《高等数学习题详解-第6章 定积分》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学习题详解-第6章 定积分（21页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、习题6-11 利用定积分的几何意义求定积分：(1) ； (2) 解 (1) 根据定然积分的几何意义知, 表示由直线及轴所围的三角形的面积,而此三角形面积为1,所以(2) 根据定积分的几何意义知,表示由曲线及轴所围成的圆的面积,而此圆面积为,所以.2 根据定积分的性质，比较积分值的大小：(1) 与； (2) 与解 (1) 当时,即,又,所以(2) 令,因,所以,从而,说明，所以.3 估计下列各积分值的范围：(1) ； (2) ；(3) （)； (4) 解 (1) 在区间上，函数是增函数，故在1,4上的最大值,最小值,所以,即 (2) 令,则,当时,从而在上是增函数,从而f(x)在上的最大值,最小
2、值,所以即 (3) 令,则,令得驻点，又，,a0时, ,故在上的最大值，最小值,所以.(4) 令,则,令得驻点,又,从而在上的最大值,最小值,所以习题6-21 求下列导数：(1) ; (2) ；(3) ; (4) ()解(1) .(2) .(3) .(4) .2 求下列极限：(1) ； (2) 解 (1) (2) 3 求由方程所确定的隐函数的导数解 方程两边对求导数得: , ，又由已知方程有,即，即,于是有4 计算下列定积分：(1) ； (2) ；(3) 设，求(4) 解(1) .(2) (3) (4) 5设函数在区间上连续,在内可导,；证明：在内有证明 由已知条件可知结论成立习题 6-31
3、计算下列积分：(1) ； (2) ；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) ；(9) ； (10) 解 (1) .(2) .(3) .(4) .(5) .(6) .(7) 令，则，当时，；当时，；于是 (8) 令,则,当时，；当时,；于是 (9) 令，则，当时，;；当时,；于是 (10) 2 计算下列定积分：(1) ； (2)；(3) ； (4) ；(5) ； (6) ；(7) ； (8) 解 (1) (2) (3) (4) (5) 于是 (6) (7) (8) 所以 3 利用被积函数的奇偶性计算下列积分：(1) ； （2）(3) ; (4) 解 (1)是奇函数，(2)
4、是奇函数，因此(3) (4) 4 证明下列等式：(1) 证明：；(2) 证明： ()；(3) 设是定义在区间上的周期为的连续函数，则对任意，有证 (1)令，则，当时，；当时，；于是，即(2) 令则，于是，即(3) 因为，而故4 若是连续函数且为奇函数，证明是偶函数；若是连续函数且为偶函数，证明是奇函数证 令若为奇函数，则，令，可得,所以是偶函数若为偶函数，则，令，可得,所以是奇函数5 利用分部积分公式证明：证令则,则 习题6-41 求由下列曲线所围成的平面图形的面积：(1) 与；(2) 与及；(3) 与；(4) 与及；(5) 与及；(6) 与；(7) 与；(8) 与解 (1)两曲线的交点为，取
5、为积分变量，面积元素，于是所求的面积为(2) 曲线与的交点坐标， 与的交点为，取为积分变量，面积元素；于是所求面积为(3)曲线与的交点为，取为积分变量，面积元素，于是所求的面积为(4) 曲线与的交点为；与的交点为；它们所围图形面积为：(5) 曲线与的交点为(1,1)，与的交点为；取积分变量，面积元素，于是所求的面积为(6) 曲线与的交点为，取作积分变量，面积元素，于是所求的面积为(7) 曲线与的交点，取作积分变量,，面积元素，于是所求图形的面积为(8)取作积分变量，面积元素，于是所求的面积为2 求由下列曲线围成的平面图形绕指定坐标轴旋转而成的旋转体的体积：(1) ，绕轴；(2) 轴，分别绕轴与
6、轴；(3) ，绕y轴；(4) ，绕轴解 (1)取作积分变量，体积元素，于是所求旋转体的体积为(2)绕轴旋转时，取作积分变量，体积元素，于是；同理可求平面图形绕旋转所成的旋转体的体积(3)曲线与的交点为，取作积分变量，体积元素，于是所求的旋转体的体积为(4) 取作积分变量，体积元素，于是所求的旋转体的体积为3设某企业边际成本是产量（单位）的函数（万元单位），其固定成本为（万元），求总成本函数解 总成本函数为4设某产品的边际收益是产量（单位）的函数（元单位），试求总收益函数与需求函数解总收益函数为需求函数为5已知某产品产量的变化率是时间(单位：月)的函数，问：第一个月和第二个月的总产量各是多少?解
