椭圆问题中最值得关注的基本题型

椭圆问题中最值得关注的基本题型题型分析·高考展望椭圆问题在高考中占有比较重要的地位,并且占的分值也较多.分析历年的高考试题,在填空题、解答题中都涉及到椭圆的题,所以我们对椭圆知识必须系统的掌握.对各种题型,基本的解题方法也要有一定的了解.常考题型精析题型一利用椭圆的几何性质解题例1如图,焦点在x轴上的椭圆1的离心率e,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,求·的最大值和最小值.点评熟练掌握椭圆的几何性质是解决此类问题的根本,利用离心率和椭圆的围可以求解围问题、最值问题,利用a、b、c之间的关系和椭圆的对称性可构造方程.变式训练1<2014·课标全国>已知点A<0,2>,椭圆E：1<a>b>0>的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.<1>求E的方程；<2>设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当OPQ的面积最大时,求l的方程.题型二直线与椭圆相交问题例2<2015·>在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：1<ab0>的离心率为,左,右焦点分别是F1,F2.以F1为圆心、以3为半径的圆与以F2为圆心、以1为半径的圆相交,且交点在椭圆C上.<1>求椭圆C的方程；<2>设椭圆E：1,P为椭圆C上任意一点,过点P的直线ykxm交椭圆E于A,B两点,射线PO交椭圆E于点Q.<>求的值；<>求ABQ面积的最大值.点评解决直线与椭圆相交问题的一般思路：将直线方程与椭圆方程联立,转化为一元二次方程,由判别式围或根与系数的关系解决.求围或最值问题,也可考虑求"交点",由"交点"在椭圆<外>,得出不等式,解不等式.变式训练2<2014·>已知椭圆C：1 <a>b>0>的焦距为4,其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.<1>求椭圆C的标准方程；<2>设F为椭圆C的左焦点,T为直线x3上任意一点,过F作TF的垂线交椭圆C于点P,Q.证明OT平分线段PQ<其中O为坐标原点>；当最小时,求点T的坐标.题型三利用"点差法,设而不求思想"解题例3已知椭圆y21,求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程.点评当涉及平行弦的中点轨迹,过定点的弦的中点轨迹,过定点且被定点平分的弦所在直线方程时,用"点差法"来求解.变式训练3<2015·模拟>已知椭圆1<a>b>0>的一个顶点为B<0,4>,离心率e,直线l交椭圆于M,N两点.<1>若直线l的方程为yx4,求弦MN的长.<2>如果BMN的重心恰好为椭圆的右焦点F,求直线l方程的一般式.高考题型精练1.<2015·课标全国改编>已知椭圆E的中心在坐标原点,离心率为,E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合,A,B是C的准线与E的两个交点,则AB_.2.<2014·大纲全国改编>已知椭圆C：1<a>b>0>的左、右焦点分别为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若AF1B的周长为4,则C的方程为_.3.<2014·改编>设P,Q分别为圆x2<y6>22和椭圆y21上的点,则P,Q两点间的最大距离是_.4.若椭圆和双曲线具有相同的焦点F1,F2,离心率分别为e1,e2,P是两曲线的一个公共点,且满足PF1PF2,则的值为_.5.椭圆C：1 <a>b>0>的两个焦点为F1,F2,M为椭圆上一点,且·的最大值的取值围是c2,2c2,其中c是椭圆的半焦距,则椭圆的离心率取值围是_.6.<2014·>已知椭圆C：1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则ANBN_.7.<2014·>过点M<1,1>作斜率为的直线与椭圆C：1<a>b>0>相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于_.8.<2014·>设F1,F2分别是椭圆E：x21<0<b<1>的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若AF13F1B,AF2x轴,则椭圆E的方程为_.9.<2014·>如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆1<a>b>0>的左,右焦点,顶点B的坐标为<0,b>,连接BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.