八年级数学下册第十一章《图形与证明(一)》精品教学案苏科版

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1、课题11.1你的判断对吗?学习 目标1.经历一些观察、操作沽动，并对状得日勺数学猜想进仃试验验证，体 验直观判断有时不一定正确，从而尝试从数学的角度运用所学的知识 和方法寻求证据、给出证明 .学习 重难 占八、教学重点：初步体验证明说理的方法和重要性教学难点：初步体验证明说理的方法和重要性教学流程1 .图中的两条线段 AB与CD哪一条长一些？先猜一猜，再量一量.观察：1.下图的两条线段 AB与CD哪一条长一些？先猜一猜， 再量一量.A预习导航CBD2 .图中有曲线吗？请在右图中把编号相同的点用线段连起来一、新知探究：观察、思考和实验是人类发现、发明、创造的发端。我们曾通过观察、操作、实验等探索

2、活动，发现了许多正确的结论难道所有的探索活动获得的结论都是正确的吗？情景1、从一只透明的空玻璃杯的侧面能看到杯子下面放了一枚硬币如果向杯中注水，猜一猜这时从杯子的侧面还能看到这枚硬币吗？试一试，你看到了硬币吗？情景2装有半杯水的透明玻璃杯中，插入一根笔直的筷子，这时我们 会看到什么结论呢？说明：，情景1、2学生亲身经历这两个实验的全过程 ，体验到生活中会 产生错觉；事实上，在数学中有时也会产生错觉二、例题分析：如图，是一张边长为 8cm正方形纸片把它们剪成 4块，按右图重新拼合作探究操作的结果，说说你的感受合，这块制片恰好能拼成一个长为13,宽为5的长方吗?说明：本例题应主要让学生自己通过分组

3、合作共同研究，判断能否 完成这样的拼图，进一步感受到仅凭观察、猜想、操作、实验是不 够的，强调我们在以后的数学学习中要学会说理 三、展示交流：1 .图1中的四边形是正方形吗？图 2中的两条直线a、b平行吗? 说说你的看法，如何验证你的结论？图1图22.如图，两个大小相同的大圆，其中一个大圆内有10个小圆,另一个大圆内有2个小圆，你认为大圆内的 10个小圆的周长之和 与另一个大圆内的 2个小圆的周长之和哪一个大一些？请你猜一 猜，并用学过的知识和数学方法验证你的猜想四、提炼总结：（一）本节课你有什么收获？（二）思考：1、要判断两条线段是否平行 ，仅靠观察是 的.（行 或不行）2、下图中两条直线的

4、位置关系如何 ？请你先观察，再用量角器度量两条 直线的夹角各是多少度，然后与同学们交流，你们的结论一样吗？1、通过观察你能肯定的是 （）A.图形中线段是否相等；B. 图形中线段是否平行C.图形中线段是否相交；D.图形中线段是否垂直2、有一正方体，将它各面上分别标出a、b、c、d、e、f.有甲、乙、丙三个同学站在不同角度观察结果如图，问这个正方体各个面上的字母的对面各是什么字母，即a的对面为, b的对面为, c的对面为3 .春节联欢晚会，某班组委会组织了一个有趣的活动 ，两个人握一次 手，若每两人握手一次，则全班56个人共握几次手？ n个人共握多少次 手呢？4 .地理老师在黑板上画了一幅世界五大

5、洲的图形，并给每个洲都写上了代号，然后，他请5个同学每人认出2个大洲来，5个同学的回答是:甲：3号是欧洲，2号是美洲；乙：4号是亚洲，2号是大洋洲；丙：1号是亚洲，5号是非洲；丁： 4号码是非洲，3号是大洋洲；戊：2号码是欧洲，5号是美洲；地理老师说：“你们每个人都认对了一半”，请问，每个号码各代 表什么洲呢？学习反思:课题11 . 2 说理（1）学习 目标经历探索一些问题时,由于“直观判断不可靠”、“直观无法做出确定判 断”，但运用已有的数学知识和方法可以确定一个数学结论的正确性的 过程，初步感受说理的必要性.学习 教学重点：感受“说理”的必要性重难性的有力工具.点教学难点：感受“说理”的必

6、要性“说理”是确认一个数学结论正确教学流程1、 如图(1),把长方形草坪中间的一条1m宽的直道改造成如图(2)处1m宽的“曲径”。预习导航 问题1两条小道占用草坪的面积相同吗？说说你的理由.问题2你认为应该如何计算小道占草坪的面积?一、新知探究：2 _七年级某班的学生通过多次计算代数式x 2x 2的值，得到了以下的一些结论：问题1 当x= 5、 1、0、2、3时，计算代数式的值，与同学交流.2问题2换几个数再试试，你发现了什么？你能说明理由吗？合作探究问题3你认为以下结论正确吗？你能说明理由吗？(1)无论x取什么数，代数式的值总是偶数；(2)无论x取什么数，代数式的值总是正数；(3)无论x取什

