概率论与数理统计复习题解答

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1、-第一章 随机事件及其概率1. 写出以下随机试验的样本空间：1同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和；2在单位圆内任意一点，记录它的坐标；310件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数；4测量一汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下1S= 2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，122S= (*, y)| *2+y202. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示以下事件：1A发生，B和C不发生；2A与B都发生，而C不发生；3A、B、C都发生；4A、B、C都不发生；5A、B、C不都发生；6A、B、C至少有一个发生；7A、B

2、、C不多于一个发生；8A、B、C至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下3在*小学的学生中任选一名，假设事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运发动，则1事件AB 表示什么？2在什么条件下ABC=C成立？3在什么条件下关系式是正确的？4在什么条件下成立？解 所求的事件表示如下1事件AB表示该生是三年级男生，但不是运发动. 2当全校运发动都是三年级男生时，ABC=C成立. 3当全校运发动都是三年级学生时，关系式是正确的. 4当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，成立. 4设P(A)0.7，P(AB)0.3，试求解 由于 A-B = A AB, P(A)

3、=0.7 所以P(A-B) = P(A-AB) = P(A) -P(AB) = 0.3,所以 P(AB)=0.4, 故 = 1-0.4 = 0.6.5. 对事件A、B和C，P(A) = P(B)P(C) ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 求A、B、C中至少有一个发生的概率. 解 由于故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) P(AB) P(BC) P(AC)+P(ABC)6. 设盒中有只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求以下事件的概率： A两球颜色一样， B两球颜色不同. 解由题意，根本领件总数为，有利于A的事件数为，有利于B的

4、事件数为, 则 7. 假设10件产品中有件正品，3件次品,1不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率；2每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解1设A=取得三件次品 则.2设B=取到三个次品, 则.8. *旅行社100名导游中有43人会讲英语，35人会讲日语，32人会讲日语和英语，9人会讲法语、英语和日语，且每人至少会讲英、日、法三种语言中的一种，求：1此人会讲英语和日语，但不会讲法语的概率；2此人只会讲法语的概率. 解 设 A=此人会讲英语, B=此人会讲日语, C=此人会讲法语根据题意, 可得(1) (2)9. 罐中有12颗围棋子，其中8颗白子4颗黑子，

5、假设从中任取3颗，求：1取到的都是白子的概率；2取到两颗白子，一颗黑子的概率；3取到三颗棋子中至少有一颗黑子的概率；4取到三颗棋子颜色一样的概率. 解 (1) 设A=取到的都是白子 则. (2) 设B=取到两颗白子, 一颗黑子. (3) 设C=取三颗子中至少的一颗黑子. (4) 设D=取到三颗子颜色一样. 10. 1500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？26个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？解 (1) 设A = 至少有一个人生日在7月1日, 则 (2)设所求的概率为P(B)11. 将C，C，E，E，I，N，S 7个字母随意排成一行，试求恰好排成

6、SCIENCE的概率p.解 由于两个C，两个E共有种排法，而根本领件总数为，因此有12. 从5副不同的手套中任取款4只，求这4只都不配对的概率. 解 要4只都不配对，我们先取出4双，再从每一双中任取一只，共有中取法. 设A=4只手套都不配对，则有13. 一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为 ，i=1，2，3，假设以*表示零件中合格品的个数，则P(*=2)为多少？解 设Ai = 第i个零件不合格，i=1,2,3, 则所以 由于零件制造相互独立，有：，14. 假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标

7、的概率p. 解 设A=目标出现在射程内，B=射击击中目标，Bi =第i次击中目标, i=1,2.则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式另外, 由于两次射击是独立的, 故P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36由加法公式P(B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84 因此 P(B)= P(A)P(B1+B2)|A)=0.70.84 = 0.58815. 设*种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25,

8、0.2, 0.18, 0.02，今从*批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率. 解 设Ai =一批产品中有i件次品，i=0, 1, 2, 3, 4, B=任取10件检查出一件次品,C=产品中次品不超两件, 由题意 由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式 由Bayes公式故 16. 由以往记录的数据分析，*船只运输*种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率. 解 设B=三件都是好的

