初中联赛试题及答案

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1、2016年全国初中数学联合竞赛试题第一试(3 月 20 日上午 8:30 - 9:30)、选择题（本题满分 42分，每小题7分）（本题共有6个小题，每题均给出了代号为ABC, D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的将你所选择的答案的代号填在题后的括号内每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.）11. 用x表示不超过x的最大整数，把x x称为x的小数部分.已知t， a是t2 V31 1的小数部分，b是t的小数部分，贝U 丄丄（）2b aA.1C.1 D.、32 22. 三种图书的单价分别为 10元、15元和20元，某学校计划恰好用500元购买上述图

2、书 30本，那么不同的购书方案有（A. 9种 B. 10种 C. 11种 D.12种3（A）.如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”.3333如：2 1 （ 1） ,26 3 1 , 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中，所有的“和谐数”之和为A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 926220）的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).当3(B).已知二次函数 y ax bx 1(aa b为整数时，ab ()13A. 0 B. C. D. 2444.已知e O的半径OD垂直于弦AB ,交AB于点C，连接AO并延长交e O于点E

3、 ,若AB 8, CD 2,则 BCE的面积为BDC 900, AB AC 、5 , CD 1,对角线( )A. 12 B.15C.16 D.185.如图，在四边形 ABCD中， BAC的交点为M，则DMA辱負23C套 D.12 26.设实数x, y,z满足x y z 1,则M xy 2yz 3xz的最大值为()1 23A. B. C. D.12 34二、填空题(本题满分28分，每小题7分)(本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.)1.【1(A)、2(B)】已知 ABC的顶点A、C在反比例函数y(x 0)的图象上，xACB 900, ABC 300, AB x轴，点B在点A的上方，且AB

4、 6,则点C的坐标为.1(B).已知 ABC的最大边 BC上的高线 AD和中线 AM恰好把BAC三等分，AD 、3,则 AM .2(A).在四边形ABCD中，BC / AD , CA平分 BCD ,0为对角线的交点，CD AO, BC OD,则 ABC .3. 【3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰 好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是.3(B).若质数p、q满足：3q p 40, p q 111,则pq的最大值为.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个 5行5列的表格内(每 格填入一个数)，使得同一列中任何两

5、数之差的绝对值不超过2.考虑每列中各数之和，设这5个和的最小值为 M ,则M的最大值为.第二试(3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、(本题满分20分)已知a,b为正整数，求 M 3a2 ab2 2b 4能取到的最小正整数值.二、(本题满分25分)(A).如图，点C在以AB为直径的e O上，CD AB于点D,点E在BD上，AE AC,四边形DEFM是正方形，AM的延长线与e O交于点N .证明：FN DE .(B).已知：a b e 5, a2 b2 e215, a3 b3 e347.求(a2 ab b2)(b2 be c2)(c2 ca a2)的值.三、(本题满分25分)(A).已

6、知正实数 x, y, z满足：xy yz zx 1,且2 2 2 2 2 2(X l)(y 1) (y 1)(Z1) (z 1)(X1)4xyyzzx1 1 1(1) 求的值.xy yz zx(2) 证明：9(x y)(y z)(z x) 8xyz(xy yz zx).(B).如图，在等腰 ABC中，AB AC .5, D为BC边上异于中点的点，点 C关于直线AD的对称点为点E, EB的延长线与 AD的延长线交于点 F,求AD AF的值.2016年全国初中数学联合竞赛试题及详解第一试（3 月 20 日上午 8:30 - 9:30）、选择题（本题满分 42分，每小题7分）（本题共有6个小题，每题

7、均给出了代号为AB,C D的四个答案,其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.）11t的小数部分，b是t的小数部分，则2ba1.3 d厂A.B.C.1D.322【答案】A.【解析】Qt12、3,1.32,2气3a t 3.3 1.t2、3, 2J31,421 1112332b a2（2 、；3）、3 1222.三种图书的单价分别为10元、15元和20元，1.用x表示不超过x的最大整数，把x x本，那么不同的购书方案有1口称为x的小数部分已知t ，a是2 V3（ ）3234,即 3 t

