列车餐饮价格问题

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1、编号：时间：2021年x月x日书山有路勤为径，学海无涯苦作舟页码：第17页 共17页潍坊学院数学与信息科学学院数学建模实训论文实训题目：列车餐饮价格问题学生姓名、专业、班级：1、xxx 数学与应用数学一班2、xxx 数学与应用数学一班3、xxx 数学与应用数学一班指导教师：xxx20011年12月目录1 摘要32 问题重述33问题分析与假设|3 3.1模型假设3 3.2符号说明44 问题分析45 模型建立与求解56 模型结果分析与检验117 模型讨论与改进128 参考文献129 附录13列车餐饮价格问题摘要：从现实出发综合考虑各种因素的条件下，以最大效益为目标，首先应该考虑食物价格和食物的销售

2、量。根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系。收益函数是非单调函数，这样把离散函数近似看成连续函数利用求导法则可求出最大值，但是由于无法统计调查相应的价格对应的销售量，只能用主观的满意度进行计算，并将盒饭和方便面价格分成七种不同的价格机制，每种价格机制对应着满意度，考虑到满意度：列车乘客对食物的满意程度，并假设只要对此种食物满意就必须买这种食物。购买商品的人数=列车总人数*满意度，再根据收益函数求出各种价格的收益。从现实情况可知两种食物的售价所对应的价格机制k相差不能超过1，如盒饭售价在为第2种价格机制时，方便面的售价只能是第

3、1、2、3三种价格机制；同理可求出相应的收益并求出最大的收益。考虑到乘客长时间乘车后，产生疲劳的心情，对方便面这种油腻的食物会比较反感，因此乘客更愿意倾向于购买盒饭，当然由于经济原因，部分乘客还是选择方便面因此可以主观估计出购买方便面和盒饭占总购买人数的百分比，同理可求出相应的收益并求出最大的收益。关键字： 满意度 价格机制 收益 问题重述长途列车由于时间漫长，列车需要为旅客提供一些服务，提供一天三餐是最主要的服务。由于火车上各方面的成本高，因此车上食物的价格也略高。以T238次哈尔滨到广州的列车为例，每天早餐为一碗粥、一个鸡蛋及些许咸菜，价格10元；中午及晚上为盒饭，价格一律15元。由于价格

4、偏贵，乘客一般自带食品如方便面、面包等。列车上也卖方便面及面包等食品，但价格也偏贵，如一般售价3元的方便面卖5元。当然，由于列车容量有限，因此提供的用餐量及食品是有限的，适当提高价格是正常的。但高出的价格应有一个限制，不能高得过头。假如车上有乘客1000人，其中500人有在车上买饭的要求，但车上盒饭每餐只能供给200人；另外，车上还可提供每餐100人的方便面。请你根据实际情况设计一个价格方案，使列车在用餐销售上效益最大。问题分析与假设1 乘客在车上买方便面和买盒饭的行为独立。2 午餐和晚餐的情况是一样的。3 乘客不会出现都自带食物的偶然性。4 早餐情况不考虑。5 假设盒饭的价格和满意度的关系如

5、下。6 每一量火车的货物成本是一样的。 价格和满意度表价格方便面33.544.555.56盒饭910.51213.51516.518满意度量化100%95%80%70%60%40%30%满意度非常满意很满意比较满意基本满意不太满意不满意很不满意 符号说明：盒饭价格：方便面价格：购买盒饭的人数：购买方便面的人数：提供的盒饭的人数：提供的方便面人数：收益 问题说明此问题是最优化问题，首先应该考虑食物价格和食物的销售量。根据需求规律：在假设其他因素既定的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系，即，商品的价格P上升，需求量Q减少；商品的价格P下降，需求量Q增加。收益

6、函数R=P*Q是非单调函数，这样把离散函数近似看成连续函数利用求导法则可求出最大值，但是由于无法统计调查相应的价格对应的销售量，只能用主观的满意度进行核算。模型建立与求解确定价格和销售量来求最优解在成本一定的情况下只要考虑销售就可以，不用考虑成本。有模型如下考虑买方便面和盒饭的比例和销售的比例一样时有：乘客对以下价格的满意程度分别为价格机制1234567价格方便面33.544.555.56盒饭910.51213.51516.518满意度量化100%95%80%70%60%40%30%从表中可以看出前五种都可以把方便面和盒饭销售完，从而可得前五种第五种的销售效率最高，（元）对于第6种， 对于第7