9、，A1=损坏2%, A2=损坏10%, A1=损坏90%，则A1, A2, A3是两两互斥, 且A1+ A2 +A3=, P(A1)=0.8, P(A2)=0.15, P(A2)=0.05. 因此有 P(B| A1) = 0.983, P(B| A2) = 0.903, P(B| A3) = 0.13,由全概率公式由Bayes公式, 这批货物的损坏率为2%, 10%, 90%的概率分别为 由于P( A1|B) 远大于P( A3|B), P( A2|B), 因此可以认为这批货物的损坏率为0.2.17. 验收成箱包装的玻璃器皿，每箱24只装，统计资料说明，每箱最多有两只残次品，且含0，1和2件残次

10、品的箱各占80%，15%和5%，现在随意抽取一箱，随意检查其中4只；假设未发现残次品，则通过验收，否则要逐一检验并更换残次品，试求：1一次通过验收的概率；2通过验收的箱中确定无残次品的概率. 解 设Hi=箱中实际有的次品数, , A=通过验收则 P(H0)=0.8, P(H1)=0.15, P(H2)=0.05, 则有：(1)由全概率公式(2)由Bayes公式 得18. 一建筑物内装有5台同类型的空调设备，调查说明，在任一时刻，每台设备被 使用的概率为0.1，问在同一时刻1恰有两台设备被使用的概率是多少？2至少有三台设备被使用的概率是多少？解 设5台设备在同一时刻是否工作是相互独立的, 因此此

11、题可以看作是5重伯努利试验. 由题意，有p=0.1, q=1-p=0.9, 故(1) (2). z.-第二章 随机变量及其分布1. 有10件产品，其中正品8件，次品两件，现从中任取两件，求取得次品数*的分律. 解 *的分布率如下表所示：*012p28/4516/451/452. 进展*种试验，设试验成功的概率为，失败的概率为，以*表示试验首次成功所需试验的次数，试写出*的分布律，并计算*取偶数的概率. 解 *的分布律为：*取偶数的概率：3. 从5个数1，2，3，4，5中任取三个为数.求：*ma* ()的分布律及P(*4)；Ymin ()的分布律及P(Y3). 解 根本领件总数为：，*345p0

12、.10.30.6 (1)*的分布律为：P(*4)=P(3)+P(4)=0.4 (2)Y的分布律为Y123p0.60.30.1P(*3) =04. C应取何值，函数f(k) =，k1，2，0成为分布律？解 由题意, , 即解得：5. *的分布律*112P 求：1*的分布函数；2；3. 解 (1) *的分布函数为;(2) (3) F(*)0*10.616. 设*运发动投篮投中的概率为P0.6，求一次投篮时投中次数*的分布函数，并作出其图形. 解 *的分布函数 7. 对同一目标作三次独立射击，设每次射击命中的概率为p，求：1三次射击中恰好命中两次的概率；2目标被击中两弹或两弹以上被击毁，目标被击毁的

13、概率是多少？解 设A=三次射击中恰好命中两次，B=目标被击毁，则(1)P(A) =(2) P(B) =8. 一交换台每分钟的呼唤次数服从参数为4的泊松分布，求：1每分钟恰有6次呼唤的概率；2每分钟的呼唤次数不超过10次的概率. 解(1) P(*=6) =或者P(*=6) = 0.21487 0.11067 = 0.1042.(2) P(*10) = 0.997169. 设随机变量*服从泊松分布，且P(*1)P(*2)，求P(*4)解 由可得， 解得=2， (=0不合题意)= 0.0910. 商店订购1000瓶鲜橙汁，在运输途中瓶子被打碎的概率为0.003，求商店收到的玻璃瓶，1恰有两只；2小于

14、两只；3多于两只；4至少有一只的概率. 解 设*=1000瓶鲜橙汁中由于运输而被打破的瓶子数，则*服从参数为n=1000, p=0.003的二项分布，即*B(1000, 0.003), 由于n比较大，p比较小，np=3, 因此可以用泊松分布来近似, 即*(3). 因此 (1) P(*=2)(2)(3)(4)11. 设连续型随机变量*的分布函数为求：1系数k；2P(0.25*0.75)；3*的密度函数；4四次独立试验中有三次恰好在区间(0.25，0.75)内取值的概率. 解 (1) 由于当0*1时，有 F(*)=P(*)=P(*0)+P(0*)=k*2 又F(1) =1, 所以k12=1因此k=

