广西名校高三上学期第一次摸底考试数学理试题

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1、2017届广西名校高三上学期第一次摸底考试数学（理）试题 理科数学第卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知全集，若，则不可能是（ ）ABCD2.复数（ ）ABCD3.在等差数列中，则此数列前项的和（ ）A13B26C52D1564.已知，则向量与向量的夹角是（ ）ABCD 5.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）ABC.48D80 6.动点与定点的连线的斜率之积为，则点的轨迹方程是（ ）ABCD7.某程序框图如图所示，若输出的，则判断框内应填写（ ）AB C.D8.已知，则（ ）AB

2、CD 9.已知是定义在上的偶函数，且恒成立，当时，则当时，（ ）AB CD 10.在中，已知，若最长边为，则最短边长为（ ）A B C.D 11.点是椭圆上一点，是椭圆的右焦点，则点到抛物线的准线的距离为（ ）AB C.D12.用4种颜色给正四棱锥的五个顶点涂色，同一条棱的两个顶点涂不同的颜色，则符合条件的所有涂法共有( )A24种B48种C.64种D72种第卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.计算：14.已知变量满足约束条件，则的最大值为 .15.正三棱柱的底面连长为，高为2，则它的外接球的表面积为 .16.已知函数，则在上的最大值与最小值之差为 三、解

3、答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.(本小题满分12分)数列满足下列条件：（1）设，求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和18.（本小题满分12分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间的关系进行分析研究，他们分别记录了12月1日至12月5日的每天昼夜温度与实验室每天每100颗种子中的发芽数，得到如下数据：日期12月1日12月2日12月3日12月4日12月5日温差（）101113128发芽数（颗）2325302616该农科所确定的研究方案是：先从这5组数据中选取2组，用剩下的3组数据求线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检

4、验（）求选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率；（）若选取的是12月1日与12月5日的两组数据，请根据12月2日至12月4日的数据，求关于的线性回归方程；（）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（）中所得的线性回归方程是否可靠？（注：）19.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，已知，点是的中点.（）证明：；（）求直线与平面所成角的正弦值20.（本小题满分12分）如图，过抛物线上一点，作两条直线分别交抛物线于，当与的斜率存在且倾斜角互补时：（）求的值；（）若直线在轴上的截距时，求面积的最大值21.（本小题满分12分）已知

5、函数（）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；（）令，当（是自然数）时，函数的最小值是3，求出的值；（）当时，证明：22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲：如图，在中，作平行于的直线交于，交于，如果和相交于点，和相交于点，的延长线和相交于证明：（）；（）23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲已知曲线的参数方程为（为参数），曲线的极方程为（）分别求曲线和曲线的普通方程；（）若点，求的最小值24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数（）若不等式的解集为，求实数的值；（）当时，若对一切实数恒成立，求实数的取值范围2017年高考广西名校第一次摸底考试理科数学参

6、考答案及评分标准一、选择题1D，解析：由已知得可能为，故选D2B解析：3B解析：由，得，于是4C解析：由条件得，所以，所以，即5A解析：由三视图可知几何体是底面为正方形，侧面为等腰梯形的棱台，等腰梯形的上底为2，下底为4，高为4，另两个侧面为矩形，所以两等腰梯形面积和为，其余四面的面积为，所以几何体的表面积为，故选A6C解析：由斜率的存在性可选C7A解析：当时，有8D解析：由，得，所以9B解析：由已知有函数是周期为2，当时，有，故，同理，当时，有，又知是偶函数，故时，有，故，即时，有，故选B10A解析：由，得，由，得，于是，即为最大角，故有，最短边为，于是由正弦定理，求得11B解析：设，由，得

7、，即，解得或（舍去），即点的横坐标为，故点到抛物线的距离为12D解析：法一：假设四种颜色为红、黑、白、黄，先考虑三点、的涂色方法，有种方法，若点与不同色，则、点只有1种涂色的方法，有24种涂法，若点与同色，则点有2种涂色的方法，共48种涂法，所以不同的涂法共有72种法二：用3种颜色涂色时，即、同色，共有种涂色的方法，用4种颜色时，有和同色2种情况，共有，故共有72种二、填空题13.，解析：14解析：如图作出可行域，有圆心到切线的距离等于半径1，可求得的最大值为15，解析：由已知求得正三棱柱外接球的半径为，故它的外接球的表面积为163解析：，当时，故，即函数的值域为，故答案为 三、解答题17.【

8、解析】（1）由已知有，又，是首项为，公比为的等比数列，即6分（2）由已知有，即于是得12分18.（本小题满分12分）解：（）设抽到不相邻两组数据为事件，因为从5组数据中选取2组数据共有10种情况，每种情况是等可能出现的，其中抽到相邻两组数据的情况有4种，所以，故选取的2组数据恰好是不相邻的2天数据的概率是4分（）由数据，求得，由公式求得19.（）证明：取的中点，连接，有平行且等于，于是平行且等于，所以四边形是平行四边形，即，又平面，故平面6分（）依题意知：，所以，即平面，建立如图所示空间坐标系，于是有，设平面的法向量为，由，有，得，所以，故直线与平面所成角的正弦值为20.本小题满分12分解（）

9、由抛物线过点，得，设直线的斜率为，直线的斜率为，由、倾斜角互补可知，即，将，代入得5分（）设直线的斜率为，由，得，由（）得，将其代入上式得因此，设直线的方程为，由，消去得，由，得，这时，又点到直线的距离为，所以，令，则由，令，得或当时，所以单调递增，当时，所以单调递减，故的最大值为，故面积的最大值为12分（附：，当且仅当时取等号，此求解方法亦得分）21.解：（）在上恒成立，令，有，得，得4分（）由，得，当时，在上单调递减，（舍去），当时，在上单调递减，在上单调递增，满足条件当时，在上单调递减，（舍去），综上，有8分（）令，由（）知，令，当时，在上单调递增，即12分22.本小题满分10分选修4-1：几何证明选讲：解（），即，同理，于是5分（），即，同理，所以，又由（）有，所以，即10分23（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程选讲解：（）曲线的普通方程为，由有，又，曲线的普通方程为5分（）圆的圆心，半径点到直线的距离为，故的最小值为10分24（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（）由得，解得，又已知不等式的解集为，所以，解得5分（）当时，设，于是，故当时，当时，当时，所以实数的取值范围为10分11第页