7、种， 综上所述，方便面定价5元，盒饭定价15元，收益最高。考虑到乘客长时间乘车后，产生疲劳的心情，对方便面这种油腻的食物会比较反感，因此乘客更愿意倾向于购买盒饭。（当然由于经济原因，部分乘客还是选择较为便宜的方便面）列车运行时间超过一天； 两种食物的售价对应的价格机制k相差不能超过1，如盒饭售价在为四种价格机制时，方便面的售价只能是第三、四、五中价格机制；乘车时间不超过一天时，购买食物的乘客中，有购买的是方便面，购买的是盒饭； 乘车时间超过一天时，购买食物的乘客中，有购买的是方便面，购买盒饭。 当一种食物保持第种价格机制不变、另一种食物提高到种价格机制时，因升价而减少的人全部打算购买。比如：盒

8、饭保持第3种价格机制12元不变，而方便面由4元提升到4.5元时，购买方便面得人减少，这部分人都转而打算购买盒饭。对于列车运行的第一天首先考虑两种食物处于同一种价格机制时,销售利润有Matlab给出算法。模型如下建立一个满意度和价格关系的矩阵如附录1所示，A = 9.0000 10.5000 12.0000 13.5000 15.0000 16.5000 18.0000 3.0000 3.5000 4.0000 4.5000 5.0000 5.5000 6.0000 1.0000 0.9500 0.8000 0.7000 0.6000 0.4000 0.3000可得对应的价格下的购买食物的人数如

9、附录2B1 = 500 475 400 350 300 200 150（1）买盒饭的人数如附录3 N1 = 200 190 160 140 120 80 60买方便面的人数如附录4N2 = 300 285 240 210 180 120 90总销售额如附录5Y1 = 2100 2345 2320 2340 2300 1870 1620（2）当盒饭售价为第K种价格、方便面售价为第k+1种价格时打算购买盒饭的人数如附录6M1 = 215 235 190 170 180 110打算购买方便面的人数如附录7M2 = 285 240 210 180 120 90总销售额如附录8Y2 = 2150 250

10、0 2730 2795 3250 2355（3）当方便面售价为第k种价格，盒饭售价为第K+1种价格时购买盒饭的人数如附录9D1 = 190 160 140 120 80 60购买方便面的人数如附录10D2 = 310 315 260 230 220 140总销售额如附录11Y3 = 2295 2270 2290 2250 1820 1630综合（1）、（2）、（3）得到:第一天中利润最大的价格方案为：方便面5.5元，盒饭15元。对于列车运行两天的情况（1*）两种食物处于同一种价格机制时,销售利润此时买盒饭人数如附录12N1 =375.0 356.2500 300.0000 262.5000 2

11、25.0000 150.0000 112.5000买方便面人数如附录13N2 = 125.0000 118.7500 100.0000 87.5000 75.0000 50.0000 37.5000销售额如附录14Y1 = 1.0e+003 * 2.1000 2.4500 2.8000 3.0938 3.3750 2.7500 2.2500（2*）当盒饭售价为第K种价格、方便面售价为第k+1种价格时，买盒饭人数如附录15 M1 = 381.2500 375.0000 312.5000 275.0000 250.0000 162.5000 买方便面人数如附录16M2 = 118.7500 100

12、.0000 87.5000 75.0000 50.0000 37.5000总销售额如附录17Y2 = 1.0e+003 * 2.1500 2.5000 2.7938 3.0750 3.2750 2.9063（3*）当盒饭售价为第K+1种价格、方便面售价为第k种价格时购买盒饭的人数如附录18D1 = 356.2500 300.0000 262.5000 225.0000 150.0000 112.5000 购买方便面的人数如附录19D2 = 143.7500 175.0000 137.5000 125.0000 150.0000 87.5000 总销售额如附录20Y3 = 1.0e+003 *

13、2.4000 2.7500 3.1000 3.4500 2.9750 2.5063综上（1*），（2*），（3*）得，盒饭15元，方便面4.5元。综上所述制定的价格方案为：第一天盒饭每盒15元，方便面5.5元，第二天盒饭15元，方便面4.5元。 模型结果分析和检验模型讨论和改进在上面的模型的建立中是从主观的角度来进行定价以及主观的满意度来分析的，考虑到经济学中的价格机制问题先确定价格的种类，然后分别求解出最优解来，模型改进时避免从主观的角度进行分析，而从列车收益的角度进行分析，因为每一顿饭解决的问题是以一样的，盒饭与方便面不妨我们就以午餐为例来进行计算建立模型。根据需求规律：在假设其他因素既定