15、1. (2) P(0.25*0.75) = F(0.75)-F(0.25) = 0.752-0.252=0.5 (3) *的密度函数为 (4) 由(2)知，P(0.25*80/100)=P(Z0.8)= 如果供电量只有80万千瓦，供电量不够用的概率为：P(Z90/100)=P(Z0.9)=14. *仪器装有三只独立工作的同型号电子元件，其寿命(单位 小时)都服从同一指数分布，分布密度为试求在仪器使用的最初200小时以内，至少有一只电子元件损坏的概率. 解 设*表示该型号电子元件的寿命，则*服从指数分布，设A=*200，则 P(A)= 设Y=三只电子元件在200小时内损坏的数量，则所求的概率为：

16、15. 设*为正态随机变量，且*N(2，)，又P(2*4) = 0.3，求P(*0)解 由题意知即故 16. 设随机变量*服从正态分布N(10，4)，求a，使P(|*10|0时，当y0时，0因此有 22. 假设随机变量*的密度函数为求Y的分布函数和密度函数. 解y=在(0,1)上严格单调，且反函数为 h(y)=, y1, h(y)=因此有 Y的分布函数为：23. 设随机变量*的密度函数为试求Yln*的密度函数. 解 由于严格单调，其反函数为, 则24. 设随机变量*服从N(,)分布，求Y的分布密度. 解 由于严格单调，其反函数为y0, 则当时因此 25. 假设随机变量*服从参数为2的指数分布，

17、证明：Y在区间(0, 1)上服从均匀分布. 解由于在(0, +)上单调增函数，其反函数为：并且，则当当y0或y1时，=0.因此Y在区间(0, 1)上服从均匀分布.26. 把一枚硬币连掷三次，以*表示在三次中正面出现的次数，Y表示三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求*，Y的联合概率分布. 解根据题意可知, (*,Y)可能出现的情况有：3次正面，2次正面1次反面, 1次正面2次反面, 3次反面, 对应的*,Y的取值及概率分别为 P(*=3, Y=3)= P(*=2, Y=1)=P(*=1, Y=1)= P(*=0, Y=3)=于是，*，Y的联合分布表如下：*Y0123103/83

18、/8031/8001/827. 在10件产品中有2件一级品，7件二级品和1件次品，从10件产品中无放回抽取3件，用*表示其中一级品件数，Y表示其中二级品件数，求：1*与Y的联合概率分布；2*、Y的边缘概率分布；3*与Y相互独立吗？解 根据题意，*只能取0，1，2，Y可取的值有：0，1，2，3，由古典概型公式得：(1) 其中,可以计算出联合分布表如下 Y*012300021/12035/12056/1201014/12042/120056/12021/1207/120008/1201/12021/12063/12035/120(2) *,Y的边缘分布如上表(3) 由于P(*=0,Y=0)=0,

19、而P(*=0)P(Y=0)0, P(*=0,Y=0)P(*=0)P(Y=0), 因此*,Y不相互独立.28. 袋中有9*纸牌，其中两*“2”，三*“3”，四*“4”，任取一*，不放回，再任取一*，前后所取纸牌上的数分别为*和Y，求二维随机变量(*, Y)的联合分布律，以及概率P(*Y6)解 (1) *,Y可取的值都为2,3,4, 则(*,Y)的联合概率分布为：Y*23422/931/344/92/91/34/9(2)P(*+Y6) = P(*=3, Y=4) + P(*=4, Y=3) + P(*=4,Y=4)=1/6+1/6+1/6=1/2.29. 设二维连续型随机变量(*, Y)的联合分布

