函数的连续性与间断点65761学习教案

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1、会计学1函数函数(hnsh)的连续性与间断点的连续性与间断点65761第一页，共23页。0 x0 x0 x函数在函数在 无定义、有极限无定义、有极限0 x函数在函数在 的函数值与极限值不等的函数值与极限值不等0 x函数在函数在 的函数值与极限值相等的函数值与极限值相等0 x函数在函数在 有定义、无极限有定义、无极限0 x0 x第1页/共22页第二页，共23页。二、二、 函数函数(hnsh)的间断点的间断点 一、一、 函数函数(hnsh)连续性的定义连续性的定义 第八节函数(hnsh)的连续性与间断点 第2页/共22页第三页，共23页。可见可见(kjin) , 函数函数在点在点一、一、 函数函数

2、(hnsh)连续连续性的定义性的定义定义定义(dngy):在在0 x的某邻域内有定义的某邻域内有定义 , 则称函数则称函数(1) )(xf在点在点0 x即即(2) 极限极限(3)设函数设函数连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;且且有定义有定义 ,存在存在 ;第3页/共22页第四页，共23页。若若)(xf在某区间在某区间(q jin)上每一点都上每一点都连续连续 , 则称它在该区间则称它在该区间(q jin)上上连续连续(linx) , 或称它为该区间上的或称它为该区间上的连续函数连续函数 .例如例如,在在上连续上连续 .( 有理整函数有理整函数 )又如又如, 有理分式函数有理

3、分式函数在其定义域内连续在其定义域内连续.在闭区间在闭区间上的连续函数的集合记作上的连续函数的集合记作只要只要都有都有第4页/共22页第五页，共23页。对自变量的增量对自变量的增量(zn lin)有函数有函数(hnsh)的的增量增量函数函数(hnsh)0 x)(xf在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:x x y 0 xy 0 x第5页/共22页第六页，共23页。ab例如例如(lr). (lr). 讨论函数在讨论函数在 x = 0 x = 0 处的连续性处的连续性连续连续(lin(linx)x)不连续不连续(linx)(linx)第6页/共22页第七页，共23页。第7页/共22页第八页

4、，共23页。在在在在二、二、 函数函数(hnsh)的的间断点间断点(1) 函数(hnsh)(2) 函数(hnsh)(xf0 x不存在不存在;(3) 函数函数)(xf0 x)(lim0 xfxx存在存在 ,但但 不连续不连续 :0 x设设0 x在点在点)(xf的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义 ,则下列情形则下列情形这样的点这样的点0 x之一函数之一函数 f (x) 在点在点虽有定义虽有定义 , 但但虽有定义虽有定义 , 且且称为称为间断点间断点 . 在在无定义无定义 ;第8页/共22页第九页，共23页。第9页/共22页第十页，共23页。证明证明(zhngmng)过程过程第10页/共22页

5、第十一页，共23页。1显然显然(xinrn)例例4xoy211 函数在某函数在某 x0 点极限存在点极限存在(cnzi), 但不连续但不连续,数学数学(shxu)上把这一类间断点称为可去间断点上把这一类间断点称为可去间断点.但若重新定义但若重新定义则则 f (x)在定义域上连续在定义域上连续.只要重新定义就可连续只要重新定义就可连续.第11页/共22页第十二页，共23页。例例5 xyo11从图形上可以看到从图形上可以看到, , 这类函数的几何图形这类函数的几何图形(jh t xng)(jh t xng)在在间断点上有个间断点上有个即函数即函数(hnsh)(hnsh)在在左右极限存在左右极限存在

6、(cnzi), (cnzi), 但不但不相等相等 . .跳跃跳跃的形象的形象, , 因此数学上把这一类间断点称为因此数学上把这一类间断点称为跳跃间断点跳跃间断点. .第12页/共22页第十三页，共23页。2x为无穷为无穷(wqing)(wqing)间断间断点点 . .为振荡为振荡(zhndng)(zhndng)间断点间断点( (或其或其它间断点它间断点) .) .例例6:xytan2xyoxyxy1sin0第13页/共22页第十四页，共23页。在该点左右极限在该点左右极限(jxin)(jxin)都存在都存在, , 可去间断点与跳跃可去间断点与跳跃(tioyu)(tioyu)间断点的共同特征是间

7、断点的共同特征是: : 通常把这一类间断通常把这一类间断(jindun)(jindun)点统称为第一类间断点统称为第一类间断(jindun)(jindun)点点. . 除此之外的间断点称为除此之外的间断点称为第二类间断点第二类间断点. . 第一类间断点第一类间断点可去间断点可去间断点跳跃间断点跳跃间断点左右极限都存在左右极限都存在 第二类间断点第二类间断点无穷间断点无穷间断点其它间断点其它间断点左右极限至少有一左右极限至少有一个不存在个不存在第14页/共22页第十五页，共23页。例例7：讨论：讨论(toln)函数函数的连续性的连续性.解：显然解：显然(xinrn)在集合在集合(-, -1) (

8、 -1, 1) (1, + ) 上连续上连续.= 0 = f (1) 函数函数(hnsh)在在 x = -1 处连续处连续. x = 1 为函数的跳跃间断点为函数的跳跃间断点.第15页/共22页第十六页，共23页。例例8.设设当当 k 为何为何(wih)值时值时, (x)在在 x = 0点连续点连续.解解故当故当 (0) = k=1时时, (x) 在在x=0处连续处连续(linx).第16页/共22页第十七页，共23页。小结小结(xioji)第17页/共22页第十八页，共23页。第18页/共22页第十九页，共23页。思考思考(sko)与与练习练习1. 讨论讨论(toln)函数函数x = 2 是

9、第二类无穷是第二类无穷(wqing)间断点间断点 .间断点的类型间断点的类型.2. 设设时时提示提示:为为连续函数连续函数.答案答案: x = 1 是第一类可去间断点是第一类可去间断点 ,第19页/共22页第二十页，共23页。备用备用(biyng)题题 确定函数确定函数间断间断(jindun)点的类型点的类型.解解: 间断间断(jindun)点点为无穷间断点为无穷间断点; xx1故故为跳跃间断点为跳跃间断点. 结束！结束！第20页/共22页第二十一页，共23页。返回返回(fnhu)第21页/共22页第二十二页，共23页。NoImage内容(nirng)总结会计学。第1页/共22页。可见 , 函数。(2) 极限。( 有理整函数 )。又如, 有理分式函数。上的连续函数的集合记作。之一函数 f (x) 在点。虽有定义(dngy) , 且。函数在某 x0 点极限存在, 但不连续,。则 f (x)在定义(dngy)域上连续.。左右极限存在, 但不相等 .。函数在 x = -1 处连续.。x = 1 为函数的跳跃间断点.。x = 2 是第二类无穷间断点 .。备用题 确定函数。解: 间断点。返回第二十三页，共23页。