8、 4,又、33,b t （ 4）2, 31 1-,故选A.2某学校计划恰好用500元购买上述图书30（ ）A. 9种 B. 10种 【答案】C.C. 11 种D. 12 种【解析】设购买三种图书的数量分别为x,y, z,则x y z 3010x 15y 20z 500即y z3y 4z30 x100 2x，解得20 2x10 x依题意得,x, y, z为自然数（非负整数）故0 x 10, x有11种可能的取值(分别为 0,1,2丄，9,10),对于每一个x值，y和z都 有唯一的值(自然数)相对应.即不同的购书方案共有 11种，故选C.3(A).如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称

9、这个正整数为“和谐数”.如：2 13 ( 1)3,26 33 13, 2和26均为“和谐数”.那么，不超过2016的正整数中， 所有的“和谐数”之和为()A. 6858 B. 6860 C. 9260 D. 9262【答案】B.3322【解析】(2k 1) (2 k 1)(2k 1) (2 k 1) (2 k 1) (2 k 1)(2k 1) (2k 1)2 22(12k1)(其中k为非负整数)，由2(12k1)2016得，k 9k 0,1,2丄,8,9，即得所有不超过 2016的“和谐数”，它们的和为3(B).已知二次函数yax2 bx1(a0)的图象的顶点在第二象限，且过点(1,0).a

10、b为整数时，ab( )1 A. 0 B. C.3 D.244【答案】B.【解析】依题意知a 0,b0,ab 10,故 b 0,且 b a 1，2aa b a ( a1) 2a1，于是1 a0,1 2a 1 1又a b为整数，2a 10,故a11b, ab，故选 B.2413 ( 1)3(33 13) (53 33) L(173 153) (193 173) 193 1 6860.故选 B.4.已知e O的半径OD垂直于弦AB ,交AB于点C，连接AO并延长交e O于点E , 若AB 8, CD 2,则 BCE的面积为()【解析】设OC x,则OA OD x 2,QODAB于 C, AC CB1

11、-AB 4,2在RtOAC 中，OC2 AC2OA2,即x242 (x 2)2,解得 x3，即 OC 3A. 12 B.15C.16 D.18(第4题答案图)Sbce 2cb2BE - 4212.故选A.5.如图，在四边形ABCD 中,BAC BDC 900, AB AC . 5, CD 1,对角线的交点为M，则DM (D.-2D（第5题答案图）【答案】D.AHBD于占J八、H,则 AMHCMD ,AHCDAMCMQCD1,AHAMCMAM x, 则CM 5x,AH在 Rt ABM中，BM AB2 AM 2 x25,则 AHAB5xx2J,显然x O，化简整理得2x25、5x10 0解得x-,

12、 （ x 2-、5不符合题意，舍去），故2AMBMCM丄,在Rt CDM中,2DM CM 2CD2故选D.26.设实数x, y, z满足x y z1,则 M xy2yz 3xz的最大值为123A. B. C. D.1234【答案】C.【解析】M xy (2 y 3x)z xy (2 y 3x)(1x y)3x2 4xy2y2 3x 2y2222211-23x2 x1yxyx 3x22222221212 y x1133yxxx -x222244当且仅当x1,y0时，M取等号，故 Mmax3故选C.24二、填空题（本题满分28分，每小题7分）（本题共有4个小题，要求直接将答案写在横线上.）1.【1

13、（A）、2（B）】已知 ABC的顶点A、C在反比例函数y 丄3 （ x 0）的图象上，xACB 90, ABC 300, AB x轴，点B在点A的上方，且AB 6,则点C的坐标为.【答案】2【解析】如图，过点 C作CD AB于点D .在 Rt ACB 中，BCAB cos ABC 3. 3（第1题答案图）在 Rt BCD 中，CDBC sin B9BD BC cosB ,2ADAB BD3,设C m,U ,A n 二2mn依题意知n m 0,故CDn m,AD辽乜，于是m n2 ，故点C的坐标为2.3233n m .=.=2 解得 j.32-33m n21（B）.已知 ABC的最大边 BC上的