7、么数，代数式的值总是负数；(4)无论x取什么数，代数式的值大于 1 .二、例题分析例1、如图，画/ AOB并画/ AOB的角平分线OC.将三角尺的直角顶点落在 OC的任意 一点P上，使三角尺的两条直角边与A/AOB的两边分别交于点 E、F,并比 较PE、PF的E长度；O (2)把三角尺绕点 P旋转，比较 PE与PF 的长度，你能得到什么结论？ 你的结论一定成立吗？与同学交流.说明：由于学生已有通过观察、度量、猜想所得到的结论有时不一定可 靠的体验，以及初步感受到“说理”是确认一个数学结论正确性的有力 工具，因此学生对探索到的结论就有如何“说理”的需求，虽然学生暂时不能解决，但这个悬念促使学生向

8、往、追求着“说理”例2、一参观团依据下列约束条件从A B、C、D E五个地方选定参观地点：(1) 如果去A地，必须去B地(2) D E两地至少去一处(3) B、C只去一处(4) C、D两地都去或都不去(5) 如果去E地，那么 A D两地也必须去依据以上条件，你认为参观团只能去A E. I FD G CF、G H,度量四边形的边则此四边形一定是B三、展示交流(6) 图，四边形 ABCD#边中点分别为 E、 和角，你发现什么结论？(7) 两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，(8) 列语句错误的是()A.同角的补角相等；B.同位角相等.C.垂直于同一条直线的两直线平行；D.两条直线相交有且只有一个交

9、与 八、.(9) 足下列条件的 ABC中，不是直角三角形的是()A、/ B+/ A=Z CB、/A： / B： /C=2： 3 ： 4C、/ A=2/ B=3/ CD、一个外角等于和它相邻的一个内角(10) ， ABC中，/ B=55 ，/C=63 ,DE/AB,则/ DEC于()A.63B.62C.55四、提炼总结：（一）小结本节课你有什么收获?D.118（二）思考:已知等腰直角三角形 ABC中,AB=AC,P是BC边上一点，PE，AB于 E,PF，AC于F,试探寻PE、PF的和与 ABC一腰上 的高之间的关系？当 堂 达 标1、2005年冬季，新七十二名泉评选结果揭晓，济南市所辖的五个区中

10、 皆有名泉分布，小明由此推断济南市历城区一定有名泉。他的这个推 理 （填“正确”或“不正确”）2、用两个全等的等腰直角三角尺拼成四边形，则此四边形一定是 c，一，八一，一1，八，一，一，一3、水结成冰时，体积增加了一，冰化成水时，体积减少了几分之几？94、今年五一节期间，王老板在其经营的服装店里卖出两件衣服，其中一件是裤子售价为 168元，盈利20%, 一件是夹克衫售价也是168元,但亏损20%,问王老板在这次的交易过程中是赚了还是亏了，赚了赚 了多少？亏了亏了多少？还是不赚不亏？学习反思:课题11.2 说理（2）个人主页学习 目标了解定义、命题、真命题、假命题的含义，会区分命题的条件和结论.

11、在交流中发展有条理思考和有条理表达的能力学习 重难 占八、教学重点：命题的组成，能说出一个命题的条件和结论教学难点：命题的组成、真假命题的判断.教学流程预习导航一、课前预习与导学1、定义：对名称或术语的含义进行 ，就是给出它们的定义。请举例说明：2、命题： 句子叫命题，正确的命题叫 ,错误的命题叫。3、卜列命题是真命题的是 （）A.如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角B.两互补的角T是邻补角C.如果a2=b2,那么a=b;D.如果两角是同位角，那么这两角一定相等一、新知探究：活动一：问题一（1）什么是总体的“样本”？（2）怎样的两个数叫做“互为相反数”？（3）怎样的两个图形叫做“全等形”？

12、问题二：（1） “等角的余角相等”与“等角的余角相等吗？”这两句话一样吗？如果不一样，它们有什么/、同？（2） “经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”与“经过一点画已知直线的垂直”用什么/、向 ?（3） “四边形不是多边形”与“四边形不一定是多边形”有什么/、同？给出命题的定义，并能判定一个句子是不是命题 .补充：问题二中的句子，一类对劳动某件事情做出了判断；另一类是没合 作 探 究有对某件事情做出了判断。(即命题与非命题)活动一：师生讨论与交流：命题的真假、组成及形式：.二、例题分析：例1、卜列命题的条件是什么 ？结论是什么？并指出真假命题.(1)如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个