20、函数为,求：1系数A、B及C； 2(*, Y)的联合概率密度； 3*，Y的边缘分布函数及边缘概率密度；4随机变量*与Y是否独立？解 (1) 由(*, Y)的性质, F(*, -) =0, F(-,y) =0, F(-, -) =0, F(+, +)=1, 可以得到如下方程组：解得：(2) (3) *与Y的边缘分布函数为：*与Y的边缘概率密度为：(4) 由(2),(3)可知：, 所以*，Y相互独立. 30. 设二维随机变量(*, Y)的联合概率密度为1求分布函数F(*, y)；2求(*，Y)落在由*0，y0，*y1所围成的三角形区域G内的概率. 解 (1) 当*0, y0时， 否则，F(*, y

21、) = 0. (2) 由题意，所求的概率为31. 设随机变量*，Y的联合概率密度为求：1常数A；2*，Y的边缘概率密度；3.解 (1) 由联合概率密度的性质，可得解得 A=12.(2) *, Y的边缘概率密度分别为：(3) 32. 设随机变量*，Y的联合概率密度为求 P(*Y1).解 由题意，所求的概率就是(*,Y)落入由直线*=0 ,*=1, y=0, y=2, *+y=1围的区域G中, 则33. 设二维随机变量(*, Y)在图2.20所示的区域G上服从均匀分布，试求(*, Y)的联合概率密度及边缘概率密度. 解 由于(*, Y)服从均匀分布，则G的面积A为：, (*, Y)的联合概率密度为

22、：. *,Y的边缘概率密度为：34. 设*和Y是两个相互独立的随机变量，*在(0, 0.2)上服从均匀分布，Y的概率密度是求：1*和Y和联合概率密度； 2P(Y*).解 由于*在(0, 0.2)上服从均匀分布，所以y=*y(1) 由于*，Y相互独立，因此*,Y的联合密度函数为：0 0.2 *(2) 由题意，所求的概率是由直线*=0, *=0.2, y=0, y=*所围的区域，如右图所示， 因此35. 设*，Y的联合概率密度为求*与Y中至少有一个小于的概率.解 所求的概率为36. 设随机变量*与Y相互独立，且 *113 Y 31PP求二维随机变量*，Y的联合分布律. 解 由独立性，计算如下表*Y

23、-113-31/81/203/401/413/83/209/403/41/21/56/2037. 设二维随机变量*，Y的联合分布律为 *123 Y 12 abc1求常数a，b，c应满足的条件；2设随机变量*与Y相互独立，求常数a，b，c.解 由联合分布律的性质，有：, 即 a + b + c = 又，*, Y相互独立，可得 从而可以得到： 38. 设二维随机变量*，Y的联合分布函数为求边缘分布函数与，并判断随机变量*与Y是否相互独立. 解 由题意, 边缘分布函数 下面计算FY(y) 可以看出，F(*,y)= F*(*) FY(y), 因此，*，Y相互独立. 39. 设二维随机变量*，Y的联合分

24、布函数为求边缘概率密度与，并判断随机变量*与Y是否相互独立. 解 先计算, 当*1时, 当*1时, 再计算, 当y1时, 当y1时, 可见, ,所以随机变量*, Y相互独立40. 设二维随机变量*，Y的联合分布函数为求边缘概率密度与，并判断随机变量*与Y是否相互独立. 解 先计算, 当*1时, 当1*0时, 再计算, 当y1时, 当1y0时, 由于, 所以随机变量*,Y不独立41. 设二维随机变量*，Y的联合分布函数为求随机变量Z*2Y的分布密度. 0z*yz*y*yy*-2y=z解 先求Z的分布函数F(z)Dy当z0, y0, *-2yzy 求得*-2y=zDy 当z0时，积分区域为：D=(

25、*,y)|*0, y0, *-2yz， *y0z*yz*y由此, 随机变量Z的分布函数为 因此, 得Z的密度函数为：42. 设随机变量*和Y独立，*，Y服从b，b(b0)上的均匀分布，求随机变量Z*Y的分布密度. 解 解法一 由题意，令则解法二43. 设*服从参数为的指数分布，Y服从参数为的指数分布，且*与Y独立，求Z*Y的密度函数. 解 由题设，*, Y并且，*，Y相互独立，则由于仅在*0时有非零值，仅当z-*0，即z*时有非零值，所以当z0时，有0z*, 因此44. 设*，Y的联合分布律为* 0123Y000.050.080.1210.010.090.120.1520.020.110.13

