同济第3章-刚体xue.ppt
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第三章,刚体,3-1-1刚体的运动,平动和转动,平动:,刚体在运动过程中,其上任意两点的连线始终保持平行。归结为某一条直线的运动。,可以用质点动力学的方法来处理刚体的平动问题。,注:,转动:,刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称为转轴。,定轴转动:,转轴固定不动的转动。,转动平面:,垂直于转动轴所作的平面,角速度与线速度的关系,角速度(矢量),右手法则,r,矢量式与原点的选择无关!,O,O,线速度与角速度的关系,3-1-2刚体定轴转动的运动学问题,共同的角位移、角速度、角加速度,角坐标,角速度,角加速度,速度,3-1-3刚体对定轴的角动量,质元:组成物体的微颗粒元,质元对点的角动量为,沿转轴Oz的投影为,刚体定轴转动的动力学问题:,刚体对Oz轴的角动量为,为刚体对Oz轴的转动惯量。,1.转动惯量是转动惯性大小的量度质量是物体平动惯性大小的量度.,2.J和质量分布有关,质量相同的物体,分布不同,则J不同。,3.J和转轴有关,同一个物体对不同轴的转动惯量不同。,结论:,对于质量连续分布的刚体:,(面质量分布),(线质量分布),(体质量分布),例1.计算质量为m,长为l的细棒绕一端的转动惯量。,dx,dm,x,解:,O,例2.均质细圆环的转动惯量。,解:,例3.一质量为m,半径为R的均匀圆盘,求通过盘中心并与盘面垂直的轴的转动惯量。,解:,面密度,平行轴定理,若刚体对过质心的轴的转动惯量为Jc,则刚体对与该轴相距为d的平行轴z的转动惯量Jz是,质心:质量中心。对均匀刚体,质心就在几何中心。,回转半径:,设物体的总质量为m,刚体对给定轴的转动惯量为J,则定义物体对该转轴的回转半径rG为:,例4.计算钟摆的转动惯量。(已知:摆锤质量为m,半径为r,摆杆质量也为m,长度为2r),解:,摆杆转动惯量:,摆锤转动惯量:,3-1-4刚体对定轴的角动量定理和转动定律,由质点系对轴的角动量定理,可得,两边乘以dt,并积分,刚体对定轴的角动量定理:在某一时间段内,作用在刚体上的外力之冲量矩等于刚体的角动量增量。,当J转动惯量是一个恒量时,有,刚体在作定轴转动时,刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比。,转动定律:,对比:牛顿定律:,F=ma,解:动力学关系:,运动学关系:,例题3.如图求圆盘从静止开始转动后,它转过的角度和时间的关系。,解:,3-1-5刚体对定轴的角动量守恒定律,刚体对定轴的角动量定理,刚体对定轴的角动量守恒定律:,当刚体所受的外力对转轴的力矩之代数和为零时,刚体对该转轴的角动量保持不变。,注意:该定律不但适用于刚体,同样也适用于绕定轴转动的任意物体系统。,说明:,1.物体绕定轴转动时角动量守恒是指转动惯量和角速度的乘积不变。,2.几个物体组成的系统,绕一公共轴转动,则对该公共转轴的合外力矩为零时,该系统对此轴的总角动量守恒,或J22=J11,3-1-6力矩的功,力矩:,力矩对刚体所作的功:,功率:,力矩对刚体的瞬时功率等于力矩和角速度的乘积。,3-1-7刚体的定轴转动动能和动能定理,z,第i个质元的动能:,整个刚体的转动动能:,质点的动能,设在外力矩M的作用下,刚体绕定轴发生角位移d,元功:,由转动定律,刚体绕定轴转动的动能定理:合外力矩对刚体所做的功等于刚体转动动能的增量。,内力对刚体所作功的和为零,质点的动能定理,3-1-8刚体定轴转动的功能原理及机械能守恒定律:,质点系的功能原理,用于刚体时,只有外力所作的功可以改变刚体的机械能.?,刚体定轴转动的功能原理:,刚体机械能的增量等于所有外力所作功的代数和。,如果,当外力为保守力或虽有耗散力作用,但耗散力并不作功时,刚体的总机械能保持不变。,刚体定轴转动的机械能守恒定律:,注意:,(1)机械能守恒定律只适用于惯性系,不适合于非惯性系。,(2)在某一惯性系中机械能守恒,但在另一惯性系中机械能不一定守恒。,(3)机械能守恒定律同样适用于质点和刚体组成的系统。,刚体重力势能:,对均匀刚体,重心就在几何中心。,=,(,),),L,L,2,2,mg,解,例1一均质细杆可绕一水平轴旋转,开始时处于水平位置,然后让它自由下落。求:,。,求,:,杆下摆,q,角后,角速度,解:,初态:,末态:,由平行轴定理,例3.两摩擦轮对接。若对接前两轮的角速度分别为,解:由角动量守恒得:,摩擦力矩作负功,质点(刚体)系统有机械能损失。,;,求:对接后共同的角,J2,J1,1,2,0,z,速度,例4.,如图示已知:,M,=2,m,,,h,q=60,解:,碰撞t极小,对m+盘系统,冲力远大于m重力,故m重力对过O点轴的力矩可忽略,角动量守恒:,则:,例5.