14、的条件下，盒饭与方便面的需求量（乘客的购买量）与价格之间存在着反向的依存关系，即，商品的价格上升，需求量减少；商品的价格下降，需求量增加，单独考虑盒饭的，价格与需求之间的关系，分为两种情况(一) 价格与销售量是线性的，设价格为，销售为。最低价格为，销售量为。最高价格为，销售量为，价格与销售量之间的函数表达式：由于列车上食物的成本每次基本上是一样的，即使不一样，也就因为地区上差异，我们不考虑这方面的因素。建立模型。用来表示出它的收益，建立收益与价格的关系：求导数求出最优解，把它代入,求出最优解。举个例子，当最低价格为5元时，恰好全部销售出去，当20元时，销售为50份，在MATLAB中的输入程序如

15、下：得到的最优解为当=9.1666元，=1260.4元，B = 17/2, 9, 19/2, 10 A = 5015/4, 1260, 5035/4, 1250得出结果由于在火车上收钱不方便那价格就定为9元与9.5元分别值为x1=input(Please input x1=:);y1=input(Please input y1=:);x2=input(Please input x2=:);y2=input(Please input y2=:);x=x1:0.01:x2;y=(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1;plot(x,y)Y=x.*y;plot(

16、x,Y)syms x;Y=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1);f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1) x3=fix(z)-0.5;x=x3;Y3=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x4=fix(z);x=x4;Y4=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(

17、y2-y1)/(x2-x1)*x1)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y2-y1)/(x2-x1)*x+y1-(y2-y1)/(x2-x1)*x1)B=x3,x4,x5,x6A=Y3,Y4,Y5,Y6图1：卖的盒饭数目与价格之间的关系图2.销售额与价格之间的关系(二) 考虑价格与销售不是线性的，而是凹函数，任何一个函数都可以用三角函数来表示出来，为了方便起见我们不妨设为正弦曲线，模型说明和上面的一样，设价格为，销售为。最低价格为，销售量为。最高价格为，销售量为，价格与销售量之间的函数表达式：建立模型。用来表示出它的收益，建立收益与价格的关系：求出的值来，代入就可以求出具体的值。举

18、个更实际的例子，当最低价格为5元时，恰好全部销售出去，当20元时，销售为50份，在MATLAB中的输入程序：得到的结果为 11/2, 6, 13/2, 7对应的收益为： 1382.6869649276273222719436792871-1037.0152236957204917039577594654*sin(.95671741231906830567985919821785e-1*pi), 1382.6869649276273222719436792871-1037.0152236957204917039577594654*sin(.9567174123190683056798591982

19、1785e-1*pi), 1300-975*sin(3/40*pi), 1400-1050*sin(1/10*pi)程序：x1=input(Please input x1=:);y1=input(Please input y1=:);x2=input(Please input x2=:);y2=input(Please input y2=:);x=x1:0.01:x2;y=(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2;plot(x,y) Y=x.*y;plot(x,Y)syms x;Y=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)

20、+y2)f=diff(Y)z=solve(f);x=z;Y= x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x3=fix(z)-0.5;t=x3;Y3=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x4=fix(z);t=x4;Y4=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x5=fix(z)+0.5;x=x5;Y5=x.*(y1-y2)*(1-sin(pi*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)x6=fix(z)+1;x=x6;Y6=x.*(y1-y2)*(1-sin(p

21、i*(x-x1)/(2*(x2-x1)+y2)B=x3,x4,x5,x6A=Y3,Y4,Y5,Y6附录1：附录2：附录3： %买盒饭的人数附录4： %购买方便面的人数附录5：附录6： %打算购买盒饭的人数附录7： %打算购买方便面的人数附录8：附录9 %购买盒饭的人数附录10 %购买方便面的人数附录11：附录12： 附录13：附录14：附录15：附录16：附录17附录18： %购买盒饭的人数附录19： %购买方便面的人数附录20：参考文献：西方经济学简明教程（第六版）尹伯成主编 上海：格致出版社，2008符号计算系统Mathematica教程 张韵华编著 北京：科学出版社，2001 数学建模实验 周义仓，赫孝良编 西安：西安交通大学出版社，1999 数学建模竞赛赛题简析与论文点评：西安交大近年参赛论文选编 赫孝良等选编 西安：西安交通大学出版社，2002 数学建模案例分析 白其峥主编 北京：海洋出版社，2000 数学建模案例精选 朱道元等编著 北京：科学出版社，2003 数学建模导论 陈理荣主编 北京：北京邮电大学出版社，1999 数学建模：原理与方法 蔡锁章主编 北京：海洋出版社，2000 数学建模的理论与实践 吴翊，吴孟达，成礼智编著 长沙：国防科技大学出版社，1999 数学建模 沈继红等编著 哈尔滨：哈尔滨工程大学出版社，1998 第 17 页 共 17 页