13、底角相等；(2)如果一个四边形的对角线相等，那么这个四边形是矩形；(3)两条直线相交，只有一个交点；(4)相等的角是对顶角；(5)直角三角形的两个锐角互余；(6)垂直于向一条直线的两条直线平行.例2、判断下列语句是否是命题，若是，写成“如果那么” 的形式，并判断其是真命题/、是假命题。(1)全等三角形的对应角相等；(2)延长BA到点C,使AC=AB(3)同角的补角相等；(4)面积相等的三角形是全等三角形。三、展示交流：1.卜列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？(1)正数大一切负数吗？()(2)两点之间线段最短。()(3) 6-2x,那么 x4()(2)各角对应相等的两个多边形是相似多边形；()

14、(3)如果 aw0,bw0,那么 abw。()(4) 一个角的补角,定大于这个角 .()四、提炼总结：(一)小结：本节课你有什么收获？(二)思考：我们知道任何一个命题都由条件和结论两部分组成,?如果我们把一个真命题的条件变结论，结论变条件，那么所得的是不是一个真命题？1式举例说明.(三)在一次测试中，老师出了题目：比较nn+1与但+ 1/的大小.有些同学经过计算发现：当n=1, 2时，有nn+1(n + 1)n,于是认为命题“如果n为任意自然数，则 nn+1bc：贝U ab;(2)角平分线上的点到这个角的两边距离相等；(3)若 ab=0,则 a=0.解答(1)逆命题为：若ab,则ac2bc2.

15、假命题，如 c=0, ac2=bc2(2)逆命题为：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上，真 命题.(3)逆命题为：若a=0,则ab=0,真命题.说明：1、真命题应是公理、定理、定义以及由它们推导出来的正 确的结论，是无需证明大家一致公认的事实或一步一步推导出来的， 而假命题只需举一个反例，即符合题设但不符合结论的例子2、这里仍要提供让学生多说的好机会，让学生多说才能多思，多 说才能有条理地表述，让学生自己去举反例，让学生要有思考的过程， 要注意这里不仅仅是命题的教学，更是几何的综合课堂三、展示交流：1 .写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假.(1)如果同=|b| ,那么a=b

16、;(2) 如果a0,那么a20;(3)等角的补角相等；(4)全等三角形的面积相等.2 .举反例说明下列命题是假命题.如果a+b0,那么a0, b0;(2)面积相等的三角形是全等三角形.(3)4条边相等的四边形是正方形 (4)相等的角是对顶角.(5)两直线被第三条直线所截，同位角相等.(6)两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等四、提炼总结：小结： 1. 什么是逆命题，会识别两个互逆命题。2. 本节课你有什么收获？当1 写出下列命题的逆命题，并判断原命题与逆命题的真假堂 (1) 如果 |a|=|b| ，那么 a=b；达(2)如果a 0,那么a20;标(3) 等角的余角相等；(4) 面积相等

17、三角形是全等三角形.(5)若 ac2bc2,贝U ab;(6) 角平分线上的点到这个角的两边距离相等；若ab=0,则a=0.2 举反例说明下列命题是假命题.(1)如果 a+b0,那么 a0, b0;(2) 面积相等的三角形是全等三角形；(3)4 条边相等的四边形是正方形；(4) 相等的角是对顶角；(5) 两直线被第三条直线所截 , 同位角相等；(6) 两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等。学习反思：个人主页课题 11.4 互逆命题 (2)学习1 、了解逆命题的概念，会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆目标命题不一定成立。目标2 、通过具体的例子理解反例的作用，知道利用反例可以判断一

18、个命题是假命题。3、经历一些“探索发现猜想证明”的过程，不断发展合乎逻辑习难学重点预习导航的思考、有条理的表达的能力。教学重点：会识别两个互逆命题，并知道原命题成立其逆命题不一定 成立。教学难点：不断发展合乎逻辑的思考、有条理的表达的能力。教学流程1 .“直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方”的逆命题是O2 . “角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题是 O3 .“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”的逆命题是 O4 .在ABC中，三条边的长分别为a、b、c,且a=n2 1, b=2n, c=n2+ 1,（n1）求证：/ C=90o5 .如图，牧童在 A处放牛，其家在 B处，A