26、0.12求：1Z*Y的分布律；2Uma*，Y的分布律；3Vmin*，Y的分布律. 解 (1) *+Y的可能取值为：0，1，2，3，4，5，且有 P(Z=0)=P(*=0,Y=0) = 0 P(Z=1)=P(*=1,Y=0) + P(*=0,Y=1) = 0.06 P(Z=2)=P(*=2,Y=0) + P(*=0,Y=2) + P(*=1,Y=1) = 0.19 P(Z=3)=P(*=3,Y=0) + P(*=1,Y=2) + P(*=2,Y=1) = 0.35 P(Z=4)=P(*=2,Y=2) + P(*=3,Y=1) = 0.28 P(Z=5)=P(*=3,Y=2) = 0.12 Z=*

27、+Y的分布如下 Z012345p00.060.190.350.280.12同理，U=ma*(*,Y)的分布如下 U0,1,2,3U0123p00.150.460.39V012p0.280.470.25同理，V=min(*,Y)的分布分别如下 V0,1,2. z.-第三章 随机变量的数字特征1. 随机变量*的分布列为 * 10 12P求E(*)，E(*1)，E(*2)解 或者2. 一批零件中有9件合格品与三件废品，安装机器时从这批零件中任取一件，如果取出的废品不再放回，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望. 解 设取得合格品之前已经取出的废品数为*, *的取值为0, 1, 2, 3, Ak

28、表示取出废品数为k的事件， 则有：3. 离散型随机变量*的可能取值为1、0、1，E(*)0.1，E(*2)0.9，求P(*=-1)，P(*0)，P(*1).解 根据题意得： 可以解得 P(*=-1)=0.4, P(*=1)=0.5,P(*=0)= 1-P(*=-1) -P(*=1) = 1-0.4-0.5=0.14. 设随机变量*的密度函数为求E(*).解 由题意, , 5. 设随机变量*的密度函数为求E(2*)，E().解6. 对球的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a，b上，求球的体积的数学期望. 解 由题意，球的直接DU(a,b), 球的体积V= 因此，7. 设随机变量*，Y的密度函数分

29、别为求E(*Y)，E(2*3Y2). 解8. 设随机函数*和Y相互独立，其密度函数为求E(*Y).解 由于*Y相互独立, 因此有 9. 设随机函数*的密度为求E(*), D(*).解10. 设随机函数*服从瑞利(Rayleigh)分布, 其密度函数为其中0是常数，求E(*)，D(*).解 11. 抛掷12颗骰子，求出现的点数之和的数学期望与方差. 解 掷1颗骰子，点数的期望和方差分别为： E(*) = (1+2+3+4+5+6)/6= 7/2 E(*2)=(12+22+32+42+52+62)/6=91/6因此 D(*) = E(*2)-(E(*) 2 = 35/12 掷12颗骰子, 每一颗骰

30、子都是相互独立的, 因此有： E(*1+*2+*12)=12E(*) = 42 D(*1+*2+*12) =D(*1)+D(*2)+D(*12)=12D(*)=3512. 将n只球1n号随机地放进n只盒子1n号中去，一只盒子装一只球，将一只球装入与球同的盒子中，称为一个配对，记*为配对的个数，求E(*), D(*).解 1直接求*的分布律有些困难，我们引进新的随机变量*k, 则有：，*k服0-1分布因此：2服从0-1分布，则有故，E(*)=D(*)=1.我们知道，泊松分布具有期望与方差相等的性质，可以认定，*服从参数为1的泊松分布. 13. 在长为l的线段上任意选取两点，求两点间距离的数学期望

31、及方差. 解 设所取的两点为*,Y, 则*,Y为独立同分布的随机变量, 其密度函数为 依题意有 D(*-Y) = E(*-Y)2)-(E(*-Y)2 = 14. 设随机变量*服从均匀分布，其密度函数为求E(2*2)，D(2*2). 解15. 设随机变量*的方差为2.5，试利用切比雪夫不等式估计概率 的值. 解 由切比雪夫不等式, 取, 得.16. 在每次试验中，事件A发生的概率为0.5，如果作100次独立试验，设事件A发生的次数为*，试利用切比雪夫不等式估计*在40到60之间取值的概率解 由题意，*B(100，0.5), 则E(*) = np = 50, D(*) = npq= 25 根据切比

