理学概率论ppt课件
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而 f (x)为 X 的概率密度函数,,数 x,有,若存在,简称为概率密度或密度函数.,一、连续型r.v的密度函数,4 连续型随机变量及其分布,1、定义:,设r.v X 的分布函数为F(x),则称 X为连续型r.v,使得对任意实,一个非负可积函数f (x),,(连续型随机变量的分布函数F(x) 是处处连续的),1,若 r.v X的概率密度为:,则称X服从区间( a, b)上的均匀分布,,记为 X U(a,b),三、几种常见的连续型r.v,1、均匀分布,(等概率的分布),2,则称 X 服从参数为的指数分布.,2、指数分布,若 r.v X的概率密度为,其分布函数为,3,正态分布是应用最广泛的一种连续型分布.,正态分布在十九世纪前叶由高斯加以推广,所以通常称为高斯分布.,德莫佛,德莫佛最早发现了二项概率的一个近似公式,这一公式被认为是正态分布的首次露面.,3、正态分布,高斯,4,如年降雨量;在正常条件下各种产品的质量指标,零件的尺寸;纤维的强度和张力;某地区成年男子的身高、体重;农作物的产量,小麦的穗长、株高;测量误差,射击目标的水平或垂直偏差;信号噪声等等,都服从或近似服从正态分布.,3、正态分布,5,3、正态分布,若r.v X的概率密度为,“两头小,中间大,左右对称”,其中, ( 0)为常数,,则称X服从参数为, 的正态分布.,记作 XN,6,决定了图形的中心位置,决定了图形中峰的陡峭程度.,参数对图形的影响,正态分布由它的两个参数,完全确定.,7,正态分布,此时称X服从标准正态分布.,其分布函数为,则X的密度函数为,记作 XN( 0,1 ),8,任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,引理,则, N(0,1),若,9,注意:,(1)表中只列出了,(2)当 x 0时可由如下公式求得,(3)若XN( 0,1 ),10,(3)若XN( 0,1 ),例7 若XN( 0,1 ),11,引理,12,若XN,例8 若XN( 1,4),13,例9 已知,,求,解:,同理,,;,=0.6826 ;,14,标准正态分布的上 分位点,设 X N (0,1) ,则称点 z 为标准正态分布X 的上 分位点,常用数据:,0 1,若 z 满足,z,15,求截面面积 A= 的分布.,例如,已知圆轴截面直径 d 的分布,,16,已知t=t0 时刻噪声电压 V的分布,,求功率 W=V2/R (R为电阻)的分布.,设随机变量X 的分布已知,Y=g (X) (设g是连续函数),如何由 X 的分布求出 Y 的分布?,17,一、离散型随机变量函数的分布,5 随机变量函数的分布,解:,Y 的所有可能的取值为,0,1,4,P Y= 0 =,P X= 1 ,= 0 .1,P Y= 1=,P X= 0 ,= 0 .7,+P X= 2 ,P Y= 4=,P X= -1 ,= 0 .2,18,如果g (xk)中有一些是相同的,把它们作适当并项即可.,一般,若离散型 r.v X的分布律为,则 Y=g(X)的分布律为,故Y的分布律为,19,则 Y=X2 的分布律为:,0,1,4,0.3,0.3,0.4,若Y=X的分布律为:,20,二、连续型随机变量函数的分布,例3 设XN( 0,1 ),求Y=X 2的概率密度.,Y的概率密度为: f Y (y),此时称Y服从自由度为1的卡方分布,Y,记作,21,其中,定理:,设r.v X具有概率密度,又设y=g(x)处处可导,,且恒有,x=h(y)是y=g(x)的反函数,或恒有,则Y=g(X)是连续型r.v,其概率密度为:,22,定理5:,设r.v X具有概率密度,又设y=g(x)处处可导,,且恒有,或恒有,则Y=g(X)是连续型r.v,其概率密度为:,若 f (x)在有限区间a,b 外等于0,,此时,在 a,b 上,恒有,或恒有,则需假设,23,24,1、定义:,本章主要知识点:,一、随机变量的概念,随机变量通常用大写字母 X,Y,Z 或希腊字母 等表示,随机变量是定义在样本空间上的单值实函数,25,2、随机变量的分类,随机变量,离散型随机变量,(连续型随机变量),所有可能取值为有 限个或无穷可列个,所有可能取值充满某 一个区间.,非离散型随机变量,26,其中 (k=1,2, ) 满足性质:,k=1,2, ,(1)(非负性),(2)(归一性),p1 p2 pk ,x1 x2 xk ,X,pi,X的概率分布或分布律为:,1、离散型随机变量的分布律,二、离散型随机变量及其分布,27,2、 常见的离散型随机变量及其分布,(1)(0-1)分布或两点分布,设随机变量X的分布律为,则称X服从(0-1)分布。,(0 p 1),0 1,X,pk,p,1-p,28,则称r.vX 服从参数为n和p的二项分布,,X b(n,p),记作,此时X 服从两点分布,若随机变量X的分布律为,(2) 二项分布,当n=1时,,29,( 3)泊松分布,设随机变量X的分布律为:,则称 X 服从参数为 的泊松分布,其中 0 是常数,记作,X P( )或X ().,30,设 X 是一个 r.v,,称为 X 的分布函数.,三、随机变量的分布函数,x为任意实数,,函数,= F(x2)-F(x1),P x1X x2 ,对任意实数 x1x2,,31,F(x) 是右连续的,,二、分布函数的性质,即 若 x1x2,则F(x1) F(x2) ;,F(x) 是单调不减的函数,且F( ) = F(x) = 0,F( ) = F(x) = 1,即,32,数 x,有,1、连续型r.v X 的密度函数 f (x),,四、 连续型随机变量及其分布,若r.v X 的分布函数为F(x),连续型r.v的分布函数F(x)处处连续,则对任意实,若f (x)在x连续,则,33,2、 密度函数f (x)的性质,34,若 r.v X的概率密度为:,则称X服从区间( a, b)上的均匀分布,,记为X U(a,b),3、几种重要的连续型r.v,(1)均匀分布,35,则称 X 服从参数为的指数分布.,2、指数分布,若 r.v X的概率密度为,指数分布的概率密度也可记为,36,(3)正态分布,则r.v X的概率密度为,其中, ( 0)为常数,,若XN,则X的密度函数为,若XN( 0,1 ),37,如果g(xk)中有一些是相同的,把它们作适当并项即可.,1、若离散型 r.v X的分布律为,则 Y=g(X)的分布律为,五、 随机变量函数的分布,38,其中,已知X的概率密度为 f(x),,求Y=g(X)的概率密度,x=h(y)是y=g(x)的反函数,则Y=g(X)的概率密度为,2、连续型随机变量函数的分布,若y=g(x)处处可导,,且恒有,或恒有,39,第二章 练习 题,一、填空题,40,3. 设随机变量X的取值范围是(-1,1),以下函数可作为X的概率密度的是( ),C,41,42,对X 独立地重复观察的4次,用 Y 表示观察值大于 的次数,则,2、设随机变量X 的概率密度为,43,- 配套讲稿:
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