椭圆问题中最值得关注的基本题型

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1、椭圆问题中最值得关注的基本题型题型分析高考展望椭圆问题在高考中占有比较重要的地位,并且占的分值也较多.分析历年的高考试题,在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型,基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图,焦点在x轴上的椭圆1的离心率e,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求的最大值和最小值.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本,利用离心率和椭圆的围可以求解围问题、最值问题,利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1已知点A,椭圆E：1b0的离心率为,F是椭圆E的右焦点

2、,直线AF的斜率为,O为坐标原点.求E的方程；设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.题型二直线与椭圆相交问题例2在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：1的离心率为,左,右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.求椭圆C的方程；设椭圆E：1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.求的值；求ABQ面积的最大值.点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立,转化为一元二次方程,由判别式围或根与系数的关系解决.求围或最值问题,也可考虑求

3、交点,由交点在椭圆,得出不等式,解不等式.变式训练2已知椭圆C：1 b0的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.求椭圆C的标准方程；设F为椭圆C的左焦点,T为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.证明OT平分线段PQ；当最小时,求点T的坐标.题型三利用点差法,设而不求思想解题例3已知椭圆y21,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.点评当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程时,用点差法来求解.变式训练3已知椭圆1b0的一个顶点为B,离心率e,直线l交椭圆于M,N两点.若直线l的方程为yx4,求弦MN的长.如果BMN的重心

4、恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.高考题型精练1.已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则AB_.2.已知椭圆C：1b0的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为_.3.设P,Q分别为圆x222和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是_.4.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,P是两曲线的一个公共点,且满足PF1PF2,则的值为_.5.椭圆C：1 b0的两个焦点为F1,F2,M为椭圆上一点,且的最大值的取值围是c2

5、,2c2,其中c是椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值围是_.6.已知椭圆C：1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则ANBN_.7.过点M作斜率为的直线与椭圆C：1b0相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_.8.设F1,F2分别是椭圆E：x210b的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若AF13F1B,AF2x轴,则椭圆E的方程为_.9.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆1b0的左,右焦点,顶点B的坐标为,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.若点C的坐标

6、为,且BF2,求椭圆的方程；若F1CAB,求椭圆离心率e的值.10.如图,椭圆1的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,且PQPF1.若PF12,PF22,求椭圆的标准方程；若PF1PQ,求椭圆的离心率e.11.已知椭圆E：1的半焦距为c,原点O到经过两点,的直线的距离为c.求椭圆E的离心率；如图,AB是圆M：22的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.12.已知椭圆G：1b0的离心率为,右焦点为.斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P.求椭圆G的方程；求PAB的面积.答案精析第29练椭圆问题中最值得关注的基本题型常考题型典

7、例剖析例1解设P点坐标为.由题意知a2,e,c1,b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02,y0.又F,A,xx02yxx012.当x02时,取得最小值0,当x02时,取得最大值4.变式训练1解设F,由条件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故E的方程为y21.当lx轴时不合题意,故设l：ykx2,P,Q,将ykx2代入y21得x216kx120.当160,即k2时,x1,2.从而PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d,所以OPQ的面积SOPQdPQ.设t,则t0,SOPQ.因为t4,当且仅当t2,即k时等号成立,且满足0,所以,当OPQ的面积最大时l的方程为yx2或yx2.例2解由

8、题意知2a4,则a2,又,a2c2b2,可得b1,所以椭圆C的方程为y21.由知椭圆E的方程为1.设P,由题意知Q.因为y1,又1,即1,所以2,即2.设A,B.将ykxm代入椭圆E的方程,可得x28kmx4m2160,由0,可得m2416k2,则有x1x2,x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为,所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t,将ykxm代入椭圆C的方程,可得x28kmx4m240,由0,可得m214k2.由可知0t1,因此S22,故S2,当且仅当t1,即m214k2时取得最大值2.由知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6.变式训练2解由已知可得

9、解得a26,b22,所以椭圆C的标准方程是1.证明由可得F的坐标是,设T点的坐标为,则直线TF的斜率kTFm.当m0时,直线PQ的斜率kPQ,直线PQ的方程是xmy2.当m0时,直线PQ的方程是x2,也符合xmy2的形式.设P,Q,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得y24my20,其判别式16m280,所以y1y2,y1y2,x1x2m4.所以PQ的中点M的坐标为.所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.解由可得TF,PQ.所以.当且仅当m21,即m1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是或.例3解设弦的两端