19、、B到河岸的距离分别为（1）牧童从A处把牛牵到河边饮水后再回家,试问在何处饮水所走的路AC B在，且到河岸 CD的中点。的距离为5米,程最短？（2）最短路程是多少?三、概念探究:（一）、情境创设:如图1, AB / cq AB与DE相交于点G / B=/ D.合作探究（二）、探索活动:问题1:你由这些条件得到什么结论?如何证明这些结论？说明：充分发挥学生的主动性 在下列括号内填写推理的依据 AB/ CD （已知）/ EGA=/ D （），去探索问题的结论.又.一/ B=/D （已知）/ EGA=/ B(DE/ BF(上面的推理过程用符号“=”怎样表达：AB/ CD =/ EGA=/ D=/ E

20、GA=/ B=DE/ BF。分析：ZB=Z D）问题2:还有不同的方法可以证明DE/ BF吗？问题3:在图中，如果 DE/ BF, / B=Z D,那么你得到什么结论？ 证明你的结论.问题4:在图（1）中，如果AB/ CD，DE/ BF,那么你得到什么结论？证 明你的结论.说明：1、问题3、4构造了课本中讨论的关于图 （1）的一个命题的逆命题，实质是在不断依据有关平行线的的互逆命题进行推 理中，引导学生逐步认识探索图形的性质要关注图形的“位置关系” 和“大小关系”的内在联系，体验数学活动中充满着探索与创造，感 受数学的严谨。2、课本提供的情景是让学生经历“观察 -实验-猜想一证明”等 活动，由

21、合情推理到演绎推理，能有条理地、清晰地阐述自己的观点， 从而不断发展初步的演绎推理的能力.3、实际中我们可以把图形演变为图2,再来让学生猜想，并能得出什么结论，并证明结论的正确性.从中让学生从中判断“如果任意角 的两边分别互相平行，那么这两个角相等”这个命题正确与否二、例题分析：那么这两条直线也互例1、证明：如果两条直线都与第三条直线平行, 相平行.分析：已知：如图（2）直线a、b、c, b a, c/l a,求证：b H c.证明：彳直线a、b、c的截线d b / a（已知）Z2=Z1（）c / a （已M）3=Z 1（）./ 2=/3（等量代换）1. b / c （）例 2 如图， ABC

22、中，AB=AC D在 BC上，且 BD=AD DC=AC 求/ B 的度数.分析：图中有三个等腰三角形，可用等边对等角的性质，再用方程的思想解题，列方程的依据是三角形内角和定理在 ADC中，, / C+/ CAD吆 ADC=180 -x +2 x + 2x =180 x =36.答：ZB的度数为36 .解：AB=AC已知）/ B=Z C（等边对等角）同理，/ B=Z BAR / CAD叱 CDA.设/ B=x ,则/ C=x , / BAD=X , / ADC=2X , / CAD=2X .三、展示交流:如图1, AB/ CD （1） / A / P、/ C三角之间存在怎样的关系？用两 种方法

23、证明你的结论.（2）如果将P点向右移，（如图2） AB II CD此 时/ A / P、/ C三角之间存在怎样的关系？并证明你的结论.（3）如AABBP果将P点移到图3和图4的位 置，此时/ A、/ P、/ C三角 之间存在怎样的关系？并证 明你的结论.四、提炼总结：（一）小结 本节课你有什么收获？ （二）思考：证明：角平分线上的一点到这个角的两边距离相等1 .给下面的证明过程证明理由已知 AB=DC / BAD至 CDA求证：/ ABChDCB证明：连结AC BD交点为O在 ADB与 DAC中因为/ BAD=/ ADC()AD=DA()AB=DC()一所以 AD整 DAC()堂达所以BD=C

24、A标又在 ABC与 DCB中因为 BD=CA( )AB=DC()BC=BC()所以 AB黄 DCB()所以/ ABC=/ DCB2 .如图， ABC中，AB=AC D在 BC上，且 BD=AD DC=AC 求/ B 的度数.学习反思:个人主页课题图形与证明（一）小结与思考学习1 .通过习题，让学生进一步了解定义、命题、定理、逆命题、互逆命 目标题等概念，并让学生知道原命题成立，它的逆命题不一定成立。2 .继续感受数学的严谨，初步养成言之有理、落笔有据的推理习惯， 发展学生初步的演绎推理能力 .3 .进一步培养学生的动脑、动手的解题能力。学习 教学重点：本章知识的梳理以及应用。教学难点：本章知识

