数列综合题和应用性问题教案.doc
《数列综合题和应用性问题教案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《数列综合题和应用性问题教案.doc(3页珍藏版)》请在装配图网上搜索。
泰州二中高中数学二轮复习讲义13. 构建数学模型解数列综合题和应用性问题(教案)一.重难点归纳 1 解答数列综合题和应用性问题既要有坚实的基础知识,又要有良好的思维能力和分析、解决问题的能力;解答应用性问题,应充分运用观察、归纳、猜想的手段,建立出有关等差(比)数列、递推数列模型,再综合其他相关知识来解决问题 2 纵观近几年高考应用题看,解决一个应用题,重点过三关 (1)事理关 需要读懂题意,明确问题的实际背景,即需要一定的阅读能力 (2)文理关 需将实际问题的文字语言转化数学的符号语言,用数学式子表达数学关系 (3)事理关 在构建数学模型的过程中;要求考生对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成用实际问题向数学问题的转化 构建出数学模型后,要正确得到问题的解,还需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力 二课前预习:1 在直角坐标系中,O是坐标原点,P1(x1,y1)、P2(x2,y2)是第一象限的两个点,若1,x1,x2,4依次成等差数列,而1,y1,y2,8依次成等比数列,则OP1P2的面积是_ 2 从盛满a升酒精的容器里倒出b升,然后再用水加满,再倒出b升,再用水加满;这样倒了n次,则容器中有纯酒精_升 3 据2000年3月5日九届人大五次会议政府工作报告 “2001年国内生产总值达到95933亿元,比上年增长7 3%,”如果“十五”期间(2001年2005年)每年的国内生产总值都按此年增长率增长,那么到“十五”末我国国内年生产总值约为_亿元 4 已知数列an满足条件 a1=1,a2=r(r0),且anan+1是公比为q(q0)的等比数列,设bn=a2n1+a2n(n=1,2,) (1)求出使不等式anan+1+an+1an+2an+2an+3(nN*)成立的q的取值范围; (2)设r=219 21,q=,求数列的最大项和最小项的值 1 解析 由1,x1,x2,4依次成等差数列得 2x1=x2+1,x1+x2=5解得x1=2,x2=3 又由1,y1,y2,8依次成等比数列,得y12=y2,y1y2=8,解得y1=2,y2=4,P1(2,2),P2(3,4) =(3,4) 答案 12 解析 第一次容器中有纯酒精ab即a(1)升,第二次有纯酒精a(1),即a(1)2升,故第n次有纯酒精a(1)n升 答案 a(1)n3 解析 从2001年到2005年每年的国内生产总值构成以95933为首项,以7 3%为公比的等比数列,a5=95933(1+7 3%)4120000(亿元) 答案 1200004 解 (1)由题意得rqn1+rqnrqn+1 由题设r0,q0,从上式可得 q2q10,解得q,因q0,故0q;,从上式可知,当n20 20,即n21(nN*)时,Cn随n的增大而减小,故1CnC21=1+=2 25当n20 20,即n20(nN*)时,Cn也随n的增大而减小,故1CnC20=1+=4综合两式知,对任意的自然数n有C20CnC21,故Cn的最大项C21=2 25,最小项C20=4 三.典型题例 例1从社会效益和经济效益出发,某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业,根据规划,本年度投入800万元,以后每年投入将比上年减少,本年度当地旅游业收入估计为400万元,由于该项建设对旅游业的促进作用,预计今后的旅游业收入每年会比上年增加 (1)设n年内(本年度为第一年)总投入为an万元,旅游业总收入为bn万元,写出an,bn的表达式;(2)至少经过几年,旅游业的总收入才能超过总投入?命题意图 本题主要考查建立函数关系式、数列求和、不等式等基础知识;考查综合运用数学知识解决实际问题的能力,本题有很强的区分度,属于应用题型,正是近几年高考的热点和重点题型 知识依托 本题以函数思想为指导,以数列知识为工具,涉及函数建模、数列求和、不等式的解法等知识点 错解分析 (1)问an、bn实际上是两个数列的前n项和,易与“通项”混淆;(2)问是既解一元二次不等式又解指数不等式,易出现偏差 技巧与方法 正确审题、深刻挖掘数量关系,建立数量模型是本题的灵魂,(2)问中指数不等式采用了换元法,是解不等式常用的技巧 解 (1)第1年投入为800万元,第2年投入为800(1)万元,第n年投入为800(1)n1万元,所以,n年内的总投入为 an=800+800(1)+800(1)n1=800(1)k1=40001()n第1年旅游业收入为400万元,第2年旅游业收入为400(1+),第n年旅游业收入400(1+)n1万元 所以,n年内的旅游业总收入为bn=400+400(1+)+400(1+)k1=400()k1=1600()n1(2)设至少经过n年旅游业的总收入才能超过总投入,由此bnan0,即1600()n140001()n0,令x=()n,代入上式得 5x27x+20 解此不等式,得x,或x1(舍去) 即()n,由此得n5 至少经过5年,旅游业的总收入才能超过总投入 