浙江省2019年中考数学复习 第五章 四边形 第三节 矩形、菱形和正方形课件.ppt
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第三节矩形、菱形和正方形,考点一矩形的判定和性质例1(2018山东临沂中考)将矩形ABCD绕点A顺时针旋转(0360),得到矩形AEFG.(1)如图,当点E在BD上时,求证:FDCD;(2)当为何值时,GCGB?画出图形,并说明理由,【分析】(1)先运用SAS判定AEDFDE,可得DFAE,再根据AEABCD,即可得证;(2)当GBGC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据DAG60,即可得到旋转角的度数,【自主解答】(1)由旋转可得AEAB,AEFABCDAB90,EFBCAD,AEBABE.又ABEEDA90AEBDEF,EDADEF.又DEED,AEDFDE(SAS),DFEA.又AEABCD,CDDF.,(2)当GBGC时,点G在BC的垂直平分线上分两种情况讨论:如图,当点G在AD的右侧时,取BC的中点H,连结GH交AD于M,连结DG,CG,BG.,GCGB,GHBC,四边形ABHM是矩形,AMBHADAG,GM垂直平分AD,GDGADA,ADG是等边三角形,DAG60,旋转角60.,如图,当点G在AD的左侧时,连结CG,BG,DG.同理可得ADG是等边三角形,DAG60,旋转角36060300.,矩形的性质应用及判定方法(1)矩形性质的应用:从边上看,两组对边分别平行且相等;从角上看,矩形的四个角都是直角;从对角线上看,对角线互相平分且相等,同时把矩形分为四个面积相等的等腰三角形,(2)矩形的判定方法:若四边形可以证为平行四边形,则还需证明一个角是直角或对角线相等;若直角较多,可利用“三个角为直角的四边形是矩形”来证,1(2018浙江衢州中考)如图,将矩形ABCD沿GH折叠,点C落在点Q处,点D落在AB边上的点E处,若AGE32,则GHC等于()A112B110C108D106,D,2(2018山东青岛中考)已知:如图,ABCD,对角线AC与BD相交于点E,点G为AD的中点,连结CG,CG的延长线交BA的延长线于点F,连结FD.(1)求证:ABAF;(2)若AGAB,BCD120,判断四边形ACDF的形状,并证明你的结论,(1)证明:四边形ABCD是平行四边形,ABCD,ABCD,AFCDCG.GAGD,AGFCGD,AGFDGC,AFCD,ABAF.,(2)解:结论:四边形ACDF是矩形理由:AFCD,AFCD,四边形ACDF是平行四边形四边形ABCD是平行四边形,BADBCD120,FAG60.ABAGAF,,AFG是等边三角形,AGGF.AGFDGC,FGCG,AGGD,ADCF,四边形ACDF是矩形,考点二菱形的判定和性质例2(2018四川内江中考)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,点E,F分别是AB,BC上的点,AECF,并且AEDCFD.求证:(1)AEDCFD;(2)四边形ABCD是菱形,【分析】(1)由全等三角形的判定定理ASA证得结论;(2)由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论,【自主解答】(1)四边形ABCD是平行四边形,AC.在AED与CFD中,AEDCFD(ASA),(2)由(1)知AEDCFD,则ADCD.又四边形ABCD是平行四边形,四边形ABCD是菱形,菱形的性质应用及判定方法(1)判定一个四边形是菱形时,一是证明四条边相等;二是先证明它是平行四边形,进而再证明它是菱形(2)运用菱形的性质时,要注意菱形的对角线互相垂直这个条件;此外,菱形的对角线所在的直线是菱形的对称轴,运用这一性质可以求出线段和的最小值,3(2018江苏镇江中考)如图,点E,F,G分别在菱形ABCD的边AB,BC,AD上,AEAB,CFCB,AGAD.已知EFG的面积等于6,则菱形ABCD的面积等于_,27,4(2018广西柳州中考)如图,四边形ABCD是菱形,对角线AC,BD相交于点O,且AB2.(1)求菱形ABCD的周长;(2)若AC2,求BD的长,解:(1)四边形ABCD是菱形,AB2,菱形ABCD的周长248.(2)四边形ABCD是菱形,AC2,AB2,ACBD,AO1,,考点三正方形的判定和性质例3(2018山东聊城中考)如图,正方形ABCD中,E是BC上的一点,连结AE,过B点作BHAE,垂足为点H,延长BH交CD于点F,连结AF.(1)求证:AEBF.