<1>若点C的坐标为,且BF2,求椭圆的方程；<2>若F1CAB,求椭圆离心率e的值.10.<2015·>如图,椭圆1<ab0>的左,右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆于P、Q两点,且PQPF1.<1>若PF12,PF22,求椭圆的标准方程；<2>若PF1PQ,求椭圆的离心率e.11.<2015·>已知椭圆E：1<ab0>的半焦距为c,原点O到经过两点<c,0>,<0,b>的直线的距离为c.<1>求椭圆E的离心率；<2>如图,AB是圆M：<x2>2<y1>2的一条直径,若椭圆E经过A,B两点,求椭圆E的方程.12.<2015·模拟>已知椭圆G：1<a>b>0>的离心率为,右焦点为<2,0>.斜率为1的直线l与椭圆G交于A,B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P<3,2>.<1>求椭圆G的方程；<2>求PAB的面积.答案精析第29练椭圆问题中最值得关注的基本题型常考题型典例剖析例1解设P点坐标为<x0,y0>.由题意知a2,e,c1,b2a2c23.所求椭圆方程为1.2x02,y0.又F<1,0>,A<2,0>,<1x0,y0>,<2x0,y0>,·xx02yxx01<x02>2.当x02时,·取得最小值0,当x02时,·取得最大值4.变式训练1解<1>设F<c,0>,由条件知,得c.又,所以a2,b2a2c21.故E的方程为y21.<2>当lx轴时不合题意,故设l：ykx2,P<x1,y1>,Q<x2,y2>,将ykx2代入y21得<14k2>x216kx120.当16<4k23>>0,即k2>时,x1,2.从而PQ|x1x2|.又点O到直线PQ的距离d,所以OPQ的面积SOPQ·d·PQ.设t,则t>0,SOPQ.因为t4,当且仅当t2,即k±时等号成立,且满足>0,所以,当OPQ的面积最大时l的方程为yx2或yx2.例2解<1>由题意知2a4,则a2,又,a2c2b2,可得b1,所以椭圆C的方程为y21.<2>由<1>知椭圆E的方程为1.<>设P<x0,y0>,由题意知Q<x0,y0>.因为y1,又1,即1,所以2,即2.<>设A<x1,y1>,B<x2,y2>.将ykxm代入椭圆E的方程,可得<14k2>x28kmx4m2160,由0,可得m2416k2,则有x1x2,x1x2.所以|x1x2|.因为直线ykxm与y轴交点的坐标为<0,m>,所以OAB的面积S|m|x1x2|2.设t,将ykxm代入椭圆C的方程,可得<14k2>x28kmx4m240,由0,可得m214k2.由可知0t1,因此S22,故S2,当且仅当t1,即m214k2时取得最大值2.由<>知,ABQ面积为3S,所以ABQ面积的最大值为6.变式训练2<1>解由已知可得解得a26,b22,所以椭圆C的标准方程是1.<2>证明由<1>可得F的坐标是<2,0>,设T点的坐标为<3,m>,则直线TF的斜率kTFm.当m0时,直线PQ的斜率kPQ,直线PQ的方程是xmy2.当m0时,直线PQ的方程是x2,也符合xmy2的形式.设P<x1,y1>,Q<x2,y2>,将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立,得消去x,得<m23>y24my20,其判别式16m28<m23>>0,所以y1y2,y1y2,x1x2m<y1y2>4.所以PQ的中点M的坐标为<,>.所以直线OM的斜率kOM.又直线OT的斜率kOT,所以点M在直线OT上,因此OT平分线段PQ.解由可得TF,PQ.所以.当且仅当m21,即m±1时,等号成立,此时取得最小值.所以当最小时,T点的坐标是<3,1>或<3,1>.例3解设弦的两端点分别为M<x1,y1>,N<x2,y2>,MN的中点为R<x,y>,则x2y2,x2y2,两式相减并整理可得,将2代入式,得所求的轨迹方程为x4y0<<x<>.变式训练3解<1>由已知得b4,且,即,解得a220,椭圆的方程为1.则4x25y280与yx4联立,消去y得9x240x0,x10,x2,所求弦长MN|x2x1|.<2>如图,椭圆右焦点F的坐标为<2,0>,设线段MN的中点为Q<x0,y0>,由三角形重心的性质知2,又B<0,4>,<2,4>2<x02,y0>,故得x03,y02,即得Q的坐标为<3,2>.设M<x1,y1>,N<x2,y2>,则x1x26,y1y24,且1,1,以上两式相减得0,kMN·×,故直线MN的方程为y2<x3>,即6x5y280.常考题型精练1.6解析因为e,y28x的焦点为<2,0>,所以c2,a4,故椭圆方程为1,将x2代入椭圆方程,解得y±3,所以AB6.2.1解析由e得.又AF1B的周长为4,由椭圆定义,得4a4,得a,代入得c1,b2a2c22,故C的方程为1.3.6解析如图所示,设以<0,6>为圆心,以r为半径的圆的方程为x2<y6>2r2<r>0>,与椭圆方程y21联立得方程组,消掉x2得9y212yr2460.