7、 设产品总产量为,则,第一个月的总产量第二个月的总产量为6某厂生产某产品(百台)的总成本(万元)的变化率为(设固定成本为零)，总收益(万元)的变化率为产量(百台)的函数问：(1) 生产量为多少时，总利润最大?最大利润为多少?(2) 在利润最大的基础上又多生产了台，总利润减少了多少?解(1)总利润当即即,(百台)时,总利润最大，此时的总成本和总收益分别为总利润(万元).即当产量为(百台)时,总利润最大，最大利润是6.25万元(2)在利润最大的基础上又生产了50台,此时产量为3百台,总成本，总收入，总利润为(万元)减少了万元即在利润最大的基础上又生产了台时,总利润减少了万元习题 6-51 判断下列
8、反常积分的敛散性，若收敛，则求其值：(1) ； (2)；(3) (0); (4);(5) ； (6) ；(7) ； (8)；(9) ； (10)解(1) 此反常积分收敛(2) 此反常积分发散(3) 此反常积分收敛(4) 不存在，此反常积分发散(5) 此反常积分收敛(6) 此反常积分收敛(7) 此反常积分收敛(8) ，所以此反常积分收敛(9) 此反常积分收敛(10) ，因为反常积分发散，所以反常积分发散2 当k为何值时，反常积分收敛?当k为何值时，这反常积分发散?解当时， ,发散.当时,所以，当时，此广义积分收敛；当时，此广义积分发散3 利用递推公式计算反常积分解 ,因为 ,所以 .复习题6（A
9、）1、 求下列积分：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； (8) ；(9) ； (10) ；(11) ； (12) 解 (1) 因为被积函数是奇函数,所以(2) ，令，则；当时，；当时，；所以(3) 令，则，当时，；当时，；所以(4) 令，则，当时，；当时，；所以(5) 令，则，当时，；当时，；所以(6) 令，则，当时，；当时，；所以(7) (8) (9) (10) ，所以(11) (12) 令，可得所以2、设在上连续，且，求解令，则，当时，；当时，；所以3、设为连续函数，试证明：证用分部积分法，4、设为连续函数，试证明：证，令，则所以5、计算下列反常积分：（1）；
10、（2）；（3）； （4）解 (1) (2) .(3) (4) 6、求抛物线及其在点处的法线所围成的平面图形的面积解 抛物线在点处的法线方程为，两曲线的交点为；取作积分变量，所求的平面图形面积为7、求由曲线与直线轴所围图形绕轴旋转而成的旋转体的体积解曲线与直线的交点为，取作积分变量，体积元素于是，所求的旋转体的体积为8、设某产品的边际成本为（万元/台），其中代表产量，固定成本（万元），边际收益（万元/台）试求： (1) 总成本函数和总收益函数； (2) 获得最大利润时的产量； (3) 从最大利润时的产量又生产了台，总利润的变化解 (1)总成本函数，总收益函数(2)利润函数，令,得(台)，而，所以
11、当产量(台)时，利润最大(3)，所以从最大利润时的产量又生产了台，总利润减少了（万元） (B)1、填空题：(1) .(2) 设连续，则 .(3) .(4) 设连续，则 .(5) 设,则 .(6) 设连续，且，,则 . (7) 设连续，且,则 .(8) .解 (1) . (2) . (3) 令,则所以 . (4)令 则所以 (5) ，而，所以 (6) 等式两边在区间积分得，所以 (7)令，则，于是原等式化为两边对求导在上式中，令，得 (8) 2、计算下列积分：(1) ； (2) ；(3) ，其中； (4) ，其中解(1) .(2) 令，则(3) 令，则，当时，；当时，；于是 .(4) 由题设有，用分部积分法得3、设，求解等式两边在区间上积分得 解得4、求函数的极值解令，得函数的驻点：；当时，；当时，；当时，；当时，；所以函数在处取得极小值，在处取得极大值：5、设，求解用分部积分法得6、求曲线和轴围成的平面图形绕轴旋转所成的旋转体体积解抛物线的顶点坐标为，左、右半支方程分别为：和；取作积分变量，；体积元素为，因此所求的旋转体的体积为、设，证明：证，所以8、设连续函数满足，证明：证，令，则，所以
高等数学习题详解-第6章 定积分