一质量为M长度为L的均质细杆可绕一水平轴自由转动。开始时杆子处于铅垂状态。现有一质量为m的橡皮泥以速度v和杆子发生完全非弹性碰撞并且和杆子粘在一起。,),L,v,4,m,M,试求:1.碰撞后系统的角速度;2.碰撞后杆子能上摆的最大角度。,3L,3L,L,4,v,m,M,解:碰撞过程角动量守恒,得:,上摆过程质点与刚体系统机械能守恒,取m碰撞处为系统势能零点,得:,练习:1、如图质量为M的匀质强细棒可以在竖直平面内绕通过其中心O的水平轴转动,开始时细棒静止在水平位置。一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的端点。设小球与棒作为弹性碰撞。求碰撞后,小球的回跳速度V以及棒的角速度是多少?,l,l,o,u,答案:,2、一根均匀棒,长为l,质量为m,可以绕通过其一端且与其垂直的固定轴在铅直面内自由转动,开始时棒静止在水平面位置,当它自由下摆时,它的初角速度为多少?它的初角加速度是多少?,o,mg,l,m,(答案:o,3g/2l),3、如图,已知质点B的线速度为V,且与杆垂直,则该系统对轴的角动量是多少?(杆质量可以不计),o,m,2m,l/3,v,B,A,l,(答案:mvl),2l/3,(答案:,m,m,r,2r,T2,T1,a2,a1,mg,mg,5、对一个绕固定水平轴O匀速转动的圆盘,沿如图所示的同一水平直线从相反方向入射两颗质量相同、速率相等的子弹,则子弹射入后,转盘的角速度将如何变化?,6、一个作定轴转动的轮子,对轴的转动惯量J=2.0Kg.m2,正以角速度0匀速转动。现对轮子加一恒定的制动力矩M=-7.0N.m,经过时间t=8秒时轮子的角速度=-0,则0=?,-J11,J22,=,M,dt,t,t,2,1,L,=,L,1,2,d(J),7、一个作定轴转动的轮子,除受到轴承的恒定摩擦力矩Mr外,还受到恒定外力矩M=20N.m的作用,轮子对轴的转动惯量J=15Kg.m2,在t=10秒内轮子的角速度由0=0增大到=10rad/s,则Mr=?,8、一个作定轴转动的轮子,对轴的转动惯量为J,t=0时刻角速度为0,此后飞轮在阻力矩M的作用下经历制动过程,阻力矩M与角速度平方成正比,比例系数为K0.则当=0/3时,飞轮的角加速度等于多少?从开始制动到=0/3时所经历的时间t=?,9、如图所示,水平面上有一质量为m的小球在倔强系数为K的轻弹簧一端,弹簧的另一端固定在O点,开始时弹簧在水平位置A,长为L0,小球的速度为V0,运动B点时,弹簧的长度为L,则小球到达B点时的速度大小为VB=?,O,B,m,L,L0.,10、如图所示,在水平光滑桌面上放一质量为m,长L的均匀细杆,杆上套着一质量也为m的套管B(视为质点),套管用细线拉着,它到竖直轴OO轴的距离为l/2L。杆和套管组成的系统以角速度0绕轴水平方向转动。若在转动过程中细线被拉断,套管将沿着杆滑动。在滑动过程中,该系统转动的角速度与套管离轴的距离x的函数关系如何?,O,O,L,m,x,Z,解:碰撞前瞬时,杆对O点的角动量为,11.一匀质细棒长为2L,质量为m,以与棒长方向相垂直的速度V0在光滑水平面内平动时,与前方一固定的光滑支点O发生完全非弹性碰撞。碰撞点位于棒中心的一方1/2L处,如图所示。求棒在碰撞后的瞬时绕O点转动的角速度。(细棒绕通过其端点且与其垂直的轴转动惯量为1/3mL2,式中m和L分别是棒的质量和长度。),式中为杆的线密度,碰撞后瞬时,杆对O点的角动量为,由于角动量守恒,所以,例7.质量为M,长为2l的均质细棒,在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置,一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设为弹性碰撞。求碰后小球的回跳速度v以及棒的角速度。,解:,由系统角动量守恒,机械能守恒,设碰撞时间为t,消去t,例8.一长为l,质量为M的杆可绕支点o自由转动。一质量为m,速度为v的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为30。问子弹的初速度为多少。,解:,角动量守恒:,机械能守恒:,例9.一质量为M,半径R的圆盘,盘上绕由细绳,一端挂有质量为m的物体。问物体由静止下落高度h时,其速度为多大?,m,M,m,解:,解得:,例10.长为l的均质细直杆OA,一端悬于O点铅直下垂,如图所示。一单摆也悬于O点,摆线长也为l,摆球质量为m。现将单摆拉到水平位置后由静止释放,摆球在A处与直杆作完全弹性碰撞后恰好静止。试求:细直杆的质量M;碰撞后细直杆摆动的最大角度。(忽略一切阻力),解,按角动量守恒定律,系统的动能守恒,解得,系统的机械能守恒,有,- 配套讲稿:
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