25、的应用。教学流程1 .证明命题的一般步骤：(1)根据命题，画出图形；(2)根据命题，结合图形，写出已知、求证；(3)写出证明过程.注：运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；检查表达过程是否正确，完善。2 .对名称或术语的含义进行描述，做出规定，就是给出他们的定义例如：(1) “符号不同、绝对值相等的两个数”是“互为相反数”的定义；复习导航(2) “能够完全重合的图形”是“全等形 的定义.(3) 无理数：无限不循环小数叫做无理数.3 .命题：判断一件事情的句子，叫做命题.命题由条件和结论两部分构成.正确的命题称为真命题，不正确的的命题称为假命题 .4 .三角形内角和定理5 .基本事实：同

26、位角相等，两直线平行.两直线平行，同位角相等.两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.三边对应相等的两个三角形全等2 .已知：如图，已知 AD是4ABD 和4ACD的公共边求证：/ BDCW BAC吆 B+/ C合作探究3 .证明：等边对等角.条件：一个三角形的两条边相等；结论：它们所对的角也相等.已知： ABC中,AB=AC求证/ B=Z C.思考：你能把命题中的条件和结论互换，构造一个新的命题吗？ 你构造的命题是真命题吗？为什么？4 .在四边形ABCD43，有以下几个事项：(1 ) AB / CD ( 2 ) Z B=Z D ( 3 ) AD /

27、 BC请用其中的两个事项作为条件，另一个事项作为结论，构造一个命题.你构造的命题是真命题吗？为什么？二、展示交流：1.如图，在 ABC中，AB=AC,P是BC上的一点，PE AB,PF AC,垂足分别为 E,F,BD是等腰三角形的腰 AC上的高。试探索BD, PF, PE三者关系延伸拓展2.如图，在 ABC中,AB=AC, P是BC延长线上的一点，PEAB,PF AC,垂足分别为E,F, BD是等腰三角形的腰 AC上的高。拓展延伸3.如图，在等腰梯形 ABCD43, AB=DC, P是BC上的一点，PE AB,PF AC,垂足分别为 E,F, BM 是腰DC上的高。试再探索BM , PE ,

28、PF三、提炼总结：同学们，这节课你们有哪些收获呢?(6)不相等的两个角不可能是对顶角2.如图，在4AFD和 CEB中，点A,E,F,C 在同一直线上，下面有4个 判断： AD=CB AE=FC / B= / D AD /BC请用其中的三个事项作为已知条件，余下一个事项作为结论，构造 一个命题.你构造的命题是真命题吗？为什么？3如图：在 ABC中，P是/ B、/ C角平分线的交点, / BPC与/ A有怎样的大小关系？说说你的理由。拓展1拓展2如图：在 ABC中，P是/ B的角平分线 和/ C外角的角平分线的交 点，/ BPC与/ A有怎样的大小关系？说说你的理由。拓展3如图：在 ABC中，P,

29、 Q是/ B、/ C三等分线的交点,/ BPC与/ BQC与/ A有怎样的大小关系？说说你的理由。AC学习反思:参考答案：11.3证明(3)答案1. (1) Z A+Z P+Z C=360(2)/P=/A + /C 2. 证明略 3, 证明略4. Z A+Z B+Z C+Z D+Z E=18011.4互逆命题(1)答案1.(1) 原命题：如果|a|二|b| ,那么a=b;(假命题)逆命题：如果a=b,那么|a|=|b| ;(真命题)（2）原命题：如果a0,那么a20;（真命题）逆命题：如果 a20,那么a0;（假命题）（3）原命题：等角的余角相等；（真命题）逆命题：如果两个角的余角相等，那么这

30、两个角相等；（真命题）（4）原命题：面积相等三角形是全等三角形.（假命题）逆命题：全等三角形面积相等（真命题）（5） 原命题：若 ac2bc2,则ab;（真命题）逆命题：若ab,则ac2bc2;（假命题）（6）原命题：角平分线上的点到这个角的两边距离相等；（真命题）逆命题：到角两边距离相等的点在这个角的平分线上；（真命题） 原命题：若ab=0,则a=0.（假命题）逆命题：若a=0,则ab=0.（真命题）2.略11.4互逆命题（2） 答案1.略2. /B =36，-1小结与思考答案 1.（1）, （2）, （3）, （6）是命题；2.略3. /BPC=90 +2/A11拓展 1 : / BPC=90 - 2 /A拓展 2: / A=2/ BPC拓展 3: / BPC=90 +万 / Q1/ BPC=120 +-Z A31 .下面的句子哪些是命题 ？(1)每单位面积所受到的压力叫做压强;(2)如果a是实数，那么a1 2+1 0;(3)两个无理数的乘积一定是无理数；(4)偶数一定是合数吗？(5)连接AB;