32、雪夫不等式, 有.17. 设连续型随机变量*的一切可能值在区间a，b内，其密度函数为，证明：1aE(*)b；2.解 (1) 由题意，a*b, 则则由于所以(2) 解法(一)即 ,又 解法(二), 由于18. 设二维随机变量*，Y的分布律为 *01 Y10.1 0.2 20.20.4求E(*)，E(Y)，D(*)，D(Y)，cov(*, Y)，及协方差矩阵.解 由题设，E(*Y) = 000.1+010.2+100.3+110.4 = 0.4 cov(*,Y) = E(*Y)-E(*)E(Y) = 0.4-0.60.7 = -0.02协方差矩阵为19. 设二维随机变量*，Y的分布律为 * 101

33、 Y1 00 1试验证*和Y是不相关的，但*和Y不是相互独立的.解 由于因此, 即*和Y是不相关的.但由于, 因此*,Y不是相互独立的.20. 设二维随机变量*，Y的密度函数为求E(*)，E(Y)，D(*)，D(Y)，cov(*, Y)，及协方差矩阵. 解 又 同理可得 ,协方差矩阵为21. 随机变量(*, Y)服从正态分布，且E(*)E(Y)=0，D(*)=16，D(Y)=25，cov(*,Y)12，求(*, Y)的密度函数.解 由题意, 则密度函数为 22. 设随机变量*和Y相互独立，且E(*)E(Y)0，D(*)D(Y)1，试求E(*Y)2).解由于因此有23. 设随机变量*和Y的方差分

34、别为25，36，相关系数为0.4，试求D(*Y)，D(*Y).解 由题意， D(*+Y)=2(cov(*,Y)+D(*)+D(Y) = 24+25+36=85 因为 cov(*, -Y) = -cov(*,Y) = -12因此D(*-Y) = 2(cov(*, -Y)+D(*)+D(-Y) = -24 + 25 + 36 = 37.24. 设随机变量*和Y相互独立，且都服从正态分布N(0, s2)，令Ua*bY，Va*-bY，试求U和V的相关系数.解由于*，Y相互独立，则都服从N(0, s2). z.-第四章 大数定律与中心极限定理1. 设*i，i1，2，50是相互独立的随机变量，且它们都服从

35、参数为l0.02的泊松分布. 记*1*2+*50，试利用中心限定理计算P(*2).解 由题意，E(*i) = D(*i) =l = 0.02， 由中心极限定理: 随机变量近似服从标准正态分布 所以有: 2. *计算机系统有100个终端，每个终端有2的时间在使用，假设各个终端使用与否是相互独立的，试分别用二项分布、泊松分布、中心极限定理，计算至少一个终端被使用的概率. 解 设*为被使用的终端数, 由题意, *B(100, 0.02) (1) 用二项分布计算 (2) 用泊松分布近似计算 因为 l = np = 1000.02 = 2, 查表得0.1353 = 0.8647. (3) 中心极限定近似

36、计算3. 一个部件包括10个局部，每局部的长度是一个随机变量，它们相互独立，服从同一分布，数学期望为2mm，均方差不0.05mm，规定部件总长度为200.1mm时为合格品，求该部件为合格产品的概率. 解 设*i表示一局部的长度, i=1, 2, , 10. 由于*1, *2, , *10相互独立, 且E(*i) =2, D(*i)=0.052, 根据独立同分布中心极限定理，随机变量 近似地服从标准正态分布. 于是4. 计算机在进展加法时，对每个加数取整取为最接近于它的整数，设所有的取整误差是相互独立的，且它们都在(-0.5, 0.5)上服从均匀分布. (1) 假设将1500个数相加，试求误差总