14、高线 AD和中线 AM恰好把 BAC三等分,AD 3,则 AM【答案】2.【解析】C D AfB(第1题答案图1 )(第1题答案图2)依题意得 BADDAMMAC , ADBADC900,故ABCACB.(1)若 ABCACB 时，如答案图1所示，ADM也ADB,BDDM1CM2ADDM11又AM平分 DAC,，在 Rt DAC 中,即cosDACACCM22DAC 600,从而 BAC900,ACD 300.在 Rt ADC 中，CDADtanDAC ,3 tan 60o3, DM1.在 Rt ADM 中，AMAD2DM 22.(2)若 ABCACB 时,如答案图2所示.同理可得AM2 .综

15、上所述，AM2.ABCD中，BC/ AD , CA平分 BCD ,0为对角线的交点，2(A).在四边形CD AO, BC0D,则ABC【解析】设OCD,ADO,QCA平分BCD,OCDOCB5cQ BC / AD,ADOOBC,DAOOCB,(第2题答案图)OCDDAO,ADCD,QCDAO, ADAO,ADOAODBOCOBC5OC BC,Q BC OD,OCOD,ODCOCDQ BOCODCOCD,BOCOBCOCB180o2 ,2180o,解得36o,72o,DBCBCD72o5BD CDAD,ABD._ _ o18054254 ,故 ABCABDDBC126o.【答案】1260.3.【

16、3(A)、4(B)】有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰 好为原来两个三位数的乘积的3倍，这个六位数是【答案】167334.y 3xy 1000x(3y 1000)x,故y是x的正整数倍，不妨设 y tx (t为正整数)，代入得1000 t 3tx, x 1000 qx是三位数，x 1000上100，解得3t3t1000t,Qt为正整数，t的可能取值为1,2,3.验证可知，只有t 2符合，此时299x 167, y 334.故所求的六位数为167334.3(B).若质数p、q满足：3q p4 0, pq111,则pq的最大值为.【答案】1007.【解析】由3q p 4

17、0得，p3q 4,pq2q(3q 4) 3q 4q 3 q22343,因q为质数，故pq的值随着质数q的增大而增大,当且仅当q取得最大值时，pq取得最大值.又 p q 111， 3q 4 q111, q283，因q为质数，故q的可能取值为423,19,17,13,11,7,5,3,2，但 q23 时，p3q4655 13不是质数，舍去当 q 19 时，p 3q 4 53恰为质数.故 qmax 19,( pq)max 53 19 1007.4(A).将5个1、5个2、5个3、5个4、5个5共25个数填入一个 5行5列的表格内(每 格填入一个数)，使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过2.考虑每列

18、中各数之和，设这5个和的最小值为 M ,则M的最大值为.【答案】10.【解析】(依据5个1分布的列数的不同情形进行讨论，确定M的最大值.(1) 若5个1分布在同一列，则 M 5 ；(2) 若5个1分布在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为3,故2M 5 1 5 3 20,故 M 10;(3) 若5个1分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为3，故3M 5 1 5 2 5 3 30,故 M 10;若5个1分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于3，这与已知矛盾第二试(3 月 20 日上午 9:50 11:20)一、(本题满分20分)已知a,b为正整数，求 M 3a2 ab

19、2 2b 4能取到的最小正整数值【解析】解：因 a,b为正整数，要使得 M3a2 ab2 2b 4的值为正整数，则有a 2.当a 2时，b只能为1,此时M 4.故M能取到的最小正整数值不超过4.当a 3时，b只能为1或2.若b 1,M 18;若b 2，则M 7.当a 4时，b只能为1或2或3.若b 1,M 38 ;若b 2, M 24 ;若 b 3,则M 2.(下面考虑：M 3a2 ab2 2b 4的值能否为1？)(反证法)假设 M 1，则 3a2 ab2 2b 4 1，即 3a2 ab2 2b 5， a(3a b2) 2b 5 因b为正整数，故2b 5为奇数，从而a为奇数，b为偶数，不妨设a

20、 2m 1,b 2n，其中m,n均为正整数，则a(3a b2) (2m 1) 3(2m 1) (2n)24(3m2 3m 2mn2 n2) 3即a(3a b2)被4除所得余数为3,而2b 52(2 n) 54(n 1) 1被4除所得余数为1,故式不可能成立，故 M 1.因此，M能取到的最小正整数值为2.二、(本题满分25分)(A).如图，点C在以AB为直径的eO 上, CD AB于点D,点E在BD上, AE AC,四边形DEFM是正方形， AM的延长线与e O交于点N.证明：FN DE.【证明】：连接BC、BN.Q AB为eO的直径，CD AB于点DACB ANB ADC 90Q CAB DA