例2已知Sn=1+,(nN*),设f(n)=S2n+1Sn+1,试确定实数m的取值范围,使得对于一切大于1的自然数n,不等式 f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立 命题意图 本题主要考查应用函数思想解决不等式、数列等问题,需较强的综合分析问题、解决问题的能力 知识依托 本题把函数、不等式恒成立等问题组合在一起,构思巧妙 错解分析 本题学生很容易求f(n)的和,但由于无法求和,故对不等式难以处理 技巧与方法 解决本题的关键是把f(n)(nN*)看作是n的函数,此时不等式的恒成立就转化为 函数f(n)的最小值大于logm(m1)2log(m1)m2 解 Sn=1+ (nN*)f(n+1)f(n)f(n)是关于n的增函数f(n) min=f(2)=要使一切大于1的自然数n,不等式f(n)logm(m1)2log(m1)m2恒成立只要logm(m1)2log(m1)m2成立即可由得m1且m2此时设logm(m1)2=t 则t0于是解得0t1 由此得0logm(m1)21 解得m且m2 例3已知二次函数y=f(x)在x=处取得最小值 (t0),f(1)=0 (1)求y=f(x)的表达式;(2)若任意实数x都满足等式f(x)g(x)+anx+bn=xn+1g(x)为多项式,nN*),试用t表示an和bn;(3)设圆Cn的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2,圆Cn与Cn+1外切(n=1,2,3,);rn是各项都是正数的等比数列,记Sn为前n个圆的面积之和,求rn、Sn 解 (1)设f(x)=a(x)2,由f(1)=0得a=1 f(x)=x2(t+2)x+t+1 (2)将f(x)=(x1)x(t+1)代入已知得 (x1)x(t+1)g(x)+anx+bn=xn+1,上式对任意的xR都成立,取x=1和x=t+1分别代入上式得 且t0,解得an=(t+1)n+11,bn=1(t+1n)(3)由于圆的方程为(xan)2+(ybn)2=rn2,又由(2)知an+bn=1,故圆Cn的圆心On在直线x+y=1上,又圆Cn与圆Cn+1相切,故有rn+rn+1=an+1an=(t+1)n+1设rn的公比为q,则得q=t+1,代入得rn=Sn=(r12+r22+rn2)=(t+1)2n1 四学生巩固练习1 某公司全年的利润为b元,其中一部分作为奖金发给n位职工,奖金分配方案如下 首先将职工按工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到n排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以n发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金 (1)设ak(1kn)为第k位职工所得奖金金额,试求a2,a3,并用k、n和b表示ak(不必证明);(2)证明akak+1(k=1,2,n1),并解释此不等式关于分配原则的实际意义;2 据有关资料,1995年我国工业废弃垃圾达到7 4108吨,占地562 4平方公里,若环保部门每年回收或处理1吨旧物资,则相当于处理和减少4吨工业废弃垃圾,并可节约开采各种矿石20吨,设环保部门1996年回收10万吨废旧物资,计划以后每年递增20%的回收量,试问 (1)2001年回收废旧物资多少吨?(2)从1996年至2001年可节约开采矿石多少吨(精确到万吨)?(3)从1996年至2001年可节约多少平方公里土地?3 已知点的序列An(xn,0),nN,其中x1=0,x2=a(a0),A3是线段A1A2的中点,A4是线段A2A3的中点,An是线段An2An1的中点, (1)写出xn与xn1、xn2之间关系式(n3);(2)设an=xn+1xn,计算a1,a2,a3,由此推测数列an的通项公式,并加以证明;参考答案:1 解 (1)第1位职工的奖金a1=,第2位职工的奖金a2=(1)b,第3位职工的奖金a3=(1)2b,第k位职工的奖金ak= (1)k1b;(2)akak+1=(1)k1b0,此奖金分配方案体现了“按劳分配”或“不吃大锅饭”的原则 2 解 设an表示第n年的废旧物资回收量,Sn表示前n年废旧物资回收总量,则数列an是以10为首项,1+20%为公比的等比数列 (1)a6=10(1+20%)5=101.25=24.883225(万吨)(2)S6=99.299299.3(万吨)从1996年到2000年共节约开采矿石2099 31986(万吨)(3)由于从1996年到2001年共减少工业废弃垃圾499.3=397.2(万吨),从1996年到2001年共节约 3 平方公里 3 解 (1)当n3时,xn=;由此推测an=()n-1a(nN)因为a1=a0,且 (n2) 所以an=()n-1a 同步作业构建数学模型解数列综合题和应用性问题13答案一、1.B 2.C 3.A二、4.三、6.1557.Tn=8.S10=- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 数列 综合 应用性 问题 教案
装配图网所有资源均是用户自行上传分享,仅供网友学习交流,未经上传用户书面授权,请勿作他用。
关于本文