10、点分别为M,N,MN的中点为R,则x2y2,x2y2,两式相减并整理可得,将2代入式,得所求的轨迹方程为x4y0x.变式训练3解由已知得b4,且,即,解得a220,椭圆的方程为1.则4x25y280与yx4联立,消去y得9x240x0,x10,x2,所求弦长MN|x2x1|.如图,椭圆右焦点F的坐标为,设线段MN的中点为Q,由三角形重心的性质知2,又B,2,故得x03,y02,即得Q的坐标为.设M,N,则x1x26,y1y24,且1,1,以上两式相减得0,kMN,故直线MN的方程为y2,即6x5y280.常考题型精练1.6解析因为e,y28x的焦点为,所以c2,a4,故椭圆方程为1,将x2代入

11、椭圆方程,解得y3,所以AB6.2.1解析由e得.又AF1B的周长为4,由椭圆定义,得4a4,得a,代入得c1,b2a2c22,故C的方程为1.3.6解析如图所示,设以为圆心,以r为半径的圆的方程为x22r20,与椭圆方程y21联立得方程组,消掉x2得9y212yr2460.令122490,解得r250,即r5.由题意易知P,Q两点间的最大距离为r6.4.2解析由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2m,由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a,又PF1PF2,F1PF290,|PF1|2|PF2|24c2,式的平

12、方加上式的平方得|PF1|2|PF2|22a22m2,由得a2m22c2,即2,2.5.解析设M,则,xc2yxc2b2xc2b2xc2b2.x0a,a,当x0a时,有最大值b2,c2b22c2,c2a2c22c2,2c2a23c2,e.6.12解析椭圆1中,a3.如图,设MN的中点为D,则DF1DF22a6.D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,BN2DF2,AN2DF1,ANBN212.7.解析设A,B,则0,.,x1x22,y1y22,a22b2.又b2a2c2,a22,a22c2,.8.x2y21解析设点B的坐标为.x21,F1,F2.AF2x轴,A.AF13F1B,3,3.x0

13、,y0.点B的坐标为.将B代入x21,得b2.椭圆E的方程为x2y21.9.解设椭圆的焦距为2c,则F1,F2.因为B,所以BF2a.又BF2,故a.因为点C在椭圆上,所以1,解得b21.故所求椭圆的方程为y21.因为B,F2在直线AB上,所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为,直线AB的斜率为,且F1CAB,所以1.又b2a2c2,整理得a25c2.故e2,因此e.10.解由椭圆的定义,得2aPF1PF24,故a2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2cF1F22,即c,从而b1.故所求椭圆的标

14、准方程为y21.方法一如图,设点P在椭圆上,且PF1PF2,则1,xyc2,求得x0,y0.由PF1PQPF2得x00,从而PF2.22a2.由椭圆的定义,PF1PF22a,QF1QF22a,从而由PF1PQPF2QF2,有QF14a2PF1.又由PF1PQ,PF1PQ,知QF1PF1,因此,PF14a,即4a,于是4,解得e.方法二如图,由椭圆的定义,得PF1PF22a,QF1QF22a.从而由PF1PQPF2QF2,有QF14a2PF1.又由PF1PQ,PF1PQ,知QF1PF1,因此,4a2PF1PF1,得PF12a,从而PF22aPF12a2a2a.由PF1PF2,知PFPFF1F2,

15、因此e.11.解过点,的直线方程为bxcybc0,则原点O到该直线的距离d,由dc,得a2b2,解得离心率.方法一由知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M是线段AB的中点,且AB.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk1,代入得x28kx424b20,设A,B,则x1x2,x1x2,由x1x24,得4,解得k,从而x1x282b2.于是AB|x1x2|,由AB,得,解得b23,故椭圆E的方程为1.方法二由知,椭圆E的方程为x24y24b2,依题意,点A,B关于圆心M对称,且AB,设A,B,则x4y4b2,x4y4b2,两式相减并结合x1x24,y1y22,得480,易知AB与x轴不

16、垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB,因此直线AB的方程为y1,代入得x24x82b20,所以x1x24,x1x282b2,于是AB|x1x2|.由AB,得,解得b23,故椭圆E的方程为1.12.解由已知得c2,解得a2.又b2a2c24,所以椭圆G的方程为1.设直线l的方程为yxm,由消去y得4x26mx3m2120.设A,B的坐标分别为,x1,AB中点为E,则x0,y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边,所以PEAB,所以PE的斜率k1,解得m2.此时方程为4x212x0,解得x13,x20,所以y11,y22.所以AB3,又点P到直线AB：xy20的距离d.所以PAB的面积SABd.16 / 16