122yxbyxm 分析：存在直线与椭圆交与两点，且两交点的中点在直线上。12AByxb 则两点的直线可设为：:2,yxmA B解 假设椭圆上存在关于直线对称的两点椭圆的几何性质(第四课时)1122( ,),(,)A x yB xy设两对称点121213()222yyxxbb 3,)224bbAByxm中点(在直线上3242bbm4bm 242m 1122m2212143yxbxy 由22:30yxbxb消 得2224(3)3120bbb 22b 12xxb