(2)若正方形边长是5,BE2,求AF的长,【分析】(1)根据ASA证明ABEBCF,可得结论;(2)根据(1)得ABEBCF,则CFBE2,最后利用勾股定理可得AF的长,【自主解答】(1)四边形ABCD是正方形,ABBC,ABEBCF90,BAEAEB90.BHAE,BHE90,AEBEBH90,BAEEBH.在ABE和BCF中,,ABEBCF(ASA),AEBF.,(2)ABBC5,由(1)得ABEBCF,CFBE2,DF523.四边形ABCD是正方形,ABAD5,ADF90,由勾股定理得AF,判定正方形的方法及其特殊性(1)判定一个四边形是正方形,可以先判定四边形为矩形,再证邻边相等或者对角线互相垂直;或先判定四边形为菱形,再证有一个角是直角或者对角线相等(2)正方形既是特殊的矩形,又是特殊的菱形,具有它们的所有性质,5(2018山东青岛中考)已知正方形ABCD的边长为5,点E,F分别在AD,DC上,AEDF2,BE与AF相交于点G,点H为BF的中点,连结GH,则GH的长为_,6(2018浙江舟山中考)如图,等边AEF的顶点E,F在矩形ABCD的边BC,CD上,且CEF45.求证:矩形ABCD是正方形,证明:四边形ABCD是矩形,BDC90.AEF是等边三角形,AEAF,AEFAFE60.CEF45,CFECEF45,AFDAEB180456075,AEBAFD(AAS),ABAD,矩形ABCD是正方形,考点四四边形综合题百变例题(2018山东枣庄中考改编)如图,将矩形ABCD沿AF折叠,使点D落在BC边上的点E处,过点E作EGCD交AF于点G,连结DG.(1)求证:四边形EFDG是菱形;(2)探究线段EG,GF,AF之间的数量关系,并说明理由;(3)若AG,EG,求BE的长,【分析】(1)根据翻折的性质和平行线的性质证明即可;(2)连结DE,交AF于点O.由菱形的性质可知GFDE,OGOFGF,然后证明DOFADF,由相似三角形的性质可证明DF2FOAF,于是可得到EG,AF,GF的数量关系;,(3)过点G作GHDC,垂足为H.利用(2)的结论可求得FG,然后在ADF中依据勾股定理可求得AD的长,然后再证明FGHFAD,利用相似三角形的性质可求得GH的长,最后依据BEADGH求解即可,【自主解答】(1)GEDF,EGFDFG.由翻折的性质可知GDGE,DFEF,DGFEGF,DGFDFG,GDDF,DGGEDFEF,四边形EFDG是菱形,(2)EG2GFAF.理由如下:如图,连结DE,交AF于点O.,(3)如图,过点G作GHDC,垂足为点H.,变式1:如图,若点G在BE上,AD10,AB6,CE2,将ABG沿AG折叠,点B恰好落在线段AE上的点H处求证:(1)FAG45;(2)SABGSEGH;(3)BGCEGE.,证明:由题意可知,BGGH,AEAD10,AHAB6,12,34.,(1)1234BAD90,23BAD9045,即FAG45.(2)AE10,AH6,HEAEAH1064.设BGx,GHBGx,GEADBGEC10x28x.在RtGHE中,GE2GH2HE2,,(8x)2x242,x3,即GHBG3,SABGABBG639,SGHEGHHE346,SABGSEGH.(3)GE8x835,BGEC325,BGCEGE.,变式2:如图,矩形ABCD中,AD10,AB6,若点M是BC边上一点,连结AM,把B沿AM折叠,使点B落在点B处,当CMB为直角三角形时,求BM的长,解:如图,当点B落在矩形内部时,连结AC,,在RtABC中,AB6,BC10,ACB沿AM折叠,使点B落在点B处,ABMB90.当CMB为直角三角形时,只能得到MBC90,点A,B,C共线,即B沿AM折叠,使点B落在对角线AC上的点B处,MBMB,ABAB6,CB26.,设BMx,则MBx,CM10x,在RtCMB中,MC2MB2CB2,(10x)2x2(26)2,解得x,如图,当点B落在AD边上时,此时四边形ABMB为正方形,BMAB6.综上所述,BM的长为或6.,易错易混点一正难则反,避实就虚例1我国著名数学家华罗庚曾说过:“数形结合百般好,隔裂分家万事休”如图,在一个边长为1的正方形纸板上,依次贴上面积为的矩形彩色纸片(n为大于1的整数)请用“数形结合”的思想,依数形变化的规律,计算.,易错易混点二矩形的判定掌握不牢固例2如图,在ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,ABO是等边三角形,AB1,求ABCD的面积,- 配套讲稿:
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