令1224×9<r246>0,解得r250,即r5.由题意易知P,Q两点间的最大距离为r6.4.2解析由题意设焦距为2c,椭圆的长轴长为2a,双曲线的实轴长为2m,不妨令P在双曲线的右支上.由双曲线的定义知|PF1|PF2|2m,由椭圆的定义知|PF1|PF2|2a,又PF1PF2,F1PF290°,|PF1|2|PF2|24c2,式的平方加上式的平方得|PF1|2|PF2|22a22m2,由得a2m22c2,即2,2.5.解析设M<x0,y0>,则<cx0,y0>,<cx0,y0>,·xc2yxc2b2xc2b2xc2b2.x0a,a,当x0±a时,·有最大值b2,c2b22c2,c2a2c22c2,2c2a23c2,e.6.12解析椭圆1中,a3.如图,设MN的中点为D,则DF1DF22a6.D,F1,F2分别为MN,AM,BM的中点,BN2DF2,AN2DF1,ANBN2<DF1DF2>12.7.解析设A<x1,y1>,B<x2,y2>,则0,·.,x1x22,y1y22,a22b2.又b2a2c2,a22<a2c2>,a22c2,.8.x2y21解析设点B的坐标为<x0,y0>.x21,F1<,0>,F2<,0>.AF2x轴,A<,b2>.AF13F1B,3,<2,b2>3<x0,y0>.x0,y0.点B的坐标为.将B代入x21,得b2.椭圆E的方程为x2y21.9.解设椭圆的焦距为2c,则F1<c,0>,F2<c,0>.<1>因为B<0,b>,所以BF2a.又BF2,故a.因为点C在椭圆上,所以1,解得b21.故所求椭圆的方程为y21.<2>因为B<0,b>,F2<c,0>在直线AB上,所以直线AB的方程为1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为,直线AB的斜率为,且F1CAB,所以·1.又b2a2c2,整理得a25c2.故e2,因此e.10.解<1>由椭圆的定义,得2aPF1PF2<2><2>4,故a2.设椭圆的半焦距为c,由已知PF1PF2,因此2cF1F22,即c,从而b1.故所求椭圆的标准方程为y21.<2>方法一如图,设点P<x0,y0>在椭圆上,且PF1PF2,则1,xyc2,求得x0±,y0±.由PF1PQPF2得x00,从而PF2.2<a2b2>2a<a>2.由椭圆的定义,PF1PF22a,QF1QF22a,从而由PF1PQPF2QF2,有QF14a2PF1.又由PF1PQ,PF1PQ,知QF1PF1,因此,<2>PF14a,即<2><a>4a,于是<2><1>4,解得e.方法二如图,由椭圆的定义,得PF1PF22a,QF1QF22a.从而由PF1PQPF2QF2,有QF14a2PF1.又由PF1PQ,PF1PQ,知QF1PF1,因此,4a2PF1PF1,得PF12<2>a,从而PF22aPF12a2<2>a2<1>a.由PF1PF2,知PFPFF1F<2c>2,因此e.11.解<1>过点<c,0>,<0,b>的直线方程为bxcybc0,则原点O到该直线的距离d,由dc,得a2b2,解得离心率.<2>方法一由<1>知,椭圆E的方程为x24y24b2.依题意,圆心M<2,1>是线段AB的中点,且AB.易知,AB与x轴不垂直,设其方程为yk<x2>1,代入得<14k2>x28k<2k1>x4<2k1>24b20,设A<x1,y1>,B<x2,y2>,则x1x2,x1x2,由x1x24,得4,解得k,从而x1x282b2.于是AB|x1x2|,由AB,得,解得b23,故椭圆E的方程为1.方法二由<1>知,椭圆E的方程为x24y24b2,依题意,点A,B关于圆心M<2,1>对称,且AB,设A<x1,y1>,B<x2,y2>,则x4y4b2,x4y4b2,两式相减并结合x1x24,y1y22,得4<x1x2>8<y1y2>0,易知AB与x轴不垂直,则x1x2,所以AB的斜率kAB,因此直线AB的方程为y<x2>1,代入得x24x82b20,所以x1x24,x1x282b2,于是AB|x1x2|.由AB,得,解得b23,故椭圆E的方程为1.12.解<1>由已知得c2,解得a2.又b2a2c24,所以椭圆G的方程为1.<2>设直线l的方程为yxm,由消去y得4x26mx3m2120.设A,B的坐标分别为<x1,y1>,<x2,y2><x1<x2>,AB中点为E<x0,y0>,则x0,y0x0m.因为AB是等腰PAB的底边,所以PEAB,所以PE的斜率k1,解得m2.此时方程为4x212x0,解得x13,x20,所以y11,y22.所以AB3,又点P<3,2>到直线AB：xy20的距离d.所以PAB的面积S·AB·d.16 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