第四讲——整式地乘除与因式分解讲义

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1、 整式的乘除与因式分解一、根底知识1、 单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。如：的系数为，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。2、 多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。如：，项有、1，二次项为、，一次项为，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。3、 整式：单项式和多项式统称整式。注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。4、 同底数幂的乘法法如此：都是正整数

2、同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意底数可以是多项式或单项式。5、 幂的乘方法如此：都是正整数幂的乘方，底数不变，指数相乘。幂的乘方法如此可以逆用：即6、 积的乘方法如此：是正整数积的乘方，等于各因数乘方的积。7、 同底数幂的除法法如此：都是正整数，且同底数幂相除，底数不变，指数相减。8、 零指数和负指数；，即任何不等于零的数的零次方等于1。是正整数，即一个不等于零的数的次方等于这个数的次方的倒数。9、 单项式的乘法法如此：单项式与单项式相乘，把他们的系数，一样字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，如此连同它的指数作为积的一个因式。注意：积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算

3、绝对值。一样字母相乘，运用同底数幂的乘法法如此。只在一个单项式里含有的字母，如此连同它的指数作为积的一个因式单项式乘法法如此对于三个以上的单项式相乘同样适用。单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。10、 单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即(都是单项式)注意：积是一个多项式，其项数与多项式的项数一样。运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。11、 多项式与多项式相乘的法如此；多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加。 12、 平方差公式：公式特征：

4、左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全一样，另一项互为相反数。右边是一样项的平方减去相反项的平方。13、 完全平方公式：公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项为哪一项左边二项式中两项乘积的2倍。注意：14、 单项式的除法法如此：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，如此连同它的指数作为商的一个因式。注意：首先确定结果的系数即系数相除，然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，如此连同它的指数作为商的一个因式15、 多项式除以单项式的法如此：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项

5、除以这个单项式，在把所的的商相加。即：16因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解。1、 提公因式法.：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成几个因式的积的形式、ma+mb+mc=m(a+b+c)m可以表示单项式，也可以表示多项式2、 运用公式法在整式的乘、除中，我们学过假如干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：1(a+b)(a-b) = a2-b2-a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)(ab)2=a22ab+b2a22ab+b2=(ab)2；3、分组分解法(1)分组后能直接提公因式=ma+b+n

6、(a+b)=(a+b)(m+n)(2) 分组后能直接运用公式=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)4、十字相乘法.一二次项系数为1的二次三项式直接利用公式进展分解。特点：1二次项系数是1； 2常数项是两个数的乘积；3一次项系数是常数项的两因数的和。但凡能十字相乘的二次三项 式ax2+bx+c，都要求0而且是一个完全平方数。(二) 二次项系数不为1的二次三项式条件：12（3）分解结果：=一、根底知识梳理课前完成一整式的乘除1幂的运算性质1.，都是正整数。例：。2.为正整数。例：。3. ，都是正整数。例：。4. ，都是正整数，并且。例：。5.6. ，是正整数2整式的乘法：1

7、单项式乘以单项式：。2单项式乘以多项式：。3多项式乘以多项式：。3.整式的除法：1单项式除法：。2多项式除以单项式：。二因式分解1分解因式的概念1.分解因式：把一个多项式化成几个_的形式。2.分解因式与整式乘法的关系：2分解因式的根本方法：1. 提公因式法：。2运用公式法：1平方差公式：；2完全平方公式：。二、根底诊断题101.计算的结果是A B C D2.计算：，。3.计算：，。4.计算：，。5计算：。6.如下从左到右的变形是因式分解的是A. B . C. D. 7.多项式提取公因式后的另一个因式是A B. C. D. 8.分解因式：；。，的公因式是_.10.分解因式：。三、典型例题 例1.

8、 先化简，再求值：，其中，。例2分解因式： ；。例3. 1，如此的值为_。2假如，如此。四、达标检测题一根底检测91.如下各式计算正确的答案是 A B. C. D. 2.如下运算正确的答案是A B. C. D. 3.假如，如此的值是A B. C. D. 4.分解因式：_ _ 5.假如，如此6.在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形如图甲，把余下的局部拼成一个矩形如图乙，根据两个图形中阴影局部的面积相等，可以验证aabbbba图乙图甲ABCD7.先化简，再求值：，其中二能力提升1112014威海将如下多项式分解因式，结果中不含因式x1的是Ax21Bxx2+2xCx22x+1 Dx2+2x+1

9、22014假如ab=1，如此代数式a2b22b的值为32014假如a+b=2，ab=2，如此a2+b2的值为A6B4C3D242014襄阳如下计算正确的答案是A. a2+a2=2a4 B. 4x9x+6x=1 C. 2x2y3=8x6y3 D. a6a3=a252014枣庄如图，在边长为2a的正方形中央剪去一边长为a+2的小正方形a2，将剩余局部剪开密铺成一个平行四边形，如此该平行四边形的面积为 Aa2+4B2a2+4aC3a24a4D4a2a26.先化简，再求值：，其中，。2.如下计算正确的答案是 B3a4=a7 B. a3a4=a7 C. a34=a7 D. a6a3=a213.当x=3，

10、y=1时，代数式xyxyy214.分解因式：x22x3=_.x3x113分解因式：=18. 1计算：6如下各选项的运算结果正确的答案是A BC D13分解因式：=5如下运算正确的答案是Aa2a3=a6B(a2)3=a6Ca6a2=a3D23=617分解因式：a26a+9= _.22. (1)计算：.5如下各式计算正确的答案是A3x-2x=1Ba2+a2=a4Ca5a5=aDa3a2=a57化简52x-3+43-2x结果为A2x-3 B2x+9 C8x-3 D18x-3 16分解因式：a2-1=a+1a-15如下各式计算正确的答案是ABCD11，如此的值为A54 B6 C-10 D-18 16计

11、算：.17分解因式：.3 如下运算中，结果是的是A BCD17.分解因式：_22.1化简：【例1】假如，如此=.计算【例2】【例3】计算【例4】如下运算正确的答案是 A 、 B、 C 、 D 、【例5】利用平方差公式计算：2009200720082【例6】是的三边，且，如此的形状是 A.直角三角形 B等腰三角形 C 等边三角形 D等腰直角三角形【例7】分解因式：【例8】分解因式：【例9】05，且为整数，假如能用十字相乘法分解因式，求符合条件的.【例10】分解因式：【例11】分解因式：2x2y8xy8y【例12】分解因式1、2012，计算的结果是ABCD2、2012，分解因式：3、2013，如下各式能用完全平方公式进展因式分解的是 A B . C. D. 4、2013假如a+b=3，ab=7，如此ab=A10B40C10D405、2013，如果x=1时，代数式的值是5，那么x= -1时，代数式的值 _6、2013， 先化简，再求值：，其中10 / 10