37、和的绝对值超过15的概率；(2) 多少个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.05的概率.解 设*i表示一个加数的误差，则*iU(-0.5, 0.5), E(*i) =0, D(*i)=1/12(1) 根据独立同分布中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布. 于是因此所求的概率为：1-P(-15*15) = 1-0.8198 = 0.1802 (2) 由题意，设有n个数相加可使误差总和绝对值小于10的概率为0.90,*=n*i. 由独立同分布的中心极限定理，随机变量近似地服从标准正态分布. 则 = 0.90查表得 =1.645, 解得：n=443即443个数相加可使误差总和绝对值小于

38、10的概率为0.05的概率5. 为了确定事件A的概率，进展了一系列试验. 在100次试验中，事件A发生了36次，如果取频率0.36作为事件A的概率p的近似值，求误差小于0.05的概率. 解 (删除)6. 一个复杂系统由10000个相互独立的部件组成，在系统运行期间，每个部件损坏的概率为0.1，又知为使系统正常运行，至少有89的部件工作. （1） 求系统的可靠度系统正常运行的概率；（2） 上述系统由n个相互独立的部件组成，而且要求至少有87的部件工作，才能使系统正常运行，问n至少为多在时，才能保证系统的可靠度到达97.72？解 设*表示正常工作的部件数，*B(10000, 0.9), (1) 所

39、求的概率为, 由于n比较大，可以使用中心极限定理，由于，近似地有，*N(9000, 900), 则 (2) 根据题意, 设*为正常工作的部件数，则 根据中心极限定理, 近似地有*N(0.9n, 0.09n) 查表得 , n=400, 即, n至少为400时, 才能保证系统的可靠度到达97.72%.7. *单位有200台分机，每台分机有5的时间要使用外线通话，假定每台分机是否使用外线是相互独立的，问该单位总机要安装多少条外线才能以90以上的概率保证分机使用外线时不等待？解 设*为*时刻需要使用外线的户数分机数，显然*(200, 0.05)，E(*) = np = 10, D(*) = np(n-

40、p) = 9.5.设k是为要设置的外线的条数，要保证每个要使用外线的用户能够使用上外线，必须有k*. 根据题意应有：这里n=200，较大，可使用中心极限定理，近似地有*N(10, 9.5)：经过查表， 取k = 14即至少14条外线时，才能保证要使用外线的用户都能使用外线的概率大于95%.8. 设n为n重伯努利试验中成功的次数，p为每次成功的概率，当n充分大时，试用棣莫弗拉普拉斯定律证明.式中，pq1；是标准正态分布的分布函数. 证明 由题意，, , 当n很大时，近似服从正态分布，即, 或者使用标准化的随机变量：, 因此，由棣莫弗-拉普拉斯定理，有=9. 现有一大批种子，其中良种占，今在其中任

41、选4000粒，试问在这些种子中，良种所占比例与之差小于1的概率是多少？解 设*为4000粒种子中良种粒数，则所求的概率为： 因为，* B(4000, 0.25), 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有10. 一批种子中良种占，从中任取6000粒，问能以0.99的概率保证其中良种的比例与相差多少？这时相应的良种粒数落在哪个*围？解 设*为6000粒种子中良种粒数，设所求的差异为p, 则所求的概率为： 因为，* B(6000, 1/6), E(*) = np = 1000, D(*) = np(1-p)= 2500/3, 由棣莫弗-拉普拉斯定理，有因此 查表可得 解得 由于 所以, 良种的粒数大约落在区间(

42、926, 1074)之间. z.-第五章 数理统计的根本概念1. 在总体N(52，632)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值落在50.8到53.8之间的概率. 解 由题意，由定理1 (1), 2. 在总体N(80，202)中随机抽取一容量为100的样本，求样本均值与总体均值的绝对值大于3的概率是多少？解 这里总体均值为m=80, s=20, n=100, 由定理1(1) 由题意得：3. 求总体N(20，3)的容量分别为10，15的两独立样本均值差的绝对值大于0.3的概率.解 由定理2(1), 由题意，所求的概率为4. 设总体*的容量为10的样本观测值为4.5，2.0，0，1.0，1.5，

43、3.4，4.5，6.5，5.0，0，3.5，4.0. 试分别计算样本均值与样本方差S2的值. 解 5. 样本均值与样本方差的简化计算如下：设样本值*1，*2，*n的平均值为和样本方差为，作变换，得到，它的平均值为，方差为，试证：，. 证明 , 6. 对*种混凝土的抗压强度进展研究，得到它的样本值为 1936，1697，3030，2424，2020，2909，1815，2020，2310采用下面简化计算法计算样本均值和样本方差. 即先作变换，再计算与，然后利用第5题中的公式获得和的数值. 解 做变换后，得到的样本值为：-61，-303，1030，424，20，-91，-185，20，3107.

44、*地抽样调查了1995年6月30个工人月工资的数据，试画出它们的直方图，然后利用组中间值给出经历分布函数. 440 444556 430 380 420 500 430 420 384420 404 424 340 424 412 388 472 360 476376 396 428 444 366 436 364 440 330 426解 最小值,最大值, 故(a, b可取为(329, 559, 将(a, b分为长度为23的10个区间, 列出频数与频率表如下：序号组(ti-1, ti),频数频率序号组(ti-1, ti)频数频率1(329, 35220.0676(444, 467002(35

45、2, 37530.17(467, 49020.0673(375, 39850.1678(490, 51310.0334(398, 42150.1679(513, 536005(421, 444110.36710(536, 55910.033合计： 30 1由于第6组与第9组频数为0，可将其与下一组合并。合并数据为8组，结果如下表：序号组(ti-1, ti),频数频率序号组(ti-1, ti)频数频率1(329, 35220.0676(444, 49020.0672(352, 37530.17(490, 51310.0333(375, 39850.1678(513, 55910.0334(398

46、, 42150.1675(421, 444110.367合计301根据表上数据作出直方图，如以下列图所示：y*Of(*)329559再用组中值的频率分布 组中间值340.5363.5386.5409.5432.5467501.5534频率0.0670.10.1670.1670.3670.0670.0330.033可求出经历分布函数F30(*).8. 设*1，*2，*10为N0，0.32的一个样本，求.解 由于*k是来自N(0, 0.32)的样本，则，k=1,2,10，所以有 服从自由度n=10的c2分布. 因此查表可知，=15.987故9. 查分布表求以下各式中的值：12解 (1) P(c2(

47、8)l) = 0.99, 查表得, 即l=0.646 (2) 查表得l=30.587.10. 查t分布表求以下各式中的值：12解 (1) 查表得(2) 11. 查F分布表求以下各式的值：12解 (1) (2) 12. *t(n)，求证*2F(1, n).证明 因为*t(n), 由定义, 存在相互独立的随机变量T与Y，使得, 其中, 又因T与Y相互独立，故T2与Y相互独立，, 则.13. 设*1，*2，*n是来自分布 的样本，求样本均值的数学期望和方差.解 由于, k=1,2, , n, 则或者 14. 设*1，*2，*n为来自泊松分布的样本，S2分别为样本均值和样本方差，求E()，D()，E(

48、S2).解 由于, k=1,2, n, 则15. 设*1，*2，*3，*4为来自总体N (0, 1)的样本，当a，b为何值时，且自由度n是多少？解 由于*1，*2，*3，*4相互独立，均服从N (0, 1)正态分布，因此则,， , 即 因此，*服从分布，自由度n=2, 并且.16. 设在总体中抽取一容量为16的样本，这里均为未知，求：1，其中S2为样本方差；2D(S2).解 (1) 因 查表, 得, 因此 所以(2) 17. 设*1，*2，*16是来自总体*的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，求k使得解 因 由定理1(4) , 即由于, 因此，, 查t分布表(n=15, a=0.05), 可得，-4k = 1.7531解得 18. 设*1，*2，*n是来自正态总体的样本，和S2分别是样本均值和样本方差，又设，且与*1，*2，*n独立，试求统计量的抽样分布. 解 因为, ，所以 因而 又 因为U, V相互独立, 所以. z.-第六章 参数估计与假设检验1. 使用一测量仪器对同一量进展12次独立测量，其结果为单位：毫米232.50232.48232.15232.53232.45232.30232.48232.05232.45232.60232.4723