21、C, ACB ADC, ACB s ADC,ACABAC,AC2ADABAD由四边形DEFM是正方形及CD AB于点D可知：点M在CD上，DEDMEF MFQ NABDAM ,ANBADM ,ANB s ADMANABADABAM AN,2AC2 AM ANADAM Q AEAC, AE2AMAN以点F为圆心、FE为半径作e F,与直线AM交于另一点P,则e F与AB切于点E,即AE是e F的切线，直线 AMP是e F的割线，故由切割线定理得AE2 AM APAN AP,即点N与点P重合，点N在e F上， FN FE DE .(注：上述最后一段得证明用了“同一法”)(B).已知：a b c 5

22、,a2b2 c215, a3 b3c347.求(a2 ab b2)(b2 be c2)(c2 ca a2)的值.【解析】由已知得 ab bc ca 1 (a bc)2(a2b2c2)5由恒等式 a3 b3c33abc (a b c)(a2b2c2ab bc ca)得，47 3abc 5 (15 5), abc 1又 a2 ab b2 (a b c)(a b) (abbcca)5(5c)55(4c)同理可得 b2 bc c25(4 a),c2 caa25(4b)原式=53(4 a)(4 b)(4 c) 125 64 16(a b c) 4(ab bc ca) abc125 64 16 5 4 5

23、 ( 1) 625.【注：恒等式(t a)(t b)(t c) t3 (a b c)t2 (ab bc ca)t abc 】三、(本题满分25分)(A).已知正实数x, y, z满足：xy yz zx 1,且(x21)(y21)(y21)(z2 1)(z2 1)(x2 1)4xyyz4zx(1)1 求一11的值.xyyzzx(2)证明：9(xy)(y z)(z x)8xyz(xy yz zx).【解析】(i)解：由等式(x2 1)(y2 1) (y2 1)(z2 1) (z2 1)(x2 1) 4, xyyzzx222222去分母得 z(x1)(y1) x( y 1)(z1) y(z 1)(x

24、 1) 4xyz ,2 2xyz2 2xy z2 2x yzx(y2z2)y(z22 2x ) z(xy2)3xyz(x y z) xyz 0,xyz(xyyzzx) (xyz)(xyyzzx) (x yz)xyz0,xyz(x yz)( xyyzzx1) 0，Q xy yzzx1,xy yzzx1 0，x y zxyz (x y z) 0, xyz x y z, 原式=1.xyz(2)证明：由(1)得计算过程知xyz x y z，又Q x, y,z为正实数，9(xy)(yz)(zx)8xyz(xyyzzx)9(xy)(yz)(zx)8(x yz)(xyyzzx)x(y2z2)y(z2x2)z

25、(x2y2) 6xyzx(yz)2y(zx)2z(x y)20. 9(xy)(yz)(zx)8xyz(xyyzzx).【注：(x y)y z)(zx) x2y2xy2y z2yz2 2z x zx2 xyzx(:y2 z2)y(z2x2)z(x2y2) 2xyz(x yz)(xyyzzx)x2y xy2 2yz yz2z2x zx23xyzx( y2 z2) y(z2 x2) z(x2 y2) 3xyz 】(B).如图，在等腰 ABC中，AB AC 、5, D为BC边上异于中点的点，点 C关于直线AD的对称点为点E , EB的延长线与AD的延长线交于点F,求AD AF的值.【解析】如图，连接AE,ED,CF ,则Q ABAC,ABDACBQ点C关于直线AD的对称点为点E,BEDBCF, AEDACDACBABDAED,A,E, B,D四点共圆,BEDBAD （同弧所对得圆周角相等）BADBCF ,代B, F,C四点共圆，AFBACBABDAB AF2厂2AFB sABD,AD AFAB、55.AD AB（注：若共底边的两个三角形顶角相等，且在底边的同侧，则四个顶点共圆，也可以说（第3 （B）题答案图）成：若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆）